王 彤

（中國空間技術(shù)研究院，北京 100094）

0 引言

潛艇在水下執(zhí)行情報搜集、軍事打擊以及潛伏等任務(wù)時，必須要保證它的隱蔽性和導(dǎo)航定位的準確性，這樣才能滿足潛艇對水下安全航行及精確打擊的需求。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)具有自主、高精度、高隱蔽性以及不易受到外界信息干擾等優(yōu)點，因此潛艇主要依靠慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在水下航行。但是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)存在系統(tǒng)誤差，并且該誤差隨時間的累積而增大，這就會降低潛艇在水下運行時的精度。針對慣性導(dǎo)航系統(tǒng)存在的不足之處，許多學(xué)者提出潛艇在水下航行時，需要修正潛艇慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的累積誤差；將重力信息與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)聯(lián)合起來的無源輔助導(dǎo)航系統(tǒng)可以對慣性導(dǎo)航的累積誤差進行校正，它是目前國際研究的熱點。重力匹配導(dǎo)航系統(tǒng)不需要水下潛器浮出或接近水面，測量時也不會向外輻射能量，因此有望實現(xiàn)水下潛器連續(xù)長航時精確、自主定位。

1 重力匹配導(dǎo)航系統(tǒng)原理

重力匹配導(dǎo)航系統(tǒng)指的是潛艇通過自身搭載的重力儀來獲得潛艇目前位置重力場的特征信息，將獲得的實測重力值與海洋重力基準圖進行匹配，按照合適的匹配算法最終確定潛艇所在的位置。海洋重力基準圖是重力匹配導(dǎo)航的重要組成部分，因此，構(gòu)建全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖是非常必要的。船載重力測量、航空重力測量以及衛(wèi)星重力/測高反演是獲取全球海洋重力場的主要技術(shù)途徑，全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖能有效提高水下重力匹配導(dǎo)航的精度；然而目前全球海洋重力基準圖的質(zhì)量較低（精度為3 mGal～8 mGal，空間分辨率為1′×1′），因此需要對其進行一定程度的插值加密，將其重構(gòu)為高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖。

2 海洋重力異常圖插值方法

目前常見的重力場插值方法有距離加權(quán)反比插值法、徑向基函數(shù)插值法、樣條函數(shù)插值法、克里金插值法以及改進的Shepard插值法。

2.1 距離加權(quán)反比插值法

距離加權(quán)反比插值法是最簡單的插值方法，該方法根據(jù)未知點到已知點距離的加權(quán)平均值來計算未知點的值。距離加權(quán)反比插值法的具體計算如公式（1）所示[1]。

式中：G0為預(yù)測點的重力值；Gi為第i個已知點的重力值；hi為第i個已知點到預(yù)測點的距離；μ為指數(shù)參數(shù)。

2.2 徑向基函數(shù)插值法

徑向基函數(shù)（Radial Basis Function， RBF）插值法能夠應(yīng)用于各個領(lǐng)域，例如全球地形、水文、地球物理科學(xué)和圖像重建，其原理是將已知點作為位置中心，求解得出插值函數(shù)的系數(shù)，從而獲得預(yù)測點的值，徑向基函數(shù)插值法的插值函數(shù)的表達式如公式（2）所示[2]。

2.3 樣條函數(shù)插值法

樣條函數(shù)插值法是由工程制圖中的樣條繪圖工具發(fā)展而來的，一般指的是三次樣條函數(shù)插值法（Cubic spline function interpolation）。三次樣條函數(shù)插值法是由幾段三次多項式拼合而成的曲線，如公式（3）所示[3]。

式中：Si（x）為三次樣條函數(shù)；ai、bi、ci和di為待求系數(shù)。

2.4 克里金插值法

克里金插值法（Kriging）主要采用地質(zhì)學(xué)中的統(tǒng)計理論和插值方法，以變異函數(shù)為插值基礎(chǔ)和基本工具，選擇合適的變異函數(shù)，從而對空間結(jié)構(gòu)和參數(shù)進行最優(yōu)線性無偏估計。克里金插值法分為以下5步：1） 重力場數(shù)據(jù)的預(yù)處理。2）x和y2個方向的實驗方差圖。3） 擬合最優(yōu)變異函數(shù)計算變異函數(shù)（半方差函數(shù)）的系數(shù)。4） 克里金交叉驗證。5） 未知點的克里金估計值。變異函數(shù)描述了各個點的空間關(guān)系，其表達式如公式（4）所示[4]。

式中：h為點xi到點xi+h之間的距離；n為已知點的總數(shù)；G（xi）為點xi的重力值；γ（h）為變異函數(shù)。

2.5 改進的二次曲面Shepard插值法

改進的二次曲面Shepard（Modified Quadratic Shepard， MQS）插值法可用于對大規(guī)模散亂數(shù)據(jù)的插值擬合，與距離加權(quán)反比插值法相似。改進的二次曲面插值法對領(lǐng)域內(nèi)外進行主要區(qū)分，對進入領(lǐng)域的點進行二次曲面加權(quán)運算，領(lǐng)域外的權(quán)系數(shù)為0，不進行運算。二次曲面函數(shù)如公式（5）所示[5]。式中：xi、yi為第i個點的經(jīng)緯度坐標；ai1、ai2、ai3、ai4和ai5為二次曲面函數(shù)的待求系數(shù)；Gi為第i個點的重力值；Qi（x）為二次曲面函數(shù)。

可以通過最小二乘逼近法對已知點的重力值進行擬合求出。

該文對上述5種方法進行深入分析，根據(jù)插值、精度計算復(fù)雜度、計算時間以及適用范圍等評價指標對常見的插值方法進行統(tǒng)計，各個方法的優(yōu)缺點見表1。

表1 插值法的優(yōu)缺點對比分析

除了上述5種插值方法，目前很多學(xué)者將其他領(lǐng)域的插值方法也應(yīng)用到重力場插值的過程中，提出了一些改進的插值方法，例如廣義抽樣擴展插值法、雙三次孔斯曲面插值法、不等權(quán)最小二乘預(yù)測插值和窗口移除恢復(fù)技術(shù)—克里金插值法等，這些方法的插值精度較高，能有效提高重力場的空間分辨率。

3 團隊研究進展

研究團隊從事航天、導(dǎo)航、測繪以及海洋等交叉學(xué)科的前沿探索與軍事應(yīng)用，對衛(wèi)星重力學(xué)、衛(wèi)星測高學(xué)以及水下導(dǎo)航學(xué)開展研究，構(gòu)建了全球高精度和高空間分辨率的海洋重力基準圖，進而為實現(xiàn)自主、隱蔽和高精度的全球水下導(dǎo)航提供了理論和方法支持。該文將上述5種傳統(tǒng)插值法進行實驗驗證和對比分析，選取我國南海區(qū)域（東經(jīng)115°E～116°E、北緯20°N～21°N）的格網(wǎng)化海洋重力異常數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)（空間分辨率為1′×1′），如圖1所示。

圖1（a）和圖1（b）分別表示研究區(qū)域空間分辨率為1′×1′的二維和三維海洋重力異常圖。該區(qū)域內(nèi)海洋異常變化范圍較大，因此不同插值方法的誤差變化也較大。首先，將空間分辨率為1′×1′的實驗數(shù)據(jù)稀疏為4′×4′；其次，分別用距離加權(quán)反比插值法、徑向基函數(shù)插值法、樣條函數(shù)插值法、克里金插值法和改進的Shepard插值法將空間分辨率為4′×4′的海洋重力異常插值為空間分辨率為1′×1′的海洋重力異常；最后，求得與原始1′×1′的海洋重力異常的誤差，如圖2所示。圖2為用這5種方法對我國南海區(qū)域插值后的誤差散點圖，可以看出克里金插值法誤差分布較為集中，誤差最小。插值重構(gòu)時，為了與原始圖片對比，分析插值后海洋重力異常誤差的大小，在判斷插值方法精度時，一般選用平均誤差（Mean error， ME）和均方根誤差（Root mean square error， RMSE）作為評價指標，計算公式如公式（6）所示[6]。

圖1 分辨率為1′×1′的海洋重力異常圖

圖2的統(tǒng)計結(jié)果見表2。根據(jù)表2可知，與其他4種插值方法相比，距離加權(quán)反比插值法的誤差較大，其平均誤差為1.07×10-1mGal，均方根誤差為2.96 mGal，對應(yīng)圖2（a）誤差的變化范圍較大，誤差點分布離散。因此，距離加權(quán)反比插值法的插值精度較低，插值效果不好。克里金插值法精度最高，平均誤差為3.16×10-2mGal，均方根誤差為1.113 mGal，其誤差較小，插值效果較佳，適用于對海洋重力場的插值重構(gòu)。

表2 5種插值方法對我國南海區(qū)域插值誤差統(tǒng)計

4 結(jié)語

重力匹配導(dǎo)航是1種自主無源的導(dǎo)航方式，對潛艇的水下航行具有極其重要的意義。海洋重力基準圖對重力匹配導(dǎo)航精度具有一定的影響。該文對目前常見的重力場插值方法的擬合過程進行研究，通過分析對現(xiàn)有的距離加權(quán)反比插值法、徑向基函數(shù)插值法、樣條函數(shù)插值法、克里金插值法和改進的Shepard插值法進行對比，體現(xiàn)出克里金插值法和樣條函數(shù)數(shù)插值法對海洋重力異常插值重構(gòu)的可行性，也為未來構(gòu)建全球海洋重力場基準圖提供了可行性建議。

圖2 不同方法插值后誤差散點圖