張安安 吳 翔

1(江西省科學院能源研究所 江西 南昌 330096)2(華東交通大學電氣與自動化工程學院 江西 南昌 330013)

0 引 言

最近幾年，橋梁建設取得了突飛猛進的發(fā)展，橋梁的結(jié)構(gòu)得到了巨大的優(yōu)化，功能也變得越來越完善。但是橋梁在受到外界因素影響時，容易發(fā)生橋梁結(jié)構(gòu)損壞甚至坍塌等事故，在經(jīng)濟上造成巨大損失且危害人們的生命。因此，利用傳感器監(jiān)測橋梁結(jié)構(gòu)并實時評估橋梁結(jié)構(gòu)狀態(tài)具有重要意義[1]。傳感器系統(tǒng)能在橋梁各處收集信息，能夠為反映橋梁結(jié)構(gòu)健康狀況奠定基礎，傳感器系統(tǒng)的優(yōu)良程度決定了獲取數(shù)據(jù)的真實性[2]。所以，實現(xiàn)傳感器優(yōu)化布置(Optimal Sensor Placement, OSP)是一個完整橋梁健康監(jiān)測系統(tǒng)須解決的問題之一[3]。

綜合考慮成本和系統(tǒng)運行狀況等因素，在全橋各自由度安裝傳感器是不現(xiàn)實的。OSP通常被視為組合優(yōu)化問題，其實現(xiàn)需要同時滿足以下兩個條件：

(1) 系統(tǒng)使用的傳感器數(shù)量最少。

(2) 傳感器布置的位置最優(yōu)。

為了使系統(tǒng)中應用的傳感器數(shù)量盡可能少，需要單個傳感器測量的信息足夠多。因此，采用三維傳感器是最佳方案。本文將三維傳感器三個自由度組合成一個獨立單元，構(gòu)建三維模態(tài)置信準則，以滿足全面應用三維傳感器、減少傳感器數(shù)量的要求。

在構(gòu)造優(yōu)化準則之后，通常將優(yōu)化布置的難題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，并最終采用優(yōu)化算法進行求解。傳統(tǒng)方法中，最優(yōu)傳感器位置的計算經(jīng)常是獲得局部最優(yōu)值而不是全局最優(yōu)值的迭代過程[4-6]。鑒于傳統(tǒng)方法的缺點，近年來已經(jīng)有一些非傳統(tǒng)的智能算法來確定最優(yōu)傳感器方案。非傳統(tǒng)算法主要包含模擬退火算法(SA)、遺傳算法(GA)[7-8]等智能算法。遺傳算法在傳感器布局的應用和研究中發(fā)揮著重要作用，彌補了傳統(tǒng)優(yōu)化算法的不足，具有魯棒性和高并行效率的特點。然而，遺傳算法的局部尋優(yōu)能力較差, 容易過早收斂、隨機漫游和退化，當需要配置更多的傳感器時，計算時間會更長[9]。由于PSO[10]消除了GA復雜選擇和變異操作等缺點，具有實現(xiàn)簡單等優(yōu)點。文獻[11]將粒子群優(yōu)化算法引入到橋梁傳感器的最優(yōu)布置中，提高了計算性能和效率。然而，PSO本身搜索機制的局限性，仍然存在早熟收斂和局部搜索能力差的缺陷。

針對PSO的不足，Sun等[12]創(chuàng)建了一種新的粒子群優(yōu)化算法(QPSO)。波函數(shù)用于表示量子空間中的中等粒子的條件。粒子的位置方程可以通過薛定諤方程計算和蒙特卡羅隨機模擬來計算。文獻[13]指出QPSO可以實現(xiàn)全局收斂，且在時間復雜度和收斂速度方面均優(yōu)于PSO。雖然QPSO在求解優(yōu)化問題方面具有很大的優(yōu)勢，但是依然存在群體粒子快速相互接近、多樣性喪失等缺陷。為此，將柯西變異因子和混沌搜索、Levy飛行策略引入到量子粒子群算法中，使算法的性能能夠大大地增強。即提出一種改進的QPSO算法(IQPSO)。

本文提出的IQPSO算法進一步利用混沌初始化粒子群，改善初始粒子群的多樣性和分布平衡；然后在QPSO中應用特殊的飛行策略，使粒子的搜索空間進一步增大并且提高了收斂速度；最后加入柯西變異因子，使得在算法的后期粒子有更多的種類。通過對具體的橋梁數(shù)值計算的例子進行比較，可以看出該算法能較好地解決橋梁傳感器的布置問題。綜上所述，本文首先研究了傳感器的三維優(yōu)化準則，從而為三維傳感器的使用提供了條件，在一定程度上減少了系統(tǒng)中傳感器的數(shù)量；然后建立一種以提高量子粒子群算法性能的方法，提高了優(yōu)化算法的收斂效率，有效避免了局部最優(yōu)，實現(xiàn)了傳感器布置的位置最優(yōu)。

1 傳感器優(yōu)化布置準則

1.1 模態(tài)置信準則

傳感器最佳布局問題是典型的組合優(yōu)化問題，其包含傳感器數(shù)量和位置的優(yōu)化。通過建立并分析橋梁的有限元模型，可以得到模型的前幾種模態(tài)和模態(tài)形狀矩陣Φ。Fisher信息矩陣(FIM)可以等效表示為推斷參數(shù)的矩陣，并測量響應中信息量，其公式如下：

F=ΦTΦ

(1)

式中：F代表信息矩陣；ΦT代表振型矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。F中的元素可以表示為：

(2)

式中：φ*,i代表矩陣Φ中的第i列；φ*,j代表矩陣Φ中的第j列。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學的基本理論，完整結(jié)構(gòu)模態(tài)是由多個節(jié)點組成的模態(tài)矩陣構(gòu)成的并且其向量在節(jié)點上相互正交。然而在實踐中，由于測量精度和測點個數(shù)過少以及噪聲的影響，模態(tài)正交性會出現(xiàn)各種失真，從而損失重要模態(tài)信息，導致測量誤差較大。模態(tài)置信準則( MAC)矩陣能準確判斷模態(tài)向量在節(jié)點上是否能夠相互正交，直觀地反映各模態(tài)振型空間的交角[14]。MAC矩陣常被用來對比實驗模式與理論模式，該方法容易實現(xiàn)和不需要結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度矩陣，具有一定的優(yōu)勢。其表達式如下：

(3)

式中：MACij(i≠j)表示兩種目標模式的空間交集余弦也可以表示為它的交角。當它接近1時，二階模態(tài)的交叉角越小，越難以區(qū)分。當它接近零時，二階模的交叉角更大，交叉角更正交。它具有良好的模態(tài)識別能力，能夠最大限度地防止模態(tài)信息的缺失。

1.2 三維模態(tài)優(yōu)化準則

文獻[15]中，三維模態(tài)置信準則(Triaxial MAC，TMAC)根據(jù)其在結(jié)構(gòu)節(jié)點上的標準可以作為三個自由度的單位使用，其表達式如下：

(4)

式中：Qi,j表示為Fisher矩陣Q中的元素。矩陣Q的表達式如下：

(5)

式中：φ3k,*為模態(tài)振型矩陣Φ中第k個節(jié)點的三個平動自由度所對應的模態(tài)向量組成的矩陣；nsp為未放置的傳感器數(shù)量。要使傳感器的布設能達到最佳，就要使TMAC矩陣不存在線性相關(guān)同時也要保證它的非對角元的值小。為了判別傳感器布設是否達到最佳，計算中需要讓有限元法得到的結(jié)構(gòu)振型與動力測試中識別出的結(jié)構(gòu)振型相匹配。因此，獲得的結(jié)構(gòu)各階振型首先能夠彼此獨立，也即由傳感器布設位置所定義的結(jié)構(gòu)各階振型必須線性獨立。這就要求各振型向量間的夾角盡可能大，或者各傳感器振型向量間的點積盡可能小。所以，計算中應逐步使TMAC矩陣的非對角元素在每次迭代中最小化。TMAC矩陣的非對角元素的值越小，每階測試節(jié)點的振動模式獨立性越好，則線性相關(guān)性越小，傳感器的布局效果越好;相反，傳感器布局效果越差。因此，可以將TMAC非對角元素值f的最小值作為三維傳感器的優(yōu)化目標，為了測量TMAC矩陣的非對角元素的最小值fmin，本文選擇非對角元素的均方根作為優(yōu)化目標函數(shù)，即：

(6)

式中：k是TMAC矩陣的維數(shù)。

適應度函數(shù)反映了TMAC矩陣外部元素的變化，適應度函數(shù)值越小越好。

2 基于IQPSO的橋梁傳感器優(yōu)化布置

2.1 量子粒子群算法

為了使粒子的搜索能力增強，Sun等[12]把量子進化算法引入到粒子群算法，使算法性能大大提高并在此基礎上創(chuàng)立了QPSO算法。該算法認為粒子具有量子行為，并且不能同時準確地確定粒子的位置和速度，波函數(shù)可用于表示中等粒子的狀態(tài)，粒子的位置方程可以通過薛定諤方程計算與蒙特卡羅方式計算出。在進化過程中，各粒子在最優(yōu)位置中心的DELTA勢阱中移動，通過跟蹤個體極值和全局極值不斷更新位置，能夠以一定的概率分布于搜索空間任意位置。個體X的進化公式如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 初始種群質(zhì)量優(yōu)化

混沌現(xiàn)象在非線性優(yōu)化系統(tǒng)中較常見。它們可以在不重復的情況下通過特定區(qū)域所有狀態(tài)，并具有良好的遍歷性、隨機性和規(guī)律性。在搜索時，可以使用混沌現(xiàn)象來避免陷入局部最優(yōu)。Logistic映射用于將混沌與量子粒子群優(yōu)化相結(jié)合，以優(yōu)化初始種群的質(zhì)量并提高算法的性能，即：

Zi+1=μZi(1-Zi)i=0,1,…

(12)

式中：Zi為第k次迭代時Z的取值，Zi∈(0,1)；參數(shù)μ∈(2,4]，當μ=4時將陷入混沌狀態(tài)之中。本文中采用混沌系統(tǒng)來初始化粒子的位置，選取參數(shù)μ=4生成混沌序列，然后通過式(13)將混沌變量轉(zhuǎn)化為決策變量。

Yi=Ymin+Zi(Ymax-Ymin)

(13)

式中：Ymax、Ymin分別為搜索空間的上下界，Yi即為優(yōu)化后的初始種群。采用混沌思想既不改變隨機性，又可以提高種群搜索的遍歷性的同時在一定程度上也提高了種群的多樣性[17]。

2.3 擴大粒子搜索空間

在QPSO中，因為粒子迭代次數(shù)的增加，相似的粒子在很大程度上使搜索空間減小，粒子會在小范圍內(nèi)達到最優(yōu)狀態(tài)，這樣粒子會很難跳出種群。文獻[18]首次把Levy分布引入PSO的個體最優(yōu)化，大大增加了搜索效率?；贚evy飛行獨特的隨機游走的策略，QPSO的個體進化公式修改如下：

(14)

式中：L(λ)為Levy分布的程序近似公式[19]。

L(λ)=u/|v|1/β

(15)

式中：參數(shù)β取1.5；u、v為正態(tài)分布隨機數(shù)。

(16)

式(15)中對應的標準差滿足：

(17)

2.4 避免粒子多樣性下降

在初始搜索階段，因為粒子群要進行初始化，QPSO具有很高相對性，但是由于粒子的逐漸收斂，種群的多樣性也會逐漸下降?？挛鞣植寄茉趦梢韺⒏怕侍岣?，很容易產(chǎn)生一個距原點很遠的數(shù)同時也會存在更大的分布，所以利用柯西變異可以很快地跳出局部最優(yōu)區(qū)域[20]。因此，將柯西突變引子加入到全局最優(yōu)解上，公式如下：

Gk=Gk+cauchyRND( )

(18)

式中：cauchyRND( )為MATLAB中的函數(shù)，能夠生成兩個柯西隨機數(shù)作為突變因子?？挛髯儺愐蜃拥囊耄偰苁谷肿顑?yōu)解發(fā)生突變，保持粒子的活性，幫助粒子逃離局部最優(yōu)位置，從而有效地避免過早收斂的產(chǎn)生。

3 工程算例

3.1 計算模型

橋梁荷載可沿橋的縱向主梁傳遞到地面支座上，次梁橫向每隔0.914 4 m提供橫向穩(wěn)定性?；鶞誓Ｐ土航孛娑紴楣ぷ中弯?，而其型號為S3×5.7[21]。本文采用該模型驗證所提出的傳感器優(yōu)化布置算法，首先使用SAP2000建模，然后將有限元模型的數(shù)據(jù)導入MATLAB中進行分析。模型中節(jié)點總數(shù)為177個和獨立單元為182個， 3個自由度構(gòu)成一個節(jié)點，分別對應x、y和z三個方向。通過模態(tài)分析可得到結(jié)構(gòu)的前10階模態(tài)振型矩陣Φ。

3.2 傳感器優(yōu)化配置

圖1中模型的節(jié)點有177個，除去橋梁面板下無平動自由度的6個節(jié)點，因此結(jié)構(gòu)應考慮的節(jié)點數(shù)n=171。算法流程如圖2所示。

圖1 基準橋梁模型的有限元模型

圖2 基于IQPSO算法的傳感器優(yōu)化布置流程

3.3 選擇傳感器布設數(shù)目

如圖3所示，MAC矩陣中最大的非對角元素在10到30個自由度之間迅速減小，其值在30到80的范圍內(nèi)相對穩(wěn)定，并且自由度在80之后緩慢增加。當自由度為40時最大的非對角線元素是最小的，為0.029 5時，滿足配置要求。由于本文使用三維傳感器，每個傳感器可以測量三個自由度的信息。因此，為了最小化MAC矩陣的最大非對角線元素，傳感器的數(shù)量被選擇為nsp=13。

圖3 MAC矩陣的最大非對角線元變化曲線

3.4 結(jié)果對比

為了比較基于IQPSO、QPSO和PSO的優(yōu)劣，三種算法的一些主要操作和參數(shù)應保持相同：(1) 使用相同的編碼方法; (2) 選擇相同的適應度函數(shù); (3) 采用相同種群數(shù)量參數(shù)。為了保證算法的可靠性，三種方法在同一臺計算機上連續(xù)計算10次。三種算法的平均最佳適應度值曲線如圖4所示。表1給出了三種算法中傳感器布置方案的最優(yōu)結(jié)果。

圖4 收斂曲線對比

表1 三種算法優(yōu)化結(jié)果的比較

可以看出，這三種算法具有大致相同的收斂趨勢，QPSO結(jié)果優(yōu)于PSO，IQPSO則在其基礎上實現(xiàn)了進一步優(yōu)化。此外，由表1可知，相比PSO，IQPSO節(jié)省了一半以上的時間，在QPSO的基礎上進一步提高了IQPSO的收斂速度，從而大大提高了優(yōu)化效率。主要原因是本文提出的IQPSO進一步避免了PSO和QPSO算法的局部收斂，大大降低了優(yōu)化算法的計算復雜度，提高了執(zhí)行效率，節(jié)省了計算時間。

4 結(jié) 語

為了優(yōu)化橋梁傳感器的布局，系統(tǒng)需要用最少量的傳感器測量最全面的結(jié)構(gòu)信息。為了解決現(xiàn)有優(yōu)化準則不適用于三維傳感器的問題，將三維傳感器的三個自由度組合成一個獨立的單元，構(gòu)建三維模態(tài)置信準則。本文提出一種基于改進量子粒子群優(yōu)化算法的傳感器布局優(yōu)化方法，以解決現(xiàn)有優(yōu)化算法容易在局部達到最優(yōu)和效率低的問題。橋梁參考模型用作數(shù)值計算和驗證實驗的示例。結(jié)果表明，使用三維傳感器可以大大減少傳感器的數(shù)量;在解決橋梁傳感器優(yōu)化布局問題時，本文所提出的IQPSO比傳統(tǒng)的PSO和QPSO具有更快的收斂性和更好的搜索能力。