丁小將

(江蘇省南京市雨花臺區(qū)梅山第一中學(xué) 210039)

進(jìn)入初三后學(xué)生的學(xué)習(xí)難度和強(qiáng)度都變得比以往任何時候都要大，教師和學(xué)生都要面對大量的習(xí)題，甚至部分學(xué)生想靠不停的刷題來提高自己的數(shù)學(xué)成績，于是大搞題海戰(zhàn)術(shù)，反而忽略書本中例題和習(xí)題的作用，有些學(xué)生認(rèn)為書本中的例題、習(xí)題過于簡單.事實(shí)并非如此，作為教師如果能在平時的教學(xué)中注意對教材中例題、習(xí)題進(jìn)行進(jìn)一步歸納和拓展，幫助學(xué)生構(gòu)建合理的知識體系和模型，這樣對減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，使學(xué)生從”題海”中解脫出來，對于老師的教學(xué)水平的提高也具有較大的作用.

圖1

題目(滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》九年級第一學(xué)期第36頁例4)已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高.求證：(1)AC2=AD·AB;(2)CD2=AD·BD

類似的還可以推出：BC2=AB·BD

反思這是教材中的一道例題，盡管教材中沒有提及射影定理，但在幾何證明及計算中應(yīng)用很廣泛，如果能夠掌握好這個基本圖形，常常給我們在解直角三角形的過程中，避免使用勾股定理帶來的開平方的繁瑣計算，對于學(xué)生解題速度的提高有很大的幫助作用.

一、射影定理的介紹

書本中的這道例題實(shí)際上就是射影定理：直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).

二、變式的應(yīng)用

1.變換條件

圖2

如圖1，若△ABC中，CD為高，且有DC2=BD·AD或AC2=AD·AB或BC2=BD·AB，則有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B，均可得到△ABC為直角三角形.

2.射影定理的變式題

若△ABC不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D滿足一定條件時，類似地仍有部分結(jié)論成立.

如圖2：△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，若∠CDB=∠ACB，或∠DCB=∠A，則有△CDB∽△ACB，可得BC2=BD·AB；反之，若△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，且有BC2=BD·AB，則有△CDB∽△ACB，可得到∠CDB=∠ACB，或∠DCB=∠A.

三、射影定理及其變式，在相關(guān)線段關(guān)系中證明的應(yīng)用

例1已知：如圖3，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點(diǎn)E，使得AE=AB，聯(lián)結(jié)DE、AC．點(diǎn)F在線段DE上，聯(lián)結(jié)BF，分別交AC、AD于點(diǎn)G、H．

圖3

(1)求證：BG=GF；

(2)如果AC=2AB，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，求證：AH2=GH·BH(2020上海靜安區(qū)二模卷第23題)

分析(2)在(1)解決問題的基礎(chǔ)上，第二問中要證明的結(jié)論，對應(yīng)的圖形其實(shí)就是射影定理的變式圖形，△ABH雖然不是直角三角形，但看到這樣的等積式，仍然要有意識地想到證明△AGH∽△BAH,有了這樣的解題方向，思考問題的方向也就明確，易證AB=AE=CD,再證明△BEF?△DEA，得出∠ADE=∠EBF,易證∠ADE=∠GAH,所以∠EBF=∠GAH,又因?yàn)椤螦HG=∠AHB，證得△AGH∽△BAH，問題得到解決.

例2如圖4,已知⊙O中，D為弧AC中點(diǎn)，過點(diǎn)D的弦BD被弦AC分為兩部分，求證：CD2=DE·DB

分析易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE，滿足射影定理變式(2)的條件，故有CD2=DE·DB.

圖4 圖5

例3 已知：如圖5，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G，交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：DF2=CF·BF.

證明：連AF，∵FH垂直平分AD，

∴FA=FD，∠FAD=∠FDA，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，

∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD，

∵∠B=∠FDA-∠BAD，

∴∠FAC=∠B，又∠AFC為公共角，

∴AF2=CF·BF，∴DF2=CF·BF

反思上述三個例題的圖形不管是以圓為載體，還是在其它較為復(fù)雜的圖形中，如果能夠從題目的結(jié)論中分析出，雖然不是直角三角形的射影定理的直接應(yīng)用，但是如果能夠從線段之間存在著比例中項(xiàng)的關(guān)系，然后從“共邊、共角”的基本模型中找出對應(yīng)的相似三角形，根據(jù)對應(yīng)線段成比例，從而使問題得到解決.

四、射影定理在線段長度計算中相關(guān)應(yīng)用

圖6

(1)如圖6，設(shè)AD=x，用x的代數(shù)式表示DE的長；

(3)如果△AFD為直角三角形，求DE的長．

分析在解決好第(1)、(2)問的前提下，第(3)問，當(dāng)點(diǎn)E在AC上時，

∵∠AED=∠ADE,且都為銳角，∠AED>∠AFE

當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時，∵∠FAD<∠BAC，而∠BAC在Rt△ABC中為銳角，∴∠FAD為銳角，∠AED=∠ADE,且都為銳角，若△AFD為直角三角形，則只能∠AFD=90°，再次利用射影定理中的線段關(guān)系：EF2=CE·AE，

反思例4作為一道中考模擬考試的壓軸題，是有一定的難度，尤其(3)的計算線段長度，在已知條件下得出相應(yīng)的直角三角形，如果能夠熟練應(yīng)用射影定理，根據(jù)相關(guān)線段的乘積式來求出線段的長度，避免采用勾股定理計算時帶來開平方的復(fù)雜計算，解題時能夠提高解題速度和計算的準(zhǔn)確性，從而達(dá)到事半功倍的效果.

中考復(fù)習(xí)中許多學(xué)生為了提高數(shù)學(xué)成績，一味地盲目刷題，而忽視了書本中的很多例題、習(xí)題，以這些題目為原型可以總結(jié)、歸納出很多有用的結(jié)論和規(guī)律，所以在中考復(fù)習(xí)中無論老師還是學(xué)生，如果能注重對課本的研究，對教材中的例、習(xí)題進(jìn)行“再創(chuàng)造”，有效地幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，提高學(xué)生探究能力和推理能力，使學(xué)生在中考緊張、忙碌的復(fù)習(xí)中有條不紊的把數(shù)學(xué)知識牢固的掌握，最終取得理想的中考成績.