高 濤

(云南省昆明市云子中學長豐學校 650000)

在中學數(shù)學證明過程中，我們可能會用到很多不同的方法.其中，從命題和問題結(jié)論的反面出發(fā)，并依據(jù)推理規(guī)則進行推演，引出矛盾，從而獲得原命題成立的結(jié)論，這樣的證明方法稱之為反證法.反證法不僅是一種證明方法，還是一種思維方式；其獨特的證明方法和思維方式對培養(yǎng)一個人邏輯思維能力(特別是逆向思維能力)和創(chuàng)造性思維能力有著重大的意義，是鍛煉一個人思維的多樣性、敏捷性、靈活性的極好素材，所以對反證法的教學研究是極有必要的.

在中學數(shù)學的證明題中，有些問題用直接法很困難，或直接證明不出來，此時反證法在這些數(shù)學題目的證明中就起著非常重要的作用.為此，本文分析反證法的原理和邏輯基礎(chǔ)，并選取一些在證明中宜用反證法證明的實例，用相應(yīng)的反證法予以解決.

一、反證法的邏輯基礎(chǔ)和證明步驟

1.反證法的原理

反證法是在中學數(shù)學證明過程中基礎(chǔ)應(yīng)用的方法之一，其邏輯基礎(chǔ)就是矛盾律和排中律.所謂的矛盾律是指，人們在同一思維過程中，對兩個反對或矛盾的判斷不能同時承認它們都是真的，其中至少有一個是假的；排中律則是指，同一對象在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，或者是具有某種性質(zhì)，或者是不具有某種性質(zhì)，二者必居其一，不能有第三種情形.

2.運用反證法的步驟

在中學數(shù)學證明的過程中，運用反證法證明命題的一般步驟為：

(1)提出假設(shè)(反設(shè))：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè).

(2)推出矛盾(歸謬)：所推出的矛盾包括與題設(shè)矛盾、與假設(shè)矛盾、或者得到恒假命題(與定理、公理矛盾)等.

(3)肯定結(jié)論：根據(jù)推出的矛盾可以說明提出的假設(shè)(反設(shè))不成立，從而能夠肯定原命題是成立的.

從上述步驟可知，可以把反證法的證明模式概括為“否定→推理→否定”，即從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理后得到矛盾的邏輯結(jié)果，從而達到新的否定，也就是“否定之否定”.

3.使用反證法應(yīng)注意的問題

在用反證法的過程中，我們也需要注意一些相關(guān)問題.比如，證明中第一步的反設(shè)，是對所要證明的結(jié)論的否定，而不是也不能否定命題的已知條件，否則證明就無從入手或者就得不到想要的結(jié)果；同時，在進行反設(shè)時，需要掌握結(jié)論反面的全部情況并進行分析，而不能有任何的遺漏，否則所應(yīng)用的反證法就可能無效.

二、反證法在中學數(shù)學證明問題中的應(yīng)用

數(shù)學命題的證明，雖然在一般情況下用直接法，但是，當用直接法比較麻煩或比較困難甚至不可能時，往往采用反證法.因此，反證法確實有其廣泛的應(yīng)用，我們就從數(shù)學的不同分支出發(fā)，分別介紹反證法在幾何、代數(shù)等不同數(shù)學分支中的應(yīng)用.

1.反證法在平面幾何中的應(yīng)用

平面幾何中的角相等、角不等、線相等、線不等、線平行、點共線、包含關(guān)系等問題，常常可以用反證法來證明.

圖1

例1如圖1，已知四邊形ABCD，以各邊為直徑向四邊形內(nèi)作半圓.求證：ABCD內(nèi)的任一點至少被一個半圓所包含.

證明：假定四邊形ABCD內(nèi)有一點P不被任一半圓所包含，連結(jié)PA、PB、PC、PD，則根據(jù)性質(zhì)可知

∠APB<90°,∠BPC<90° ,

∠CPD<90°,∠DPA<90，

∴∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

這和一個周角等于360°相矛盾，故原命題成立.

這類問題屬于“至多”與“至少”命題，常用“至多……”、“至少……”、“最多……”、“最少……”、“不多于……”、“不少于……”等形式來表示.這種命題如果用直接法來證明難以下手時，可以采用反證法來證明.

2.反證法在解析幾何中的應(yīng)用

反證法雖然主要是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但并不是反證法在解析幾何中沒有它的意義，事實上，不少解析幾何題也須應(yīng)用反證法來證明.

例2求證拋物線沒有漸近線.

證明：設(shè)拋物線方程為

y2=2px(p≠0).

假定該拋物線有漸近線，則漸近線的方程必是

y=ax+b(a、b皆不為0).

因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

的兩組解的倒數(shù)都是0.

將y=ax+b代入y2=2px得

a2x2+2(ab-p)x+b2=0

①

設(shè)x1、x2是①的兩個根，由韋達定理得

②

③

由②、③可推得p=0，而這與假設(shè)p≠0矛盾.

因此，拋物線沒有漸近線.

這類問題屬于“否定式”命題.“否定式”命題的結(jié)論常用“不……”、“沒有……”、“不是……”、“不可能……”等形式來表示，這類問題用反證法來證往往容易奏效.

3.反證法在代數(shù)中的應(yīng)用

反證法不僅在幾何中有其應(yīng)用，而且在代數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用.

例3在不等邊三角形中，三角與三邊可否同時成為等差數(shù)列？

解不能.用反證法來證明：

∵A+B+C=180°，

由①可得B=60°，A+C=120°.

由②和正弦定理可得

2RsinA+2RsinC=2×2RsinB,

即sinA+sinC=2sinB.

于是有A=B=C=60°.

故△ABC為等邊三角形，這與已知條件相矛盾.

∴不等邊三角形的三角和三邊不能同時成等差數(shù)列.

這類問題屬于“判斷式”命題.“判斷式”命題的結(jié)論常用“是不是”、“能不能”、“會不會”、“怎樣”等形式來表示，它一般可轉(zhuǎn)化為肯定性命題或否定性命題，并且有時也可用反證法來證明.

總之，反證法在證明和研究中學數(shù)學不同方面的問題過程中都有著它特殊的作用.鑒于這種情況，在中學階段向?qū)W生介紹一些應(yīng)用反證法證明的題目和問題，逐步培養(yǎng)應(yīng)用反證法解決問題的能力，是很有必要的，很有益處的.

數(shù)學是一門非常嚴密的學科，它具有其獨特的思維方式和邏輯推理系統(tǒng)，在解決數(shù)學問題時，需要學會多角度地尋找解決方法，多層次的掌握數(shù)學的基礎(chǔ)知識，充分發(fā)揮個人的數(shù)學思維能力.在中學數(shù)學證明過程中，利用反證法來發(fā)展和培養(yǎng)學生的逆向思維和發(fā)散思維，可以有利于逐步提高學生的數(shù)學能力、思維能力和解決數(shù)學問題的能力.