江蘇省灌南高級中學 (222500) 劉鑫鈞 宋予林

1 問題提出

為了考察學生對多元變量問題的運算能力，筆者設計了上述問題，目的在于通過此題了解學生當前的運算水平，診斷在運算中可能出現(xiàn)的障礙，了解學生目前數(shù)學運算素養(yǎng)發(fā)展現(xiàn)狀，探尋相應的解決策略，為進一步提高學生數(shù)學運算能力，促進學生數(shù)學思維發(fā)展，培養(yǎng)學生規(guī)范化思考問題的數(shù)學素養(yǎng)的課堂教學提供參考.

這道題是本校2020高三月考第12題，滿分5分，班級平均得分1.2分,得分率偏低.為了具體了解學生在考試時是如何處理該問題的，在試卷評講中筆者和學生專門就該問題進行回顧與交流.

2 問題解決

2.1 觀察代數(shù)結構，培養(yǎng)算前、算中、算后的觀察能力

本題是一道代數(shù)題，解決的關鍵在于學生是否能從不同的角度觀察式子，感悟到式子的結構，從而選擇相應的解法.在課堂教學中，筆者首先讓做出來的學生展示其運算方法.

圖1

算完后，有同學受解法1的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以對解法1進一步改進.

評析：解法2是在解法1展示后，學生基于將圓方程a2+b2=c2變?yōu)閱挝粓A的想法，由此對條件同除c2，結論同除c，實現(xiàn)解法簡化,別開生面.接下來，老師詢問是否還有其它解法，應者卻寥寥無幾.

《普通高中數(shù)學課程標準》(2017版)關于運算素養(yǎng)的水平劃分為三個層次：(1)能夠在熟悉的情境中了解運算對象，提出運算問題，并用運算結果說明問題；(2)能夠在關聯(lián)的情境中了解運算對象，提出運算問題，并能夠借助運算探討問題；(3)能夠在綜合情境中把問題轉化為運算問題，明確運算方向，構建運算程序，能夠用程序思想理解和解釋問題.以上三個水平層次分別對應于對運算素養(yǎng)的三個要求：熟悉運算，轉化運算，創(chuàng)新運算.由此可以看出解法1與解法2反映學生的運算水平還處在第一階段，只會在熟悉(圓方程結構)情境中解決問題，停留在熟悉運算(代數(shù))水平，根源在于學生缺少對于式子結構的轉化能力.

2.2 轉化代數(shù)結構，培養(yǎng)學生運算中的轉化能力

如何培養(yǎng)學生的轉化能力呢？所謂橫看成嶺側成峰，就是告訴我們要善于轉化視角觀察問題，那么如何轉化a2+b2=c2,c≠0這個式子的結構呢？從左往右看，式子呈現(xiàn)“和”的結構，而和、差結構是經(jīng)常能夠轉化的.

圖2

如何進一步提高學生的運算水平，再上一個臺階呢？教師的引導就顯得尤為重要，可以讓學生總結前面的解法1、解法2與解法3是從哪方面去認識a2+b2=c2結構，最終使其認識到無論是平方和結構還是平方差結構都是從代數(shù)的結構去分析，那么除了從代數(shù)角度去觀察，我們還可以從哪里去分析呢？進而讓學生領悟到可以從幾何的結構去分析.從而產(chǎn)生下面解法.

2.3 構造幾何結構，培養(yǎng)學生運算中的創(chuàng)新能力

圖3

3.結束語

數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學結果的重要手段.在平常的教學過程中，特別是解題教學中，不能讓學生僅僅停留在獲得運算結果的層面上，要善于引導學生從式子結構角度開展運算教學，培養(yǎng)學生觀察式子，轉化式子，構造式子的能力，提高學生在運算觀察、運算綜合、運算創(chuàng)新等方面的水平，提升學生的數(shù)學運算能力，從而使數(shù)學運算素養(yǎng)在課堂教學中實現(xiàn)真正落地.