莫淑玲

數(shù)學(xué)模型是使數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生頭腦中從模糊走向清晰的橋梁，能夠通過(guò)表象直面本質(zhì)。教師要使數(shù)學(xué)建模思想、方法在教學(xué)中合理滲透，讓學(xué)生習(xí)慣利用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，幫助學(xué)生快速找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的途徑，提高解決問(wèn)題的基本技能，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、合理建模，聚焦數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)學(xué)及其它數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應(yīng)用，因此工具愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》里闡述：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。利用數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行教學(xué)，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中比比皆是。尤其是在解決問(wèn)題教學(xué)中應(yīng)用得尤其多。

二、畫(huà)圖助思，培養(yǎng)空間觀念

任教五年級(jí)的數(shù)學(xué)老師應(yīng)該有共同的集體印象：在教學(xué)義務(wù)教育教科書(shū)五年級(jí)下冊(cè)的“長(zhǎng)方體和正方體”單元時(shí)，是較為棘手的，花了九牛二虎之力，教學(xué)效果卻不理想，只見(jiàn)工夫不現(xiàn)效果。不理想主要是如下幾個(gè)方面：空間想象能力差;應(yīng)用各種計(jì)算公式時(shí)混淆不清;解決問(wèn)題時(shí)弄不請(qǐng)問(wèn)題到底求什么。

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》里關(guān)于知識(shí)技能方面，第4-6學(xué)段要求之一：通過(guò)用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)：在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定物體位置等過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念;經(jīng)歷借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程，初步建立幾何直觀。

在教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體”單元中求長(zhǎng)方體和正方體表面積時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，如果題目中配上圖，學(xué)生的錯(cuò)誤率會(huì)比較低，同樣類(lèi)型的題目，如果題目中沒(méi)有配上圖，學(xué)生解題出錯(cuò)率會(huì)比配上圖時(shí)多得多。在這個(gè)現(xiàn)象下面，反映出學(xué)生的空間想象能力比較差：盡管他們把長(zhǎng)方體的表面積公式背的比較熟練，但是分不清楚，在求前后面的面積時(shí)，該長(zhǎng)×寬、長(zhǎng)×高、或是寬×高。在求左右面的面積：該多少乘多少，求上下面面積時(shí)又該多少乘多少。在我教會(huì)學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)畫(huà)出圖來(lái)幫助思考，并把題目中的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)據(jù)標(biāo)在圖中時(shí)，學(xué)生有了圖形的直觀支撐，問(wèn)題迎刃而解。如，做一個(gè)長(zhǎng)12分米，寬8分米。高10分米的長(zhǎng)方體的玻璃缸（無(wú)蓋）至少需要玻璃多少？（圖1）

顯而易見(jiàn)，學(xué)生看著圖，就能知道要求前后面面積該用：10×12，求左右面面積該用：10×8，求上下面面積時(shí)該用：12×8。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，圖的啟示作用不可小看，尤其在學(xué)習(xí)幾何圖形的知識(shí)時(shí)，對(duì)于空間觀念并不是很強(qiáng)的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，更是舉足輕重。

在教學(xué)義務(wù)教育教科書(shū)五年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”單元時(shí)用上模型“畫(huà)圖”就能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析，快速找對(duì)解決方法。植樹(shù)問(wèn)題包括三種情況：兩端都栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽。如何弄清這三種情況呢？畫(huà)上圖后，三者的聯(lián)系與區(qū)別立刻清晰呈現(xiàn)（如下圖）。

三、數(shù)形結(jié)合，理清數(shù)量關(guān)系

人教版義務(wù)教育教科書(shū)選擇在五年級(jí)第一學(xué)期開(kāi)始學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程解決問(wèn)題。在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遇到多種的困惑，列不出正確的方程等式是學(xué)生遇到的最常見(jiàn)的一種困難。如：在用方程解決“獵豹是世界上跑得最快的動(dòng)物，速度能達(dá)到每小時(shí)110千米，比大象的2倍還多30千米，大象最快能達(dá)到每小時(shí)多少千米？”時(shí)，有的學(xué)生會(huì)列出這樣的錯(cuò)誤等式：110×2+30=X。學(xué)生沒(méi)有從根本上把列方程解決問(wèn)題與列算術(shù)解決問(wèn)題區(qū)分開(kāi)來(lái)，深刻分析下來(lái)，應(yīng)該是跟學(xué)生對(duì)于題目中的數(shù)量關(guān)系不清晰，思維模糊，又受到以前用算術(shù)解決問(wèn)題的思維定勢(shì)的影響，才會(huì)列出以上的“兩不像”的錯(cuò)誤等式。

學(xué)生低年級(jí)長(zhǎng)期習(xí)慣于算術(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題，受算術(shù)思維定勢(shì)的影響，很長(zhǎng)一段時(shí)間不適應(yīng)代數(shù)的思維方式，因此需要加強(qiáng)代數(shù)思維方式方法的訓(xùn)練，來(lái)加強(qiáng)方程的教學(xué)。學(xué)生能自如地應(yīng)用列方程來(lái)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)的根本——是源于對(duì)具體的某道問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系的深刻分析，懂得各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，進(jìn)而并明白這些數(shù)量關(guān)系該用怎樣的含有未知數(shù)的等式來(lái)表示出來(lái)。

在小學(xué)階段中用方程解決問(wèn)題，無(wú)論是多么復(fù)雜的問(wèn)題，分析出來(lái)，跑不出最初學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的最簡(jiǎn)單，最基本的數(shù)量關(guān)系，如：部分量+部分量=總數(shù);大量-小量=相差數(shù);每份量×份數(shù)=總數(shù);等等。因此，要在教學(xué)中重視這些基礎(chǔ)數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練，經(jīng)常滲透。我在教學(xué)方程內(nèi)容時(shí)，時(shí)常會(huì)設(shè)計(jì)如下的題目讓學(xué)生訓(xùn)練，使到他們熟練。

1.電視機(jī)廠計(jì)劃生產(chǎn)5000臺(tái)的電視機(jī)，要5天完成。平均每天生產(chǎn)多少臺(tái)？等量關(guān)系式：（）×天數(shù)=計(jì)劃生產(chǎn)的總臺(tái)數(shù)

2.公園里有月季花250盆，比菊花多170盆。菊花有多少盆？

等量關(guān)系式：（）-（）=月季花比菊花多的盆數(shù)

所以學(xué)生能用方程輕松自如地解決問(wèn)題，關(guān)鍵的是引導(dǎo)學(xué)生深度分析題目中的數(shù)量關(guān)系，將一個(gè)問(wèn)題的解決拓展為一類(lèi)問(wèn)題的解決，將原型結(jié)構(gòu)上升為教學(xué)結(jié)構(gòu)，并弄明白。

在學(xué)習(xí)用簡(jiǎn)易方程解決問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，要逐漸把解方程常用的原型結(jié)構(gòu)——基本的數(shù)學(xué)代數(shù)等式適時(shí)教給學(xué)生。用簡(jiǎn)易方程解決問(wèn)題基本數(shù)學(xué)代數(shù)等式一般有以下幾種（圖2）：

如：小林騎自行車(chē)，每分鐘騎250米，小云騎自行車(chē)每分鐘騎200米，小林家和小云家相距4.5千米，周日早上9：00倆人分別從家騎自行車(chē)相向而行，兩人何時(shí)相遇？學(xué)生通過(guò)數(shù)量關(guān)系的分析，要用“小林騎的路程+小云騎的路程=總路程”來(lái)找到等量關(guān)系，而“小林騎的路程”與“小云騎的路程”都分別要用“速度乘時(shí)間”來(lái)表示。一路抽絲剝繭，學(xué)生自然會(huì)找到“ax+bx=c”這個(gè)模型來(lái)列出方程了。

四、深入本質(zhì)，多種方式呈現(xiàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的有四種基本運(yùn)算意義：用加法解決，用減法決，用乘法解決，用除法解決。如果想學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能準(zhǔn)確把握，在這四種運(yùn)算方法最初引入時(shí)，老師要給予足夠的重視。遇到有些沒(méi)有學(xué)好這四種基本運(yùn)算意義的學(xué)困生，他們對(duì)于解決高年級(jí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，簡(jiǎn)直無(wú)從入手。解決問(wèn)題的方法錯(cuò)誤得千奇百怪，而且離譜。尋根溯源，這些病因許多時(shí)是因?yàn)樽畛鯇W(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)于四種基本運(yùn)算的意義理解不清，掌握不好引起的。尤其在五年級(jí)上冊(cè)“用方程解決問(wèn)題”時(shí)，遇到同一道題目，可以有多種等量關(guān)系來(lái)指導(dǎo)時(shí)，由于四種基本運(yùn)算意義最初學(xué)習(xí)時(shí)，理解得比較模糊，所以他們有心無(wú)力，列不出正確的方程式來(lái)解決問(wèn)題。學(xué)習(xí)列方程、解方程可以體會(huì)蘊(yùn)含其中的建摸思想、化歸思想，作為后面學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具。從算式發(fā)展到方程，這又是數(shù)學(xué)思想方法上的一次飛躍。它使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及思維的靈活性提高到一個(gè)新的水平。

如：在教學(xué)人教版義務(wù)教育教科書(shū)選擇在五年級(jí)上冊(cè)第74頁(yè)例2（圖3：足球上黑色的外皮都是五邊形的，白色的外皮都是六邊形的。白色皮共有20塊，比黑色皮的塊數(shù)的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮？）時(shí)，我會(huì)把多種的列法都引導(dǎo)學(xué)生思考、弄懂。

雖然學(xué)生從分析題目的字面上來(lái)看，從“白色皮共有20塊，比黑色皮塊數(shù)的2倍少4塊。”來(lái)分析，學(xué)生比較容易列出“2x-4=20”，但是為了學(xué)生思維的發(fā)展，提高他們解決問(wèn)題的能力，我們應(yīng)該幫助學(xué)生理解清楚“白色皮的塊數(shù)”是小量，“黑色皮塊數(shù)的2倍”是大量，它們之間相差“4塊”，學(xué)生的思考從模糊走向清晰，自然就會(huì)列出另外兩道方程等式了（②2x=20+4③2x-4=20）。

總而然之，數(shù)學(xué)模型的建立是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的內(nèi)在規(guī)律，同時(shí)也是由學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)所決定的。在具體的教學(xué)中，我們要重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，不斷增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生親身參與到概念與定理的形成過(guò)程中，提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，激活學(xué)生的思維，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，從而讓學(xué)生在主動(dòng)思考與探究中掌握建模這一重要數(shù)學(xué)思想與方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、素養(yǎng)與綜合能力的整體提高。