陳佳夷，王 聰，霍騰飛，程德級(jí)

（1.北京空間機(jī)電研究所 先進(jìn)光學(xué)遙感技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094；2.海克斯康制造智能技術(shù)（青島）有限公司，山東 青島 266000）

引言

隨著現(xiàn)代航天光學(xué)成像遙感器對(duì)地面覆蓋面積的增大以及地面分辨率[1]的提高，長(zhǎng)焦距、大視場(chǎng)和大通光口徑是大型空間光學(xué)系統(tǒng)的發(fā)展方向。大口徑非球面鏡的加工一般經(jīng)過銑磨成形、研磨以及拋光等階段，各階段的檢測(cè)手段也不相同。在研磨階段，由于鏡面粗糙度值較大、反射率低，采用輪廓測(cè)量的方式進(jìn)行檢測(cè)[2]。目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)大口徑非球面鏡的檢測(cè)，開展了結(jié)構(gòu)光輪廓測(cè)量技術(shù)[3]、朗奇檢驗(yàn)技術(shù)[4]、子孔徑拼接檢測(cè)技術(shù)[5]、哈特曼檢驗(yàn)技術(shù)[6-7]、激光跟蹤儀檢測(cè)[8-9]等研究。其中多項(xiàng)技術(shù)尚屬研究階段[10]，成熟的工程方案可參考詹姆斯韋伯（JWST）項(xiàng)目[11]。

本文針對(duì)2 m 口徑拋物面在輪廓測(cè)量階段的測(cè)試需求，對(duì)該階段各參數(shù)的控制精度進(jìn)行了分析，通過數(shù)值模擬的方式計(jì)算測(cè)試儀器或方法需要實(shí)現(xiàn)的測(cè)試精度，設(shè)計(jì)了激光跟蹤多邊測(cè)量的測(cè)試方案并給出測(cè)試結(jié)果，實(shí)現(xiàn)了2 m 口徑的非球面高精度輪廓測(cè)量。

1 非球面輪廓測(cè)量精度分析

2 m 口徑拋物鏡在進(jìn)入拋光階段前使用輪廓檢測(cè)進(jìn)行被測(cè)件的幾何參數(shù)與面形的測(cè)試。由于后續(xù)拋光不改變非球面的幾何參數(shù)，銑磨研磨階段需要將頂點(diǎn)曲率半徑和非球面系數(shù)加工到位。針對(duì)該拋物鏡，頂點(diǎn)曲率半徑R的指標(biāo)為?6 830 mm±1 mm，非球面系數(shù)e2 的指標(biāo)為1±0.001，離軸量為0±0.5 mm。同時(shí)獲取反射鏡面形，并通過研磨使得非球面的面形能夠進(jìn)入干涉測(cè)量的量程。面形達(dá)到3 μm（rms）可以進(jìn)行快速準(zhǔn)確的干涉測(cè)量。

三坐標(biāo)輪廓測(cè)量?jī)x（CMM）和激光跟蹤儀是比較常用的輪廓測(cè)量?jī)x器。CMM 雖然可以檢測(cè)大口徑輪廓，但由于檢測(cè)時(shí)需要來回搬運(yùn)被測(cè)件，操作較困難，且量程有限。激光跟蹤儀具有測(cè)量范圍大、響應(yīng)速度快、檢測(cè)范圍廣等諸多優(yōu)點(diǎn)，在大口徑非球面鏡輪廓檢測(cè)中具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

對(duì)非球面進(jìn)行輪廓測(cè)量的測(cè)試與運(yùn)算過程復(fù)雜，難以對(duì)激光跟蹤儀測(cè)試反射鏡幾何參數(shù)和面形的精度進(jìn)行嚴(yán)格的公式推導(dǎo)。利用MATLAB 對(duì)測(cè)試過程進(jìn)行多次模擬，并運(yùn)算后求得反射鏡的面形與幾何參數(shù)，包括rms、R、e2、離軸量。對(duì)比測(cè)量值與真值，確定各參數(shù)的不確定度。表1 給出了使用CMM 和激光跟蹤儀進(jìn)行測(cè)試的精度分析結(jié)果。

表1 2 m 拋物鏡輪廓測(cè)試精度分析Table 1 Accuracy analysis of 2 m parabolic mirror contour detection

使用1 臺(tái)激光跟蹤儀進(jìn)行輪廓測(cè)量，面形（rms）的測(cè)試精度為5 μm，e2的測(cè)試精度為0.001 2，無法滿足研磨階段面形和幾何精度的精度要求。

2 激光跟蹤儀多邊測(cè)量系統(tǒng)

激光跟蹤儀的測(cè)試誤差主要來源于角度誤差，為5 μm+6 μm/m。其距離測(cè)試誤差僅為0.5 μm/m?？梢岳? 臺(tái)或者3 臺(tái)以上的激光跟蹤儀組成測(cè)量網(wǎng)絡(luò)，僅利用距離信息進(jìn)行計(jì)算，以得到空間三維坐標(biāo)。利用測(cè)量平差的思想，提高坐標(biāo)測(cè)量的精度，即激光跟蹤多邊法坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)。德國(guó)聯(lián)邦物理技術(shù)研究院（PTB）根據(jù)多邊測(cè)量原理，研制出了四站激光跟蹤干涉坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)M3D3，該套系統(tǒng)在6 m 的測(cè)量空間范圍內(nèi)的測(cè)距精度可達(dá)到0.2 μm[12]。英國(guó)Cranfield University 的J.Norman 等人使用4 臺(tái)AT960 激光跟跟蹤儀和超級(jí)貓眼反射靶球SCE 對(duì)400×400 mm 的平板玻璃進(jìn)行了測(cè)試，面形精度達(dá)到了1.13 μm（rms）[13]。

按照第一節(jié)提到的輪廓測(cè)量精度仿真分析方法計(jì)算激光跟蹤多邊測(cè)量所能達(dá)到的精度，如表2 所示。

表2 多邊法進(jìn)行2 m 拋物鏡輪廓測(cè)量精度分析Table 2 Accuracy analysis of 2 m parabolic mirror contour detection by multilateral method

對(duì)于2 m 拋物鏡，多邊測(cè)量法精度達(dá)到了1.8 μm（rms），R和e2也可以滿足指標(biāo)要求。

3 測(cè)試方案與測(cè)試系統(tǒng)

在3 臺(tái)激光跟蹤儀的基礎(chǔ)上增加了1 臺(tái)激光跟蹤儀，使用4 臺(tái)激光跟蹤儀進(jìn)行測(cè)試。由多邊測(cè)量原理可知，僅靠3 臺(tái)激光跟蹤儀的測(cè)距信息即可得到被測(cè)點(diǎn)的空間三維坐標(biāo)，再引入一組測(cè)距信息作為冗余信息，在進(jìn)行坐標(biāo)解算的過程中利用測(cè)量平差的理論，對(duì)被測(cè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)值進(jìn)行優(yōu)化，降低隨機(jī)誤差，提高系統(tǒng)精度。測(cè)試系統(tǒng)的軟硬件包括：硬件包括4 臺(tái)AT930 激光跟蹤儀、超級(jí)貓眼反射靶球SCE、同步觸發(fā)器。使用MATLAB開發(fā)測(cè)量軟件，主要功能包括多邊系統(tǒng)自標(biāo)定、測(cè)量點(diǎn)三坐標(biāo)數(shù)據(jù)計(jì)算、鏡面方程擬合并輸出各參數(shù)。

4 測(cè)試步驟

4.1 多邊測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定

使用4 臺(tái)激光跟蹤儀進(jìn)行多邊測(cè)量時(shí)，測(cè)量站位共計(jì)4 個(gè)。選取1、2、3 號(hào)站位建立多邊測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系，原點(diǎn)取1 號(hào)站位B1，坐標(biāo)值為（0，0，0），設(shè)2 號(hào)站位B2坐標(biāo)值為（a，0，0），3 號(hào)站位B3的坐標(biāo)值為（b，c，0），B1，B2，B3構(gòu)成測(cè)量坐標(biāo)系的x-oy面，建立系統(tǒng)坐標(biāo)系，4 號(hào)站位B4的坐標(biāo)為（d，e，f）。針對(duì)某一被測(cè)點(diǎn)Ti，得到距離方程組如下：

一般選取20 個(gè)～30 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定，以提高坐標(biāo)系精度。使用Levenberg_Marquardt（L_M）算法求解該非線性方程組。L_M 方法是由Levenberg和Marquardt 提出的最小二乘問題求解方法，可以防止非線性最小二乘問題求解中Jacobian 陣奇異或接近奇異時(shí)無法完成計(jì)算。L-M 方法收斂速度遠(yuǎn)優(yōu)于其他非線性最小二乘算法[14]。

4.2 鏡面掃描

在進(jìn)行鏡面點(diǎn)采集時(shí)，利用超級(jí)貓眼反射靶球（SCE）和同步觸發(fā)器，實(shí)現(xiàn)4 臺(tái)激光跟蹤儀同時(shí)針對(duì)鏡面上一點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。SCE 避免了傳統(tǒng)的測(cè)量方式，比如手動(dòng)交互，同時(shí)安裝多個(gè)反射鏡或者引入主動(dòng)目標(biāo)點(diǎn)等，有效避免距離信息采集過程中因反射器帶來的誤差因素。在進(jìn)行鏡面點(diǎn)掃描時(shí)，對(duì)被測(cè)鏡的加工基準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)量，用來后續(xù)進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

4.3 鏡面點(diǎn)坐標(biāo)平差計(jì)算

針對(duì)某一被測(cè)點(diǎn)，選擇4 臺(tái)激光跟蹤儀中的3 臺(tái)，以這3 臺(tái)激光跟蹤儀的絕對(duì)距離數(shù)據(jù)計(jì)算該點(diǎn)的坐標(biāo)。計(jì)算該預(yù)估坐標(biāo)點(diǎn)與另外1 臺(tái)激光跟蹤儀之間的距離，計(jì)算該距離與該臺(tái)激光跟蹤儀所測(cè)距離之間的差值。對(duì)4 臺(tái)激光跟蹤儀進(jìn)行上述計(jì)算得到4 組距離差，其平方和即為殘差。使用L_M 算法求解殘差最小時(shí)的該鏡面點(diǎn)坐標(biāo)，完成平差，得到鏡面點(diǎn)坐標(biāo)值的集合。

4.4 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

上述鏡面點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算是在以激光跟蹤儀站位建立的坐標(biāo)系下進(jìn)行的，需要將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成光學(xué)加工坐標(biāo)系。取被測(cè)鏡外圓柱的軸線與鏡面的端平面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，加工時(shí)標(biāo)記的方向?yàn)閤軸，端平面的法線為z軸，建立坐標(biāo)系。在坐標(biāo)測(cè)量軟件SA 中完成2 個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，在光學(xué)加工基準(zhǔn)坐標(biāo)系下讀取鏡面點(diǎn)坐標(biāo)的集合。

4.5 鏡面方程擬合

在光學(xué)加工基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的鏡面點(diǎn)坐標(biāo)值的集合表示為

非球面反射鏡的鏡面方程[15]為

式中A，B，…為高次項(xiàng)系數(shù)。

上述方程可以轉(zhuǎn)換成高次曲面的另一種形式：

利用鏡面坐標(biāo)集合，對(duì)上述參數(shù)進(jìn)行擬合，并計(jì)算鏡面的面形和幾何參數(shù)。

5 測(cè)試試驗(yàn)

2 m 拋物鏡在研磨加工完成后，使用激光跟蹤儀按照第4 節(jié)的測(cè)試步驟，運(yùn)用激光跟蹤多邊測(cè)量法對(duì)其幾何參數(shù)和面形進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)如圖1 所示。

圖1 多邊法測(cè)試2 m 拋物鏡Fig.1 2 m parabolic mirror testing by multilateral method

測(cè)試結(jié)果如表3 所示。擬合得到的反射鏡面形如圖2 所示。

表3 多邊法測(cè)試結(jié)果Table 3 Testing results of multilateral method

圖2 多邊法面形擬合結(jié)果Fig.2 Surface shape fitting results of multilateral method

分別使用高精度CMM（精度為0.6 μm+1.67 μm/m）和4 D 激光干涉儀對(duì)幾何參數(shù)和面形進(jìn)行測(cè)試，R為?6 830.28 mm，e2為0.999 3，離軸量為0.21 mm，rms 為1.611 μm。面形的干涉測(cè)量結(jié)果如圖3所示。

圖3 2 m 拋物鏡干涉測(cè)量結(jié)果Fig.3 Testing results of laser interferometry of 2 m parabolic mirror

6 結(jié)論

本文針對(duì)2 m 口徑拋物鏡在研磨階段進(jìn)行輪廓檢測(cè)的技術(shù)難點(diǎn)，利用數(shù)值模擬的方法評(píng)估了使用CMM 和激光跟蹤儀進(jìn)行該測(cè)試的精度，發(fā)現(xiàn)激光跟蹤儀直接測(cè)試的精度難以滿足技術(shù)指標(biāo)。提出了基于激光跟蹤多邊測(cè)量的大口徑非球面輪廓測(cè)量技術(shù)方案，完成了2 m 口徑拋物鏡的輪廓檢測(cè)。使用高精度CMM 和動(dòng)態(tài)激光干涉儀與該方法進(jìn)行對(duì)比測(cè)試，驗(yàn)證了幾何參數(shù)和面形的測(cè)試精度，R、e2、離軸量、rms 的誤差分別為0.16 mm，0.000 6，0.14 mm，1.06 μm。該研究成果可為類似口徑的非球面輪廓檢測(cè)提供一定的借鑒。