楊海洋,黃振坤,李智勇

（集美大學(xué) 理學(xué)院,福建 廈門 361021）

在過去的幾十年,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展,衍生出很多類型,如完全同步、投影同步、滯后同步和相位同步等[1-3],且被大量的運用到實際的生產(chǎn)生活中,如安全通信、信息科學(xué)以及圖像處理等.其中,有限時間同步和固定時間同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步領(lǐng)域研究的兩個重要課題.有限時間同步[4-5]指系統(tǒng)在一個有限的時間內(nèi)取得同步,具有著收斂速度快、抗干擾能力強(qiáng)的特點.但它很大程度上依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài),不同的初始狀態(tài)可能具有不同的收斂時間[6],并且在實際應(yīng)用中大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的初始狀態(tài)往往難以改變.為了克服這一缺點,Polyakov[7]首次提出了固定時間穩(wěn)定性來解決這個問題.它表明收斂時間與初始狀態(tài)無關(guān),只與控制器參數(shù)有關(guān),保證了系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂以及對任何初始值都有一個統(tǒng)一的收斂上界.事實上,研究者希望同步的收斂時間能夠被提前設(shè)定.因此,一類通過調(diào)整參數(shù)即可獲得收斂時間的動力系統(tǒng)被提出[8],Sanchez-Torres[9]將這種情形定義為預(yù)設(shè)時間穩(wěn)定性.與固定時間穩(wěn)定性相比,預(yù)設(shè)時間的上界不是一個假定的估計值,而是一個確定的最小值,且它大于所有可能的時間設(shè)置.

然而,由于各種可能的偏差,比如系統(tǒng)間參數(shù)不匹配、控制器設(shè)計不完善、控制增益或耦合強(qiáng)度不足等,完全同步可能不再有效[10].因此,很自然地將完全同步的概念放寬,考慮網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在有限的誤差范圍內(nèi)同步.如近年來,提出了近似同步、擬同步、有界同步和實際同步等概念.

Morasso[11]引入的時間生成器（Time Base Generator,簡稱TBG)可以生成具有鐘形速度剖面的時間序列.很多學(xué)者成功地將TBG 引入到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的分析與控制中,并取得了很好的結(jié)果[12-15].本文將Parra-Vega[14]提出的適定性TBG 引入到一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制中并加以改進(jìn),實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在預(yù)設(shè)時間取得實際同步.

1 預(yù)備知識和模型描述

1.1 概念

令R 和Rn分別表示一維實空間和n 維實空間，x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn，將其2-范數(shù)記為‖x‖=,矩陣P 的譜范數(shù)定義為‖P‖=C2(0，+∞）表示在（0，+∞）上所有二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的空間.

1.2 時間生成器TBG

TBG 是一個連續(xù)可微的多項式分段函數(shù)[12],時間是它的自變量,記為ξ（t）,可表示為

其中ι（t）=[tn,tn-1,…，t，1]表示時間基向量,Γ 是相對應(yīng)的系數(shù)向量,tf＜+∞表示預(yù)設(shè)時間.

為了實現(xiàn)預(yù)設(shè)時間實際同步,還要求ξ（t）具有以下約束條件[15]：

1）ξ（t）∈C2（0，+∞）,保證時間函數(shù)ξ（t）在（0，+∞）上取值平滑;

2）ξ（t）連續(xù)不減,且ξ（0）=0,ξ（tf）=1 ;

4）當(dāng)t>tf時,ξ（t）=1,因此

例如

其中n≥5 為正整數(shù),a,b,c 為常數(shù),且當(dāng)a+b+c=1,n=b+2c,n2-n-2c=0 時滿足上述約束條件.

引理1考慮如下一階系統(tǒng)

其中p（t）∈R 表示系統(tǒng)狀態(tài),p0表示初始狀態(tài),q（t）∈R 是基于TBG 的控制協(xié)議,其具體形式為

其中ξ（t）是TBG,k（t）為TBG 增益,要求0＜δ?1,r 為正數(shù),則系統(tǒng)在tf時刻的狀態(tài)為且可以通過調(diào)整δ 使任意小以及容易看出規(guī)定的時刻tf與初始狀態(tài)無關(guān).

證明很容易得到式(3)的解為

此外,可以通過構(gòu)建不同的ξ（t）選擇不同的時刻tf,使系統(tǒng)達(dá)到研究者想要的狀態(tài).更為重要的是,此一階系統(tǒng)可以在預(yù)設(shè)的時間內(nèi)實現(xiàn)收斂而不依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài).

注1常數(shù)δ 是用來保證當(dāng)ξ（t）=1 時,k（t）是有意義的.

注2引理1 是在文獻(xiàn)[15]已有工作的基礎(chǔ)上總結(jié)得到的,并做了相應(yīng)改進(jìn).

1.3 模型描述

考慮由N 個節(jié)點構(gòu)成的一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),系統(tǒng)的每個節(jié)點都是一個n 維非自治動力系統(tǒng),第i 個節(jié)點的動力學(xué)方程表述為

其中i=1,2,…,N，xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T∈Rn是節(jié)點i 的狀態(tài)變量，A=(aij)n×n∈Rn×n,B=(bij)n×n∈Rn×n,cij表示節(jié)點j 到節(jié)點i 的有向耦合.矩陣D=(dij)n×n∈Rn×n為各節(jié)點的內(nèi)部鄰接矩陣,矩陣C=(cij)N×N∈RN×N為網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的擴(kuò)散耦合矩陣，滿足

其中cij≥0（i≠j）表示從節(jié)點j 到節(jié)點i 的耦合強(qiáng)度.此外,Ui∈Rn為設(shè)計的網(wǎng)絡(luò)控制器.

注3在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(7)中,耦合矩陣C 不一定是對稱的且其元素cij非0 或1.相反,對矩陣D 沒有約束.

假設(shè)1對于微分方程

式（9）：x(t)∈Rn,f∶Rn→Rn是一個連續(xù)函數(shù),滿足對任何初值（t,x0）.該微分方程都存在唯一的連續(xù)解x(t),其中x0∈Rn.

假設(shè)2對于向量函數(shù)f(x(t)),假定一致Lipschitz 條件成立,即對于任何向量xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T和s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T,存在一個正的常數(shù)L 使得

假設(shè)s(t)是下面微分方程

的一個解,其中s(t)可能是相空間中的平衡點、周期軌道、非周期軌道或混沌軌道.

定義1對于式(7)所描述的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),稱取得預(yù)設(shè)時間實際同步,如果存在合適的控制器Ui使得

對所有i,j=1,2,…,N，i≠j,其中預(yù)設(shè)時間tf獨立于初始狀態(tài),c 是正數(shù)且可以被取到任意小.

2 預(yù)設(shè)時間實際同步

定理1在假設(shè)1 和2 的條件下,設(shè)計自適應(yīng)反饋同步控制器

其中di(i=1,2,…,N)為常數(shù),k(t)為式(5)的形式,則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(7)在上述控制協(xié)議下取得預(yù)設(shè)時間實際同步.

證明定義誤差向量

構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù)：

由此可知，當(dāng)δ 任意小時，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各個節(jié)點xi(t)與一個虛擬的目標(biāo)節(jié)點s(t)在任意預(yù)設(shè)時間tf收斂到任意小的誤差邊界內(nèi)，且預(yù)設(shè)時間與系統(tǒng)方程的初始狀態(tài)無關(guān).

又當(dāng)t>tf時,雖然k(t)=0,但仍有≤0,則

且t＞tf時,有≤-2rV(t)≤0,V(t)≤V(0)e-2rt,容易得到

因此在預(yù)設(shè)時間tf后,隨著時間延續(xù),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各個節(jié)點xi(t)與一個虛擬的目標(biāo)節(jié)點s(t)將以指數(shù)形式實現(xiàn)完全同步.

又由于

同理容易得出‖xi(t)-xj(t)‖≤=0.由此可知，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中任意兩個節(jié)點的誤差在預(yù)設(shè)時間tf收斂到任意小的值，在預(yù)設(shè)時間后,隨著時間延續(xù),整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)將實現(xiàn)指數(shù)完全同步.且預(yù)設(shè)時間與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān).

3 數(shù)值模擬

下面將借助MATLAB 軟件，采用歐拉法，來模擬復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)的數(shù)值圖像.取步長h，記tn=t0+nh，按照歐拉遞推公式xn+1=xn+hf(tn,x(tn))，依次得到各節(jié)點tn上解函數(shù)值x(tn)的近似值xn,稱x0,x1,…,xn,…為數(shù)值解，并通過數(shù)對（tn,xn）畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像.

給定兩個系統(tǒng),分別是虛擬的目標(biāo)系統(tǒng)和所要研究的一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),并且滿足假設(shè)1 和2，其動力學(xué)方程分別為：

不失一般性.假定所要研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由100 個節(jié)點構(gòu)成,即i=1,2,…,100.在上述兩個系統(tǒng)中s(t)=[s1(t),s2(t),s3(t)]T∈R3,xi(t)=[xi1(t),xi2(t),xi3(t)]T∈R3,

內(nèi)部鄰接矩陣D=I3為單位矩陣,擴(kuò)散耦合矩陣C 滿足這里假設(shè)C 是全局連通的，為了簡單起見，選擇cij=0.01（i≠j），則耦合矩陣C 為

此外,系統(tǒng)的內(nèi)在動力方程f(x)為

它滿足假設(shè)2,即,‖f(x)-f(y)‖≤L‖x-y‖,?x,y∈R3并且經(jīng)過計算，L 可取為2.

為了取得預(yù)設(shè)時間同步,對式(2)表示的時間生成器函數(shù)ξ（t），取a=6,b=-15,c=10,n=5,并且規(guī)定預(yù)設(shè)時間tf=1,則

它及其一階導(dǎo)和二階導(dǎo)的圖像如圖1 所示.

圖1 ξ（t）及其一階導(dǎo)和二階導(dǎo)的圖像

對虛擬的目標(biāo)系統(tǒng)(24),設(shè)其初值為s(0)=[30，-30，40],則其各分量的解的圖像如圖2 所示.

圖2 s（t）各分量的解的圖像

對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(25),設(shè)其初值為：

如果di足夠大,不等式(18)將成立.不妨假定di=335,i=1,2,…，100.另外,對于TBG 增益k(t),取δ=1,則此類系統(tǒng)中各節(jié)點分量與目標(biāo)節(jié)點分量的誤差如圖3 所示.可以看出,在t=0.05 時,兩個系統(tǒng)的誤差已經(jīng)收斂到很小的范圍了.

圖3 x（t）與s（t）各分量的誤差

為了更加直觀地觀察復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時間實際同步效果,作出此類系統(tǒng)中各節(jié)點在三維空間中的圖像,即x（t）的相位圖（如圖4）.可以看出,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在預(yù)設(shè)時間幾乎收斂到同一條曲線.

圖4 x（t）的相位圖

4 結(jié)論

本文根據(jù)一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)自身的特點,設(shè)計基于TBG 的自適應(yīng)反饋同步控制器,從而實現(xiàn)此類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在預(yù)設(shè)時間取得實際同步,且預(yù)設(shè)時間與初始狀態(tài)無關(guān),預(yù)設(shè)時間以及控制收斂的誤差可以調(diào)節(jié)控制.此外，通過選取合適的參數(shù)值，采用歐拉法，借助MATLAB 軟件編程，對此類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)做了數(shù)值模擬，所得到的函數(shù)圖像驗證了結(jié)果的有效性.