賈俊霞，劉 淼

(伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,新疆 伊寧 835000)

0 引言

在解決一個具體問題時，往往需要對樣本進(jìn)行“加工”和“提煉”，針對不同的問題構(gòu)造出樣本的某種函數(shù)，為此，引進(jìn)統(tǒng)計量的概念[1].由于樣本中所包含的關(guān)于總體分布的信息可分為兩部分：一部分是關(guān)于總體的結(jié)構(gòu)信息；另一部分是關(guān)于總體的未知參數(shù)信息.在用統(tǒng)計量代替樣本作統(tǒng)計推斷時，樣本中所含的信息可能有所損失，為了便于推斷總體的未知參數(shù)信息且保證能將樣本中的未知參數(shù)信息全部提煉出來，需要一個“不損失信息”的統(tǒng)計量，充分統(tǒng)計量由此誕生，它是英國著名統(tǒng)計學(xué)家費希爾(R.A.Fisher)在1922年提出，并在后續(xù)MIMO雷達(dá)檢測性能[2]、假設(shè)檢驗、最小方差無偏估計、最大似然估計、區(qū)間估計[3]等方面研究中起到了重要的作用.此外，把愈“精”愈“好”的充分統(tǒng)計量稱之為最小充分統(tǒng)計量[4].

基于此，本文將運用因子分解定理和條件分布的理論知識，通過推理得到證明充分統(tǒng)計量更加便捷的方法[5]，并對最小充分統(tǒng)計量的相關(guān)結(jié)果加以補(bǔ)充.

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)(X1,X2,X3,…,Xn)為總體X的一個樣本，若f(X1,X2,X3,…,Xn)為一個函數(shù)，且在f中不含任何有關(guān)總體分布的未知參數(shù)，則稱f(X1,X2,X3,…,Xn)為一個統(tǒng)計量[1].

定義2[1]設(shè)(X1,X2,X3,…,Xn)是來自總體X具有分布函數(shù)F(x,θ)的一個樣本，T=T(X1,X2,X3,…,Xn)為一個(一維或多維)統(tǒng)計量，當(dāng)給定T=t時，若樣本(X1,X2,X3,…,Xn)的條件分布(離散總體為條件概率，連續(xù)總體為條件密度)與參數(shù)θ無關(guān)，則稱T是θ的充分統(tǒng)計量.

引理1(因子分解定理)[1]設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，總體的分布密度為f(x,θ)，(X1,X2,X3,…,Xn)是樣本，T(X1,X2,X3,…,Xn)是一個統(tǒng)計量，則T為θ的充分統(tǒng)計量的充要條件是：樣本函數(shù)的聯(lián)合分布密度函數(shù)可以分解為

h(x1,x2,…,xn)g(T(x1,x2,…,xn),θ)，

其中：h是(x1,x2,x3,…,xn)的非負(fù)函數(shù)且與θ無關(guān)；g僅通過T依賴于(x1,x2,x3,…,xn).

離散型隨機(jī)變量的因子分解法情況類似[7].

引理2(最小充分統(tǒng)計量的存在定理)假定分解定理中的條件成立，且樣本空間為歐氏的，則最小充分統(tǒng)計量必存在[6].

2 主要結(jié)果

定理1對于離散型隨機(jī)變量X，若X的分布律為

P{X=x(i)}=p(xi,θ)(i=1,2,…)，

(X1,X2,X3,…,Xn)是一樣本，T(X1,X2,X3,…,Xn)是一個統(tǒng)計量，對于任意的未知參數(shù)θ和任意的一組樣本觀測值，當(dāng)

(x1,x2,…,xn)∈T′(t)=

{(x1,x2,…,xn)|T(x1,x2,…,xn)=t}

時，有

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn,T=t,θ}=

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn,θ}.

證明若

T′(t)=

{(x1,x2,…,xn)|T(x1,x2,…,xn)=t}，

有一組觀測值(x1,x2,…,xn)∈T′(t)，則有

T′(t)=

{T=t}?{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}.

于是

{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn,T=t}=

{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}∩{T=t}=

{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn},

所以

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn,T=t,θ}=

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn,θ}.

定理2對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，設(shè)總體X分布密度為f(x,θ)，(X1,X2,X3,…,Xn)是樣本，T(X1,X2,X3,…,Xn)是一個統(tǒng)計量，對于任意的未知參數(shù)θ和任意的一組樣本觀測值，當(dāng)

(x1,x2,…,xn)∈T′(t)=

{(x1,x2,…,xn)|T(x1,x2,…,xn)=t}

時，有

f(x1,x2,…,xn,θ|T=t)=

證明若

T′(t)=

{(x1,x2,…,xn)|T(x1,x2,…,xn)=t}，

有一組觀測值(x1,x2,…,xn)∈T′(t)，則有

T′(t)={T=t}?{x1,x2,…,xn}.

于是

{x1,x2,…,xn,T=t}=

{x1,x2,…,xn}∩{T=t}={x1,x2,…,xn},

所以

f(x1,x2,…,xn,θ|T=t)=

證明由于X的概率密度函數(shù)為

則(X1,X2,X3,…,Xn)的聯(lián)合分布密度為

L(x1,x2,x3,…,xn,θ)=

h(x1,x2,…,xn)g(T(x1,x2,…,xn),θ),

證明(X1,X2,X3,…,Xn)的條件概率為

P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn,

T=t,p|T=t}=

例3設(shè)(X1,X2,X3,…,Xn)是來自正態(tài)總體N(θ,1)的一個樣本，則

是未知參數(shù)θ的充分統(tǒng)計量.

證明(X1,X2,X3,…,Xn)的條件密度為

f(x1,x2,…,xn,θ|T=t)=

定理3設(shè)T=T(X1,X2,X3,…,Xn)是θ的一個充分統(tǒng)計量，s(t)是單值可逆函數(shù)，則s(T)也是θ的充分統(tǒng)計量.

證明下面以連續(xù)型隨機(jī)變量為例進(jìn)行證明，對于離散型隨機(jī)變量的結(jié)果用類似方法可得.

h(x1,x2,…,xn)g(T(x1,x2,…,xn),θ)=

h(x1,x2,…,xn)g(s-1(s(T(x1,x2,…,xn))),θ)=

h(x1,x2,…,xn)q(s(x1,x2,…,xn),θ).

由因子分解定理可知，s(x1,x2,…,xn)是θ的充分統(tǒng)計量.由此可知一個總體的參數(shù)θ的充分統(tǒng)計量不唯一.

定理4設(shè)X為總體分布為f(x,θ)的隨機(jī)變量，(X1,X2,X3,…,Xn)為一樣本，T(X1,X2,X3,…,Xn)為一個統(tǒng)計量，若

(1)L(x1,x2,…,xn,θ)=

g(T(x1,x2,…,xn),θ)；

(2)對一切θ∈Θ，T(x)=T(y),當(dāng)且僅當(dāng)fx(θ)=fy(θ)，且T(x)往往直接表示為x的函數(shù)，則T(x)是最小充分統(tǒng)計量.

證明(X1,X2,X3,…,Xn)的聯(lián)合分布密度為

L(x1,x2,…,xn,θ)=

g(T(x1,x2,…,xn),θ).

(Y1,Y2,Y3,…,Yn)的聯(lián)合分布密度為

h(y1,y2,…,yn)g(T(y1,y2,…,yn),θ).

由于g僅通過T分別依賴于(x1,x2,…,xn)與(y1,y2,…,yn)，對一切θ∈Θ，若T(x)=T(y)，可得g(T(x1,x2,…,xn),θ)=g(T(y1,y2,…,yn),θ)，h是非負(fù)函數(shù)且與θ無關(guān)，由此可知fx(θ)=fy(θ)；若fx(θ)=fy(θ)，則T(x)=T(y)顯然成立，故T(x)是最小充分統(tǒng)計量.

例4設(shè)(X1,X2,X3,…,Xn)是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一個樣本，參數(shù)為θ=(μ,σ2)，對βn上的L測度μ，T(x)是一個最小充分統(tǒng)計量.

證明由于X的概率密度函數(shù)為

則(X1,X2,X3,…,Xn)的聯(lián)合分布密度為

易見，對一切θ∈Θ，若fx(θ)=fy(θ)，當(dāng)且僅當(dāng)T(x)=T(y)，故T(x)是一個最小充分統(tǒng)計量.