王婷婷， 趙東霞， 毛 莉， 范東霞

(中北大學(xué)理學(xué)院， 太原 030051)

時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有著豐富和復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為，其穩(wěn)定性等問(wèn)題受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，取得了一系列有價(jià)值的成果和方法[1-3].文獻(xiàn)[4-5]針對(duì)帶有自反饋的四神經(jīng)元時(shí)滯環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)模型建立指數(shù)型多項(xiàng)式的特征方程，采用特征根分析方法找出具有負(fù)實(shí)部特征根的參數(shù)條件，這一方法在時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面有廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[6-7]研究的環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不含有自反饋?lái)?xiàng)，其著重考察小世界聯(lián)接對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明，小世界聯(lián)接能看作一個(gè)“開(kāi)關(guān)”，它可以控制系統(tǒng)的動(dòng)力性能.文獻(xiàn)[8]研究的環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)含有自反饋?lái)?xiàng)，但不含小世界聯(lián)接，在Lyapunov方法的基礎(chǔ)上，研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性，得到了保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局穩(wěn)定性的時(shí)滯相關(guān)準(zhǔn)則，得出了一些系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的相關(guān)結(jié)論，如Hopf分叉，以及混沌等.文獻(xiàn)[9]研究了帶有兩個(gè)小世界聯(lián)接的四神經(jīng)元環(huán)形網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性，但沒(méi)有考慮自反饋?lái)?xiàng)以及自反饋權(quán)值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究如圖1所示的時(shí)滯環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

圖1 具有自反饋的四神經(jīng)元環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 A four-neuron loop network with self-feedback

i=1，2，3，4，

(1)

其中，xi(t)指的是第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的響應(yīng)，k>0為神經(jīng)元的增益，f(μ)=tanh(μ)是神經(jīng)元的激活函數(shù)，τ>0代表時(shí)滯值，bij代表第i個(gè)神經(jīng)元與第j個(gè)神經(jīng)元之間的聯(lián)接權(quán)值.顯然，聯(lián)接權(quán)值所構(gòu)成的方陣B為：

(2)

特別地，b11，b22，b33，b44表示各個(gè)神經(jīng)元的自反饋權(quán)值，b31和b24表示系統(tǒng)的兩個(gè)小世界聯(lián)接權(quán)值.

1 系統(tǒng)(1)與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性分析

考慮到雙曲正切函數(shù)的有界性-1

(3)

則有

(4)

因此，對(duì)于充分大的時(shí)間T，當(dāng)t≥T>0時(shí)，有|xi(t)|≤Pi.

定理1如果神經(jīng)元的聯(lián)接權(quán)值bij與增益k滿足如下條件：

(5)

那么，系統(tǒng)(1)的平凡解是全局漸近穩(wěn)定的，其中，

(6)

證明首先構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(7)

則對(duì)于x1，x2，x3，x4∈，W連續(xù)且非負(fù)，函數(shù)W對(duì)時(shí)間的右導(dǎo)數(shù)為

(8)

因?yàn)?/p>

f(xi(t-τ))-f(xi(t))，

且考慮到

f(xi(t))xi(t)≥f2(xi(t))，a2+b2≥2ab，

那么(8)式可化為

D+W|(1)≤

(9)

考慮到0≤f′(μ)=(tanh(μ))′<1，則可對(duì)(9)式的第二部分進(jìn)行放大，

因此有

(10)

其中，Φi與Qj的定義見(jiàn)(6)式，且

(11)

同樣的，再定義如下Lyapunov函數(shù)：

(12)

根據(jù)拉格朗日中值定理以及激活函數(shù)f(μ)=tanh(μ)及其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可得

f(xi)=xi(t)f′(ηi)，ηi∈[0，xi(t)]，
0

(13)

D+V|(1)≤Φ1f2(x1(t))+

Φ2f2(x2(t))+Φ3f2(x3(t))+Φ4f2(x4(t))+

U2f2(x2(t))+U3f2(x3(t))+U4f2(x4(t))，

(14)

其中，Ui(i=1，2，3，4)如(5)式所示.

綜上可得，當(dāng)U1，U2，U3，U4<0時(shí)，D+V<0，那么V(t)≤V(0).因?yàn)閤i(t)(i=1，2，3，4)在[-τ，∞)上也是有界的，故得xi(t→∞)=0.

由定理1可得如下關(guān)于時(shí)滯τ的穩(wěn)定性結(jié)論.

定理2若bij與k滿足如下不等式：

(15)

則可定義一個(gè)新的時(shí)滯值：

(16)

當(dāng)時(shí)滯τ滿足0≤τ<τ*時(shí)，系統(tǒng)(1)的平凡解是全局漸近穩(wěn)定的.

下面考察自反饋?lái)?xiàng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

由(6)式可得

(17)

顯然有

M1||b11|=|b22|=|b33|=|b44|=0<

M1||b11|，|b22|，|b33|，|b44|不全為0.

(18)

同理，

Mi||b11|=|b22|=|b33|=|b44|=0<

Mi||b11|，|b22|，|b33|，|b44|不全為0,(i=2，3，4).

(19)

此外，

-Φi||b11|=|b22|=|b33|=|b44|=0>

-Φi||b11|，|b22|，|b33|，|b44|不全為0,

(i=1，2，3，4).

(20)

故

τ*||b11|=|b22|=|b33|=|b44|=0>

τ*||b11|，|b22|，|b33|，|b44|不全為0,(i=1，2，3，4).

(21)

從而可以得出下列定理3.

定理3隨著自反饋?lái)?xiàng)的增加，時(shí)滯τ的全局穩(wěn)定性區(qū)間逐漸變小.

2 系統(tǒng)(1)與時(shí)滯無(wú)關(guān)的穩(wěn)定性分析

考慮到tanh′(0)=1，因此系統(tǒng)(1)的線性化方程的矩陣形式為

(22)

在這一部分，為方便推導(dǎo)，不妨假設(shè)b11=b22=b33=b44=b，即矩陣B為：

(23)

此時(shí)，矩陣B的特征方程為：

b12b23b34b41=0.

(24)

令

(25)

則(24)式可化為

λ4-4bλ3+6b2λ2-(4b3+p)λ+b4+bp-q=0.

(26)

令λ=kμ，那么(26)式等價(jià)于

(4b3k-3+pk-3)μ+(b4+bp-q)k-4=0.

(27)

引理1[10](推論2.3和推論2.7) 矩陣B的特征值di滿足di

引理2[11](Schur-Cohn準(zhǔn)則) 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式

F(μ)=anμn+an-1μn-1+…+a1μ+a0，an>0

的全體根位于單位圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)

且(n-1)×(n-1)階Jury矩陣

的內(nèi)子矩陣的行列式均大于0.

結(jié)合引理1可得，對(duì)任意的時(shí)滯τ，系統(tǒng)(22)漸近穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)方程(27)的根滿足|μ|<1，即位于單位圓內(nèi).從而結(jié)合Schur-Cohn準(zhǔn)則可得系統(tǒng)參數(shù)的穩(wěn)定性條件.

定理4對(duì)任意的時(shí)滯τ，系統(tǒng)(22)漸近穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)k，b，p，q滿足如下四組不等式條件：

(28)

證明F(μ)的全體根位于單位圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)：

F(1)=1-4bk-1+6b2k-2-4b3k-3-

pk-3+(b4+bp-q)k-4>0，

(29)

4b3k-3+pk-3+(b4+bp-q)k-4>0，

(30)

且3×3Jury矩陣

的內(nèi)子矩陣的行列式均大于0.由于

1+6b2k-2-16b4k-4-4pbk-4-16b6k-6-8pb3k-6-p2k-6，

1-6b2k-2+16b4k-4+4pbk-4-16b6k-6-8pb3k-6-p2k-6.

3 數(shù)值仿真

在這一部分，主要結(jié)合數(shù)值仿真來(lái)闡述自反饋?lái)?xiàng)對(duì)系統(tǒng)(1)穩(wěn)定性的影響.

例1考慮系統(tǒng)

(31)

即k=3，聯(lián)接矩陣B為：

首先，令自反饋?lái)?xiàng)全為0，即|b11|=|b22|=|b33|=|b44|=0.經(jīng)計(jì)算得：

U1=Φ1+τM1=-2.7+

于是，

接下來(lái)，考慮自反饋?lái)?xiàng)不全為0的情況.

1) 只有一個(gè)自反饋?lái)?xiàng)不為0，不妨取|b11|=0.3，|b22|=|b33|=|b44|=0，經(jīng)計(jì)算可得：

U1=-0.27055<0，U2=-1.87594<0，

U3=-1.91961<0，U4=-1.70459<0，

τ*=1.12705.

2) 有兩個(gè)自反饋?lái)?xiàng)不為0，不妨取|b11|=0.3，|b22|=0.1，|b33|=|b44|=0，經(jīng)計(jì)算可得：

U1=-0.25555<0，U2=-1.43289<0，

U3=-1.91461<0，U4=-1.69959<0，

τ*=1.11917.

3) 有三個(gè)自反饋?lái)?xiàng)不為0，不妨取|b11|=0.3，|b22|=0.1，|b33|=0.2，|b44|=0，經(jīng)計(jì)算可得：

U1=-0.24555<0，U2=-1.42289<0，

U3=-0.99278<0，U4=-1.66959<0，

τ*=1.11397.

4) 當(dāng)自反饋?lái)?xiàng)全不為0時(shí)，不妨取|b11|=0.3，|b22|=0.1，|b33|=0.2，|b44|=0.1，經(jīng)計(jì)算可得：

U1=-0.23555<0，U2=-1.41789<0，

U3=-0.97778<0，U4=-1.21987<0，

τ*=1.10883.

因此，根據(jù)定理1可得，在上述所有情形下，系統(tǒng)(31)的平凡解全局漸近穩(wěn)定，并且時(shí)滯τ的穩(wěn)定性區(qū)間隨著自反饋?lái)?xiàng)的增加而減小.圖2展示了自反饋?lái)?xiàng)全不為0時(shí)系統(tǒng)(31)的狀態(tài)的收斂情況，其中，初始值為x1(0)=1，x2(0)=0.8，x3(0)=0.6，x4(0)=0.5.

圖2 系統(tǒng)(31)解的漸近穩(wěn)定性Fig.2 Asymptotic stability of the solution of system (31)

例2在系統(tǒng)(22)中，取k=1，聯(lián)接矩陣B為：

根據(jù)(25)式計(jì)算可得p=-0.4，q=0.5，代入(28)式可解得

-0.029168

(32)

也就是說(shuō)，無(wú)論時(shí)滯值取多少，只要自反饋權(quán)值b滿足(32)式，該系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的.圖3展示了b=0.1，τ=0.5，初始值為x1(0)=1，x2(0)=0.8，x3(0)=0.6，x4(0)=0.5時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性.

圖3 系統(tǒng)(22)平凡解的漸近穩(wěn)定性Fig.3 Asymptotic stability of the solution of system (22)

4 結(jié)論

本文研究帶有自反饋的四神經(jīng)元時(shí)滯環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先采用Lyapunov方法進(jìn)行全局漸近穩(wěn)定性分析，得出了系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，各參數(shù)的條件，時(shí)滯τ的范圍，得到了與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性結(jié)論.結(jié)果表明，自反饋?lái)?xiàng)的增加使得時(shí)滯τ的全局穩(wěn)定性區(qū)間縮小.另一方面，采用Schur-Cohn準(zhǔn)則得到了與時(shí)滯無(wú)關(guān)的穩(wěn)定性結(jié)論，并通過(guò)數(shù)值例子給出了自反饋?lái)?xiàng)的取值范圍.