張九鑄

(金昌市金川總校龍門學(xué)校， 甘肅 金昌 737100)

淺論Kane難題

張九鑄

(金昌市金川總校龍門學(xué)校， 甘肅 金昌 737100)

文章研究了剛性球殼與固定的剛性水平面的碰撞，在動能損失計算式中引入了碰撞點的切向末速度與切向初速度之比，根據(jù)能量守恒定律指出了合理的k值范圍，從而指出了Kane難題即碰撞過程中的動能損失小于零的原因。

斜碰撞；動能；Kane難題；庫侖摩擦定律

圖1 均質(zhì)剛性球殼

1 動能損失的計算式

再設(shè)球殼在整個碰撞過程中受到的切向沖量為IF，由平面運動剛體動力學(xué)方程有

(3)

(4)

球殼的動能損失為

(7)

將式(4)、(5)、(6)代入式(7)，整理得到

(8)

以彈性碰撞為例：因為e2=1，所以，為使ΔEk≥0，須有k2≤1，即

-1≤k≤1

(9)

k=1表示球殼不受切向力，以致碰撞點的切向初、末速度相等，這時ΔEk2=0。k=0表示碰撞點切向末速度為零，這時ΔEk2最大。k=-1表示碰撞點初、末切向速度等大、反向，ΔEk2=0；且在整個碰撞過程中碰撞點無相對滑動，否則，因此產(chǎn)生的滑動摩擦力將使ΔEk2≠0。總之，能量守恒定律給出了碰撞點的切向末、初速度之比k或碰撞過程性質(zhì)一個限制：由于動能損失不能為負(fù)，故碰撞點的切向末速度絕對值不能大于切向初速度絕對值。

(12)

文獻(xiàn)[1]給出了一組數(shù)值：α=30°，e=0.7，μ=0.4，γ>0.20。由式(12)和這些數(shù)值可得出ΔEk/Ek0<0這一不符合能量守恒定律的結(jié)果?，F(xiàn)在進(jìn)一步取γ=0.3，代入式(10)、(11)得

而

可得

顯然不滿足式(9)，導(dǎo)致ΔEk/Ek0<0。

2 Kane難題產(chǎn)生的原因

文獻(xiàn)[1]給出的上述初始條件都是合理的，所用定理和公式(質(zhì)心運動定理、質(zhì)心系中的動量矩定理及恢復(fù)系數(shù)的牛頓公式)也是合適的，這樣，就本問題來說Kane難題產(chǎn)生的原因只能是用庫侖摩擦定律IF=-μIN將法向沖量和動摩擦力沖量聯(lián)系起來。由于我們無法確定球殼的全部受力或它們之間的關(guān)系，而用庫侖摩擦定律去聯(lián)系法向約束力和切向作用力在這里是錯誤的。

(13)

和

(14)

純滾動開始時有

vx1+ω1R=0

(15)

整個碰撞過程中，在豎直方向上，由質(zhì)心運動定理有

(16)

由式(13)、(14)、(15)，得到

以上兩式相除并且利用式(16)，得到

可見，因為缺乏計算IN1、IF2、IN2的全部知識，所以不能最終算出k，也就不能算出ΔEk2。

[1] 劉延柱．關(guān)于摩擦碰撞的Kane難題[J]．力學(xué)與實踐，2012，34(1)：91-94．

Liu Yanzhu． Kane problem about friction collision[J]． Mechanics in Engineering， 2012， 34(1)： 91-94． ( in Chinese )

DISCUSSIONONKANEPROBLEM

ZHANGJiuzhu

(Longmen School of Jinchuan Group LTD, Jinchang Gansu 737100)

Studying the collision between rigid spherical shells and fixed rigid flat surface, the article educes the rational value range ofkaccording to the law of conservation of energy by adding the ratio of tangential final velocity and tangential muzzle velocity of the collision point in the equation of kinetic energy loss, thus points out the reason why the kinetic energy loss in a collision is less than zero(Kane problem).

oblique collision; kinetic energy; Kane problems; Coulomb’s law of friction

2015-03-18；

2015-07-31

張九鑄，男，中學(xué)高級教師，jcgszhjzh@sohu.com。

張九鑄. 淺論Kane難題[J]. 物理與工程，2017，27(6)：60-61.

■