周國(guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

矩形腔的等傾干涉原理

周國(guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

依據(jù)波動(dòng)光學(xué)關(guān)于光的干涉的原理, 具體而詳細(xì)地分析了一種能產(chǎn)生等傾干涉現(xiàn)象的矩形腔干涉裝置，推導(dǎo)并討論了該結(jié)構(gòu)發(fā)生等傾干涉的條件及干涉條紋的分布規(guī)律。理論推導(dǎo)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互印證，文中討論了這一等傾干涉原理在光學(xué)技術(shù)的各領(lǐng)域，尤其是在二維微位移光學(xué)傳感方面的應(yīng)用前景，并強(qiáng)調(diào)了其對(duì)光學(xué)干涉理論的教學(xué)實(shí)踐與教研內(nèi)容的擴(kuò)充與輔助作用。

干涉；等傾干涉；光學(xué)干涉；干涉圓環(huán)；矩形腔；光學(xué)諧振腔

自從楊氏干涉實(shí)驗(yàn)證明了光的波動(dòng)本性之后，各種光學(xué)干涉儀應(yīng)運(yùn)而生，滿足了光學(xué)技術(shù)發(fā)展過(guò)程中的各種特殊要求，奠定了現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)[1-4]。兩列或多列光波發(fā)生干涉有3個(gè)條件： (1)頻率相同；(2)振動(dòng)方向相同；(3)相位差(或初相位差)恒定。不同的光學(xué)干涉裝置就是用不同的方式滿足以上條件尤其是第三個(gè)條件[1-9]。例如拙著文獻(xiàn)[5]闡述了兩種振幅分割式多光束等傾干涉結(jié)構(gòu)――矩形腔與大頂角等腰劈干涉結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[6～9] 闡述了若干等厚干涉結(jié)構(gòu)及其干涉理論。本文更為詳盡而深入地分析了文獻(xiàn)[5]的矩形腔等傾干涉結(jié)構(gòu)。在擴(kuò)展光源照射下，光波在矩形腔內(nèi)外的橫向傳播將發(fā)生振幅分割式多光束等傾干涉現(xiàn)象——產(chǎn)生不等間隔的同心圓環(huán)形條紋。本文還對(duì)矩形腔等傾干涉的約束條件與場(chǎng)強(qiáng)分布、半值寬度與反襯度，及其應(yīng)用前景, 尤其是二維微位移光學(xué)傳感方面，作了具體而詳細(xì)的討論。

1 矩形腔的等傾干涉原理

1.1 矩形腔內(nèi)外光的橫向傳播規(guī)律

圖1 矩形腔光學(xué)干涉原理示意圖

圖2 透射光強(qiáng)It—相位差δ分布圖

基于幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)的基本定律，我們可證明如下結(jié)論：腔內(nèi)的光線路徑PP1P2P3P4具有與入射點(diǎn)無(wú)關(guān)的不變長(zhǎng)度，當(dāng)腔內(nèi)同一反射回路的兩組相對(duì)而反向的光線分別平行于矩形橫截面兩條對(duì)角線時(shí)，所有反射回路將重合為同一個(gè)封閉平行四邊形回路，其周長(zhǎng)為橫截面矩形對(duì)角線長(zhǎng)度L的兩倍。

(1)

而光線在矩形腔內(nèi)的路徑PP1P2P3P4的長(zhǎng)度H為

(2)

從P4點(diǎn)作反射光線I′的垂線，垂足為E, 由于△QPP4為一個(gè)等腰三角形，則有

(5)

及折射定理n1sini0=n2sini, 則I′,T1之間的表觀(幾何)光程差為

(6)

式(6)的推導(dǎo)過(guò)程中用到了式(5)及折射定理。表觀相位差δ為

(7)

(8)

1.2 干涉場(chǎng)光強(qiáng)的極值條件與條紋的分布規(guī)律

這些光波束的復(fù)振幅形成等比數(shù)列，在單色擴(kuò)展光照射下，發(fā)生多光束等傾干涉。反射線集合之諸光束的復(fù)振幅的代數(shù)和為

(9a)

同理透射線集合之諸光束的復(fù)振幅的代數(shù)和為

(9b)

(10)

(11)

顯然當(dāng)透射光場(chǎng)強(qiáng)式(11)極大(小)時(shí)，必致反射光場(chǎng)強(qiáng)極小(大)。由式(6)、式(7)及式(10、(11),當(dāng)折射角i滿足cosδ=1, 即當(dāng)

(12)

時(shí)，透射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(11)為第k級(jí)極大，即(It)max=I0, 此時(shí)相應(yīng)的反射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(10)為第k級(jí)極小。當(dāng)折射角i滿足cosδ=-1, 即當(dāng)

(13)

時(shí)，透射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(11)為第k級(jí)極小，即

(14)

此時(shí)相應(yīng)的反射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(10)為第k級(jí)極大。根據(jù)式(11)、(14)，可得如圖2所示的透射光光強(qiáng)It隨相位差δ而變化的分布圖形。

顯然由式(6)、(7)、(10)、(14)可知，這里發(fā)生的是等傾干涉，因?yàn)楦缮鎴?chǎng)的光強(qiáng)分布及光程(相位)差公式隨入射角而變，同一極大環(huán)紋對(duì)應(yīng)于同一入射角(折射角)。本文作者與文獻(xiàn)[5]的第二作者設(shè)計(jì)制作了具體的實(shí)驗(yàn)裝置,使氦氖激光光束(波長(zhǎng)為632.8nm)經(jīng)擴(kuò)束鏡入射以代替擴(kuò)展光源，雖然囿于經(jīng)費(fèi)，裝置簡(jiǎn)陋，但確實(shí)觀察到理論所預(yù)言的一些不等間隔、明暗相間的同心圓環(huán)，從而驗(yàn)證了這一等傾干涉原理和技術(shù)。如圖3所示。但必須指出，觀察等傾干涉條紋所需選用的最佳光源當(dāng)首選非相干的擴(kuò)展光源[3，4]。

圖3 矩形腔等傾干涉條紋

1.3 干涉條紋的反襯度與半值寬度

正因?yàn)楸疚慕榻B的光學(xué)干涉裝置為多光束等傾干涉結(jié)構(gòu)，理論上其干涉條紋明亮細(xì)銳，對(duì)比強(qiáng)烈，具有很高的反襯度η(contrast，即對(duì)照度)[ 3，4 ]。以透射光干涉場(chǎng)為例,其反襯度η的表達(dá)式如下

(15)

圖4 干涉條紋的半值寬度

因此,在兩種介質(zhì)分界面 (一般是光學(xué)玻璃與空氣的分界面) 上,反射率R越大(越趨近于1), 則反襯度η就越大(越趨近于1)。另一方面，透射光干涉條紋的細(xì)銳程度則由其半值寬度ε決定[3，4]。根據(jù)式(11)～(13)，可得如圖4所示的透射光的第k級(jí)極大條紋的光強(qiáng)It隨相位差δ分布的圖形。所謂半值寬度，即在其場(chǎng)強(qiáng)峰值I0處兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)值It降到I0的一半時(shí)，兩點(diǎn)間的相位寬度ε=δ2-δ1；當(dāng)δ1,2=2kπ±ε/2時(shí)，It/I0=1/2，此時(shí)

(16)

將上式及It/I0=1/2代入式(11)，可得半值寬度ε=δ2-δ1的表達(dá)式即

(17)

上式表明,界面反射率越高,則半值寬度越小,條紋越細(xì)銳,條紋分辨率越高,干涉效果越好。

由界面反射率的菲涅爾公式可知，當(dāng)界面內(nèi)側(cè)折射角i滿足0≤i≤θc(全反射臨界角)，隨著折射角i增大，則平行于界面的S偏振的光強(qiáng)反射率將單調(diào)增加[3]；很顯然,矩形腔的界面(AB、DC)的反射率因?yàn)槠淙肷浣?折射角)較平行膜結(jié)構(gòu)的入射角(折射角)大，因而理論上矩形腔結(jié)構(gòu)的等傾干涉條紋具有更明亮細(xì)銳的特點(diǎn)，從而擁有更高的反襯度和分辨率。

2 約束條件與若干討論

為了保證每一個(gè)反射回路在內(nèi)側(cè)界面AD及BC發(fā)生全反射，并觀察到等傾干涉現(xiàn)象，至少恰能觀察到完整的中央干涉圓斑，基于這一要求,我們可推導(dǎo)出矩形腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)(即橫截面的長(zhǎng)寬尺寸), 與內(nèi)外介質(zhì)的折射率所需滿足的約束條件,即相應(yīng)于中央圓斑情形,此時(shí)腔內(nèi)反射線平行于對(duì)角線，i=arctan(a/b),腔內(nèi)界面AD處的入射角θ不小于全反射臨界角θc=arcsin(n1/n2),其中

(18)

(19)

最后可得，矩形腔橫截面的長(zhǎng)寬尺寸之比與內(nèi)外折射率需滿足如下約束條件

(20)

另一方面，理論上當(dāng)tani充分接近a/b時(shí)，亦即當(dāng)腔內(nèi)光線分別近似地平行于兩條對(duì)角線時(shí)，反射回路數(shù)N將趨近于無(wú)窮，從而保證干涉的方式為理想的多光束等傾干涉，諸透射光與反射光束的復(fù)振幅的代數(shù)和式(9a-9b)便為一無(wú)窮級(jí)數(shù)。實(shí)際上由于來(lái)自于擴(kuò)展光源或經(jīng)過(guò)擴(kuò)束透鏡的激光光束具有一定的角寬度，由式(4)可知光線在腔內(nèi)形成完整反射回路的次數(shù)N為

(21)

(22)

(23)

其中Δ為兩者之相對(duì)誤差，Δ=RN(2cosNδ-RN)；相應(yīng)地，條紋峰值的實(shí)際半值角寬度εN比理論的ε∞值有所增加，εN=ε∞(1+Δε)。我們可給出一組數(shù)據(jù)，使讀者對(duì)此有一粗略的定量概念：腔體長(zhǎng)寬尺寸a:1cm；波長(zhǎng)λ:632.8nm；為了使反射回路達(dá)到N:40個(gè)(即有限項(xiàng)數(shù)為40個(gè)),須使腔內(nèi)光束折射角的角度范圍在i:(45°-0.357°,45°+0.357°)；強(qiáng)度峰值相對(duì)偏差Δ:0.196，相應(yīng)地半值角寬度較理論結(jié)果有所增加,而實(shí)際峰值強(qiáng)度較理論結(jié)果有所減弱。實(shí)驗(yàn)中最多約觀察到7個(gè)較清晰的干涉圓環(huán)。

3 應(yīng)用前景

矩形腔內(nèi)光的橫向傳播的等傾干涉原理，表明它不僅能作為一種諧振腔而運(yùn)用于光學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，還可應(yīng)用于二維微位移(速度)的光學(xué)傳感測(cè)量技術(shù)。由于等傾干涉條紋具有高分辨率、高反襯度、細(xì)銳明亮等特點(diǎn)，所以測(cè)量的靈敏度和精度都很高，理論上精度可以達(dá)到10-6m～10-7m?；谄叫心ざ喙馐葍A干涉原理的F-P干涉儀，為微位移精密測(cè)量提供了技術(shù)基礎(chǔ)，但僅限于一維測(cè)量[1-4], 而基于矩形諧振腔的等傾干涉原理而設(shè)計(jì)的光學(xué)微位移傳感器, 則能實(shí)現(xiàn)二維微位移(速度)傳感[11,12]。這是因?yàn)?，如圖5所示,a,b分別是矩形腔沿x、y軸方向的尺寸，根據(jù)式(7)、(9)與(11)、(12)，當(dāng)矩形腔的兩條鄰邊分別沿x、y軸方向發(fā)生微小而緩慢的位移，則干涉場(chǎng)強(qiáng)將發(fā)生周期性變化。由中央亮斑吞吐或條紋移動(dòng)的個(gè)數(shù)，即可計(jì)算腔壁沿x或y軸方向的位移大小，從而實(shí)現(xiàn)二維微位移(速度)傳感。實(shí)際上有兩種二維微位移(速度)的光學(xué)傳感方式。一種是分時(shí)分維模式：對(duì)x方向測(cè)位移時(shí)，固定y方向可移動(dòng)部件不動(dòng)；對(duì)y方向測(cè)位移時(shí)，固定x方向可移動(dòng)部件不動(dòng)。另一種模式較為復(fù)雜，以下給予具體而詳盡的分析。

圖5 二維微位移傳感的光學(xué)干涉裝置

為了同時(shí)對(duì)兩個(gè)相互垂直方向的微位移進(jìn)行測(cè)量, 我們對(duì)上述干涉結(jié)構(gòu)加入了附加功能即利用矩形腔等傾干涉的裝置的AB與DC兩塊光學(xué)玻璃同時(shí)進(jìn)行F-P干涉，實(shí)現(xiàn)聯(lián)合測(cè)量，可以同時(shí)精確地測(cè)量x、y軸兩個(gè)方向的微位移。具體裝置如圖5所示。干涉系統(tǒng)由兩個(gè)L型的直角板組成，y方向上的兩平板內(nèi)側(cè)為反射平面鏡，x方向的兩平板為光學(xué)半透膜，涂有能量反射率為R的薄膜，兩束平行入射光束I1與I2的入射角分別為i0與i′(零角度附近),在S1與S2處分別形成干涉圓斑。L1和L2構(gòu)成矩形，當(dāng)L1固定不動(dòng)，而讓L2沿著x軸或y軸兩個(gè)方向移動(dòng)(但不能轉(zhuǎn)動(dòng)),S1和S2處形成極強(qiáng)干涉亮斑的相位差條件為

其中k1、k2為整數(shù)，i為腔內(nèi)折射角(等于腔外入射角i0)，n1,λ分別為空氣折射率與入射光真空波長(zhǎng)。當(dāng)L2直角板移動(dòng)時(shí)，a,b將分別發(fā)生變化Δa、Δb，進(jìn)而相位差δ1、δ2也分別發(fā)生變化Δδ1、Δδ2分別為

其中，Δa≡Δx,Δb≡Δy，為L(zhǎng)2板分別在x和y方向的位移，Δk1和Δk2分別為干涉斑點(diǎn)S1和S2處明暗變化的周期數(shù)，并可通過(guò)檢數(shù)技術(shù)測(cè)定。聯(lián)立并求解上面兩式(26)和(27)，可得x和y方向的位移值Δx,Δy的表達(dá)式分別為

(28)

由于腔內(nèi)折射角i、i′、入射光波長(zhǎng)λ、以及空氣折射率n1均為常數(shù)，因此方程組(28)給出了(Δx，Δy)與(Δk1，Δk2)之間的線性關(guān)系；通過(guò)實(shí)驗(yàn)校定的方法即可測(cè)定式(28)中Δk1和Δk2前的線性系數(shù)，從而最終測(cè)得分別發(fā)生于在x和y軸方向的二維微位移ΔS=(Δx,Δy)。

4 結(jié)語(yǔ)

理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，在單色/復(fù)色擴(kuò)展光源照射下，我們將觀察到單色/彩色干涉圓環(huán)。文獻(xiàn)[5]及本文關(guān)于矩形腔內(nèi)等傾干涉原理的發(fā)現(xiàn)與研究，豐富了有關(guān)矩形光學(xué)諧振腔與等傾干涉的教學(xué)內(nèi)容，擴(kuò)充了光學(xué)等傾干涉的實(shí)現(xiàn)方式。它不僅對(duì)于F-P干涉技術(shù)具有相似性、等效性, 而且具有補(bǔ)充性, 即一些新的特點(diǎn)。如果犧牲對(duì)于兩個(gè)豎直反射側(cè)面的全反射要求，則即可利用布斯特定律，獲得高偏振度的線偏輸出; 另一方面，利用這一干涉結(jié)構(gòu)有可能實(shí)現(xiàn)二維微位移(速度)的光學(xué)傳感。對(duì)于矩形腔以及等腰劈等傾干涉結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)及其應(yīng)用的研究, 尤其是在二維微位移光學(xué)傳感方面應(yīng)用的研究, 已經(jīng)并將更深入地進(jìn)行[11-14]。

鳴謝： 感謝鐘錫華教授對(duì)此文提出了寶貴的修改建議。

[1] Born M, Wolf E. Principles of Optics[M]. (6th ed). New York: Pergamon Press. 1981.291.

[2] Klein M V. Optics[M]. New York: John Wiley & Sons, Inc. 1981: 199-200.

[3] 趙凱華, 鐘錫華. 光學(xué)(上冊(cè))[M]. 北京：北京大學(xué)出版社, 1984, 330-339; 245-260.

[4] 鐘錫華. 現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社, 2003:167-170,204-205.

[5] Zhou Guoquan，Sui Shixian. Equal inclination interference principles in a rectangular cavity and in an isosceles wedge[J]. Optical Engineering,1994(3): 2922-2926.(SPIE)

[6] 周國(guó)全. 牛頓環(huán)干涉裝置的若干變異結(jié)構(gòu)[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版), 2000, 33(5)： 110-112.

Zhou Guoquan. Several variant structures of interference apparatus for Newton’s rings[J]. Journal of Wuhan University (Eng. Ed.), 2000, 33(5)： 110-112. (in Chinese)

[7] 周國(guó)全, 郭長(zhǎng)立. 再論牛頓環(huán)干涉裝置的若干變異結(jié)構(gòu)[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2005, 51(1)：51-54.

Zhou Guoquan, Guo Changli. Several more variant structures of interference apparatus for Newton’s rings[J]. Journal of Wuhan University (Nat.Sci. Ed.), 2005, 51(1)： 51-54. (in Chinese)

[8] 周國(guó)全. 牛頓型等厚直紋干涉及其變異結(jié)構(gòu)[J]. 物理通報(bào)，2015(1):31-34.

Zhou Guoquan. The equal thickness interference fringes for several more Newton-type variant interference structures[J]. Physics Bulletin， 2015(1): 31-34. (in Chinese)

[9] 周國(guó)全. 正交柱面透鏡的橢圓(雙曲)型等厚干涉條紋[J]. 大學(xué)物理，2016，35(7):6-10.

Zhou Guoquan. The elliptic (Hyperbola) distribution laws of equal-thickness interferences for two crossed convex(concave) column lens[J]. College Physics， 2016， 35(7): 6-10. (in Chinese)

[10] 周國(guó)全,祁寧. 大頂角等腰劈的等傾干涉原理[J]. 物理與工程，2017, 27(4):44-49.

Zhou Guoquan, Qi Ning. The equal inclination interference in an Isosceles triangular wedge with a big vertex angle[J]. Physics and Engineering， 2017, 27(4): 44-49. (in Chinese)[11] 周國(guó)全. 張斯磊.基于等傾干涉的二維微位移光學(xué)傳感測(cè)距系統(tǒng)[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)2010,57(1):606-613.

Zhou Guoquan, Zhang Silei. A two-dimensional optical micro-displacement sensing and ranging system based on new equal inclination interference structure[J]. Journal of Wuhan University(Nat. Sci. Ed.), 2010, 57(1): 606-613. (in Chinese)

[12] 周國(guó)全, 孫東振, 彭獲然. 基于LabVIEW平臺(tái)的新型二維微位移傳感器設(shè)計(jì)[J]. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào), 2015(4): 607-612.

Zhou Guoquan, Sun Dongzhen, Peng huoran. A novel two-dimensional micro-displacement sensor based on LabVIEW platform[J]. Chinese Journal of Sensors and Actuators, 2015(4): 607-612. (in Chinese)

[13] 周國(guó)全，周一博. 基于CMOS圖像傳感技術(shù)和等傾干涉的改進(jìn)的二維微位移傳感系統(tǒng)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版), 2017, 50(2):301-306.

Zhou Guoquan, Zhou Yibo. An improved two-dimension micro-displacement sensor system based on the techniques of CMOS image sensor and equal-inclination interference[J]. Journal of Wuhan University (Eng. Ed.), 2017, 50(2): 301-306. (in Chinese)

[14] Zhou Guoquan， Sun Dongzhen. A novel two-dimensional micro-displacement sensor based on a new optical structure for equal-inclination interference[C]. 2012, 2012 Symposium on Photonics and Optoelectronics, (SOPO), Shanghai.

PRINCIPLEOFEQUALINCLINATIONINTERFERENCEINARECTANGULARCAVITY

ZHOUGuoquan

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan Hubei 430072)

According to the theory of wave optics about optical interference, this paper concretely introduces and analyzes the rectangular cavity as a device of generating the equal inclination interference. The conditions of equal inclination interference and the distribution pattern of interference fringes are deduced and discussed, which are in accordance with the observed phenomena in a verification experiment. Meanwhile, the application possibilities of this interference principle in different fields of optical technology are discussed, especially for the field of two dimensional optical micro-displacement sensor. Its subsidiarity to our pedagogical practices about optical interference is emphasized. The content of the teaching research about the equal inclination interference is extended.

interference; equal inclination interference; optical interference; rectangular cavity; optical resonant cavity

2017-04-02;

2017-07-07

高校教指委電動(dòng)力學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目. 項(xiàng)目編號(hào):JZW-16-DD-15； 中央高校教育教學(xué)改革專向項(xiàng)目-武漢大學(xué)“351人才計(jì)劃”教學(xué)崗位資助項(xiàng)目。

周國(guó)全，男，副教授， 研究方向：電磁場(chǎng)與光電子技術(shù)；非線性方程與孤子理論,zgq@whu.edu.cn。

周國(guó)全. 矩形腔的等傾干涉原理[J]. 物理與工程，2017，27(6)：45-50,53.

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