陳文卿 閆 述

(江蘇大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與通信工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

靜電場電位邊值問題唯一性定理的補(bǔ)充與完整證明

陳文卿 閆 述

(江蘇大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與通信工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

本文對靜電場電位邊值問題與解的唯一性定理作了補(bǔ)充與完整的證明．首先將區(qū)域邊界與銜接邊界從通常的混稱中區(qū)分開來，確認(rèn)了靜電場邊值問題中第三類邊界條件應(yīng)有的形式，在解的唯一性定理中增加了銜接條件和無限遠(yuǎn)邊界條件，并根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式重新歸類。然后在區(qū)域邊界條件、無限遠(yuǎn)邊界條件和銜接條件下電位解的唯一性的證明中，討論了第一、第三類邊值問題電位解的唯一性與全二類邊界條件下電位存在常數(shù)差的問題，解除了第三類邊界條件系數(shù)為正的限制，說明了整個(gè)求解空間為無限大時(shí)適用的邊值問題。最后通過例題說明了區(qū)域、無限遠(yuǎn)和銜接3種邊界條件在解題中的應(yīng)用。補(bǔ)充后的定理可以更好地作為解題和后續(xù)學(xué)習(xí)的依據(jù)和基礎(chǔ)。

電位的邊值問題；區(qū)域邊界條件；銜接條件；唯一性定理；證明

電位的邊值問題與解的唯一性是通信和電子信息類相關(guān)專業(yè)本科階段電磁場與電磁波和電動力學(xué)課程中靜電場部分的重要內(nèi)容，也是求解其他邊值問題的基礎(chǔ)。該課程的現(xiàn)行教材中，普遍證明了第一、第二類邊界條件[1-19]，對第三類邊界條件的定義大多與《數(shù)學(xué)物理方法》[20,21]中的定義不同[1-11]，有的相同[12-15]。當(dāng)求解區(qū)域不止包含一種媒質(zhì)或無限大時(shí)，也需要將銜接條件[15-17,20-22]和無限遠(yuǎn)邊界條件[11-15,22]均納入唯一性定理[15]，并給出完整的證明。為此，本文定義與區(qū)分了區(qū)域邊界條件與銜接邊界條件，確認(rèn)了第三類邊界條件應(yīng)有的形式，將無限遠(yuǎn)邊界和銜接條件均納入唯一性定理，并根據(jù)Helmholtz定理說明了無限遠(yuǎn)邊界條件針對的是Possion方程。在定理的證明中，我們無需規(guī)定第三類邊界條件的系數(shù)為正[21,22]；將無限遠(yuǎn)邊界條件作為齊次第一、第二類條件處理；證明了第一、第三類邊值問題和銜接條件下電位的唯一性，說明了第二類邊值問題電位的解存在常數(shù)差的情況；根據(jù)銜接條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將介質(zhì)與導(dǎo)體的銜接條件歸入第一、第二類邊界條件，在現(xiàn)有工作[23,24]的基礎(chǔ)上，使求解電位邊值問題所依據(jù)的唯一性定理的證明更為完備。最后，通過典型的分離變量法例題，說明了區(qū)域邊界條件、無限遠(yuǎn)邊界條件和銜接條件在解題中的應(yīng)用。

1 兩種邊界與兩類邊界條件

在靜電(以及更廣泛的電磁)問題中，所要求解區(qū)域的邊界稱為區(qū)域邊界；如果在此區(qū)域中存在一種以上的媒質(zhì)，不同媒質(zhì)的分界面稱為銜接邊界[13,20-22](圖1)。區(qū)域和銜接邊界上場量所滿足的條件往往通稱為邊界條件[1-12]。為明確起見，建議分別稱為邊界條件和銜接條件。

當(dāng)求解區(qū)域包括場源，均勻、線性、各向同性媒質(zhì)中電位滿足的Poisson方程為

2Φr=-

(1)

當(dāng)上述求解區(qū)域中無源，電位滿足Laplace方程

2Φr=0

(2)

在區(qū)域邊界上，常有3種類型的邊界條件。第一類邊界條件又稱為Dirichlet條件：給定區(qū)域邊界上的電位值，

ΦS=f1S

(3a)

第二類邊界條件又稱為Neumann條件：給定區(qū)域邊界上電位的法向?qū)?shù)值,

(3b)

第三類邊界條件又稱為Robin條件[16,17]：給定區(qū)域邊界上的電位值和電位法向?qū)?shù)的線性組合,

(3c)

式中，α和β均為不為零的實(shí)數(shù)。第一、第二類邊值問題是第三類邊值問題α和β分別等于零時(shí)的特例。第三類邊界條件指的是給定區(qū)域邊界上每一點(diǎn)的電位值和電位的法向?qū)?shù)值之和，并不是如式(4)所示那樣在區(qū)域的一部分邊界上給定電位值，在另外一部分邊界上給定電位的法向?qū)?shù)值[1-11]。

(4)

如果求解區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)無限空間，有無限遠(yuǎn)處的邊界條件為

式中，R是場點(diǎn)到源點(diǎn)的距離。

當(dāng)求解區(qū)域是分區(qū)均勻的，即存在多種媒質(zhì)(如圖1所示)的情況下，在不同媒質(zhì)的分界面上，Poisson或Laplace方程不再成立，界面兩邊的場量由銜接條件聯(lián)系

圖1 區(qū)域邊界與銜接邊界

式中i≠j，代表媒質(zhì)i與媒質(zhì)j；ρS為分界面上的自由電荷面密度。

在介質(zhì)分界面上沒有自由電荷，銜接條件(6)中的ρS=0，有

在導(dǎo)體與介質(zhì)的分界面上，由于導(dǎo)體表面為等位面，導(dǎo)體表面上存在感應(yīng)的自由電荷，故銜接條件式(6)變?yōu)?/p>

式中C為常數(shù)。

區(qū)域邊界和銜接邊界可以重合、部分重合或完全不重合。銜接條件(8a)和(8b)分別與第一、第二類邊界條件具有相同的數(shù)學(xué)形式，故可按區(qū)域邊界條件處理。

當(dāng)求解區(qū)域中存在一種以上的媒質(zhì)時(shí)，應(yīng)在各媒質(zhì)中分別列出Poisson或Laplace方程，定解條件除給出邊界條件外還要給出銜接條件。

2 完整的電位邊值問題解的唯一性定理與證明

2.1 完整電位邊值問題解的唯一性定理

增加銜接條件和無限遠(yuǎn)處的邊界條件后，靜電場電位邊值問題解的唯一性定理可以補(bǔ)充為：在封閉面包圍的介質(zhì)分區(qū)均勻的區(qū)域中，當(dāng)邊界上給定上述第一、第二、第三類邊界條件中的一種(在邊界的不同部分邊界條件的類型可以不同[20,21])，那么區(qū)域內(nèi)的電位由Possion方程或Laplace方程及銜接條件唯一確定。

當(dāng)求解區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)無限空間、源分布在有限區(qū)域中時(shí)，唯一性定理仍然成立。

對補(bǔ)充后的靜電場電位邊值問題解的唯一性定理分兩步證明，第一步：當(dāng)求解空間中只有一種媒質(zhì)時(shí)，證明區(qū)域邊界條件下解的唯一性；第二步：當(dāng)求解空間中有一種以上媒質(zhì)時(shí)，證明區(qū)域邊界及銜接條件下解的唯一性。

2.2 區(qū)域邊界條件和無限遠(yuǎn)邊界條件的證明

用反證法。假設(shè)在場域中電位φ滿足Poisson方程或Laplace方程，邊界滿足三類邊界條件之一的電位不是唯一的，至少有兩個(gè)解，分別記為Φ′和Φ″，令

δΦ=Φ′-Φ″

(9)

將Φ′和Φ″代入Poisson方程(1)和Laplace方程(2)，有

將式(10a)中的兩式和式(10b)中的兩式分別相減后，得到

2δΦ=2Φ′-2Φ″=2Φ′-Φ″=0

(11)

利用第一標(biāo)量Green公式

(12a)

取式(12a)中兩個(gè)標(biāo)量Ψ和Φ相同等于δΦ，則

(12b)

將式(11)代入上式(12b)，得

(13)

當(dāng)給定第一類邊界條件

Φ′S=Φ″S=f1(S)

(14a)

那么在邊界S上

δΦS=Φ′S-Φ″S=0

(14b)

故公式(13)

(15)

當(dāng)給定第二類邊界條件

(16a)

那么在域邊界S上

(16b)

故公式(13)

(17)

由式(15)和式(17)可見，對于第一和第二類邊界條件，均有

(18)

式中體積分的被積函數(shù)大于或等于零，要使等式成立，被積函數(shù)必須為零，即

δΦ=0

(19)

上式表明，電位差δΦ是一個(gè)常數(shù)，由式(9)可知

δΦ=Φ′-Φ″=C

(20)

由給定的第一類邊界條件式(14)，可知上式中的常數(shù)C=0，由于式(9)表示的是V內(nèi)和S面上所有的Φ′和Φ″，所以邊界面上電位給定時(shí)有

Φ′=Φ″

此時(shí)電位被唯一確定。

由給定的第二類邊界條件式(16)可知，電位Φ的兩個(gè)不同的解相差一個(gè)常數(shù)

Φ′=Φ″+C

正如對式(20)分析那樣，只要邊界的某一部分存在第一類邊界條件，那么上式中的C=0，電位被唯一確定。如果全部邊界都是第二類邊界條件，那么電位的兩個(gè)解相差一個(gè)常數(shù)，解是不唯一的。鑒于電場強(qiáng)度與電位的梯度關(guān)系E=-Φ，故通過電位得到的電場強(qiáng)度E還是唯一的。

第三類邊界條件的證明稍顯復(fù)雜。式(3c)中，α和β有同號和異號兩種情況。如果同為正號，式(3c)保持不變；如果同為負(fù)號，可將負(fù)號歸于等式右邊的函數(shù)f3(S)。即當(dāng)α和β同號時(shí)，總可以使α和β為正數(shù)，那么當(dāng)給定第三類邊界條件時(shí)

將上面兩式相減后，將式(8)代入

則有

(21)

將式(21)代入式(13)，有

(22)

當(dāng)α和β異號，假設(shè)α為負(fù)，那么式(3c)有

使系數(shù)仍為正數(shù)。這種情況下，式(12)和式(13)中，在包圍體積V的邊界面S上，相應(yīng)地

(23)

此時(shí)，給定的第三類邊界條件為

將上面兩式相減，并將式(9)代入后，得

(24a)

那么有

(24b)

將式(24b)代入式(23)，得

(25)

類似地，當(dāng)設(shè)β為負(fù)時(shí)，也可得到與式(25)同樣的結(jié)果。

總之，由于式(22)和式(25)兩邊的被積函數(shù)均大于或等于零，面積分的系數(shù)均為負(fù)，若要使等式成立，等式兩邊必都等于零。所以對于第三類邊界條件，有

與前面第一類邊界條件證明中所做的分析相同，在邊界上滿足第三類邊界條件時(shí)，電位Φ是唯一的。

綜上所述，場域中電位Φ滿足Poisson方程或Laplace方程，在邊界上滿足第一、第三類邊界條件之一時(shí)，電位Φ是唯一的，并且只要在邊界的某一部分存在第一或第三類邊界條件的一種，電位就可以唯一確定。如果全部邊界均為第二類邊界條件時(shí)，電位Φ存在常數(shù)差解不唯一，但由此得到的電場強(qiáng)度是唯一的。

對于無限遠(yuǎn)邊界，公式(5)意味著源分布在有限區(qū)域里，遠(yuǎn)處的電位及其徑向偏導(dǎo)數(shù)

2.3 銜接邊界條件的證明

在圖1中，在S包圍的區(qū)域V內(nèi)第K個(gè)媒質(zhì)構(gòu)成的均勻分區(qū)Vk中Possion方程(1)和Laplace方程(2)為

仍然用反證法證明。設(shè)有兩組不同的解Φ′和Φ″同時(shí)滿足唯一性定理的條件，類似式(8)有

(28)

同樣地，將Φ′和Φ″在代入Poisson方程(27a)和Laplace方程(27b)后，有

將式(29a)中的兩式和式(29b)中的兩式分別相減后

(30)

將Ψ=δΦk和Φ=εkδΦk代入第一標(biāo)量Green公式(11a)中，有

(31a)

將式(30)代入式(31a)后

(31b)

若V內(nèi)共有N個(gè)均勻分區(qū)，將會得到N個(gè)如式(31b)的方程，累加后有

(32)

式中，包圍Vk的Sk可被分解成界面S的一部分，和(或者)相鄰分區(qū)界面的共同部分。設(shè)構(gòu)成界面S的共有L片，構(gòu)成相鄰界面共同部分的共有M片，故上式的面積分可寫為

(33a)

上式的第二項(xiàng)面積分中，相鄰界面Si與Sj的法向方向相反，且在界面Si與Sj兩邊有銜接條件(6)，式(33a)中

(33b)

將式(33b)代入式(32)后，有

(34)

在2.2中，已經(jīng)證明上式(34)等號右邊滿足區(qū)域邊界條件(3)的面積分為零，有

由于被積函數(shù)必定大于或者等于零，若要積分成立，必有

δΦk=0

類似地，上式表明δΦk是一個(gè)常數(shù)，由式(28)有

由銜接條件式(7a)和式(8a)可知，上式中的C=0，由此銜接條件得證。

3 分離變量法的解題實(shí)例

現(xiàn)以教材中常常出現(xiàn)的分離變量法例題，說明唯一性定理中補(bǔ)充的無限遠(yuǎn)邊界條件和銜接條件的作用。

圖2 均勻電場中的介質(zhì)圓柱

解： 根據(jù)界面形狀選取圓柱坐標(biāo)系，且使z軸與介質(zhì)柱軸重合。根據(jù)已知條件，電場和介質(zhì)柱在z方向是均勻的，求解區(qū)域內(nèi)無自由電荷分布，電位只是ρ、φ的函數(shù)，滿足二維Laplace方程。在ρOφ平面上，介質(zhì)柱面上的束縛電荷為環(huán)形有限分布，根據(jù)無限遠(yuǎn)邊界條件式(5)，在ρ→∞處，介質(zhì)圓柱對電位的影響可以忽略。至于外加均勻電場的電位，宜選取柱心電位為參考點(diǎn)，設(shè)Φx=0=0則無限遠(yuǎn)處的電位

化為圓柱坐標(biāo)后

Φ∞=-E0ρcosφ

在真空和介質(zhì)柱交界處，Laplace方程不成立。設(shè)介質(zhì)柱外為區(qū)域0，電位為Φ0，柱內(nèi)為區(qū)域1，電位為Φ1，需在這兩個(gè)區(qū)域中分別列出Laplace方程

介質(zhì)柱與真空的分界面上無自由電荷，上式中的待求量Φ0和Φ1通過銜接條件(6)

相聯(lián)系。

隨后通解形式的確定，待定系數(shù)的確定和解的線性組合，按通常的步驟進(jìn)行。

4 結(jié)論

靜電場電位邊值問題解的唯一性定理在解題過程中起著指導(dǎo)作用。明確各類邊界條件的定義，補(bǔ)增銜接條件和無限遠(yuǎn)邊界條件，得到完整的定理可以規(guī)范解題過程，使解題依據(jù)更加充分。電位的邊界問題本質(zhì)是偏微分方程的邊值問題，定理的補(bǔ)充和完整證明更便于后續(xù)學(xué)習(xí)其他位函數(shù)的邊值問題如恒定電流場的電位，無源區(qū)恒定磁場的磁位等問題。在無限遠(yuǎn)邊界的補(bǔ)充和證明中，僅處理了整個(gè)的無限大空間，場域無限大時(shí)，無限遠(yuǎn)處的電位一般為零，這與電荷分布在有限區(qū)域中一般選取無限遠(yuǎn)作為參考點(diǎn)一致，對于場域存在局部無限大條件時(shí)無限大處電位的確定有待進(jìn)一步考慮。

對于從實(shí)際中抽象出的位函數(shù)的邊值問題，大多數(shù)的解都是存在的，本文在此前提下證明了解的唯一性。但是，所設(shè)邊界條件還應(yīng)符合物理的、數(shù)學(xué)的規(guī)律，否則可能無解[25]。

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SUPPLEMENTANDCOMPLETEPROOFOFTHEELECTROSTATICBOUNDARYVALUEPROBLEMANDTHEUNIQUENESSOFSOLUTIONS

CHENWenqingYANShu

(School of Computer Science and Communication Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang Jiangsu 212013)

The electrostatic boundary value problem and the uniqueness of solutions are supplemented and proved in this paper. At first, the region condition and the convergence boundary are distinguished from the usual mixed singularity. The form of Robin Problem in electrostatic field boundary value problem is confirmed. The convergence condition and the infinite boundary condition are added to the uniqueness theorem of solutions. These boundary conditions are re-classified according to the form of mathematical expressions. Then in the proof of the uniqueness of the potential solutions under boundary conditions, infinite boundary conditions and convergence conditions, the problem of the coefficient of the third kind of boundary condition and the applicative boundary value problem with infinite space are solved. We also demonstrate the uniqueness of potential solutions for Dirichlet and Robin Problem and constant differences in the potential of Neumann Problem. Finally, the application of region, infinity and convergence boundary conditions in problems solving is illustrated by an example. The supplemented theorem can be better used as the basis for solving problems and follow-up learning.

the boundary value problem of potential; regional boundary condition; convergence condition; uniqueness theorem; proof

2017-05-10；

2017-08-31

國家自然科學(xué)基金三維CSAMT響應(yīng)的時(shí)域數(shù)值模擬方法(41374129)。

陳文卿，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡姶艌隼碚摵陀?jì)算，chenwq1102@163.com； 閆述，女，教授，主要從事電磁場的教學(xué)和科研工作，研究方向?yàn)殡姶艌隼碚摵陀?jì)算電磁學(xué)，yanshu@ujs.edu.cn。

陳文卿，閆述. 靜電場電位邊值問題唯一性定理的補(bǔ)充與完整證明[J]. 物理與工程，2017，27(6)：54-59.

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