白 金,李 靜,仇原鷹,盛 英,孫 紅,王海東,王肇喜

(1. 西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 陜西 西安 710071； 2. 上海航天精密機(jī)械研究所, 上海 201600)

結(jié)構(gòu)在隨機(jī)載荷的作用下經(jīng)常處于多軸應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于在服役過(guò)程中承受隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)的航空器或航天器而言，不僅應(yīng)該關(guān)心結(jié)構(gòu)在隨機(jī)載荷下的多軸應(yīng)力狀態(tài)，振動(dòng)疲勞的問(wèn)題也必須引起重視。Crandall等[1]將振動(dòng)疲勞定義為結(jié)構(gòu)在振動(dòng)作用下產(chǎn)生的不可逆的累積損傷。蔣培等[2]對(duì)寬頻帶隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下的疲勞強(qiáng)化機(jī)理進(jìn)行了研究。之后姚起杭等[3]指出了振動(dòng)疲勞中的特殊形式——共振疲勞，即結(jié)構(gòu)因所受動(dòng)態(tài)載荷的頻率接近其固頻而出現(xiàn)的疲勞破壞現(xiàn)象。王明珠[4]分析了激勵(lì)頻率、阻尼等因素對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞的影響。王錦麗等[5]在研究加載頻率對(duì)懸臂梁振動(dòng)疲勞特性的影響中發(fā)現(xiàn)：結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中，共振會(huì)加速裂紋形成或擴(kuò)展，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞加劇。

結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)下疲勞的計(jì)算方法主要分為時(shí)域法和頻域法。時(shí)域分析方法是利用時(shí)域模擬方法對(duì)應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度函數(shù)進(jìn)行時(shí)域模擬，再結(jié)合不同的多軸疲勞模型計(jì)算。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一些多軸疲勞模型，Socie[6]、Fatemi[7]、Shang[8]等分別基于臨界平面法提出了不同的疲勞壽命模型，Li等[9]也基于臨界平面法對(duì)多軸載荷下的疲勞壽命進(jìn)行了計(jì)算。而在頻域法方面，目前大多數(shù)的分析方法是利用疲勞失效準(zhǔn)則把多軸應(yīng)力等效為單軸應(yīng)力狀態(tài)，再利用應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)模型估算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。文獻(xiàn)[10-14]提出了不同的雨流幅值概率密度函數(shù)模型用于疲勞損傷和壽命估算。無(wú)論是時(shí)域法還是頻域法，均需要結(jié)合材料的疲勞壽命曲線進(jìn)行計(jì)算，目前應(yīng)用最廣泛的仍然是單軸拉-壓的S-N曲線。但相比于時(shí)域分析方法，頻域分析方法計(jì)算簡(jiǎn)單、不需要進(jìn)行循環(huán)計(jì)數(shù)，因此受到了工程界的重視。其中，等效 von- Mises 應(yīng)力方法[15]是目前工程中常用的多軸疲勞頻域分析方法。

此外，以上方法均沒(méi)有考慮振動(dòng)過(guò)程中共振對(duì)疲勞壽命的影響，雖然共振疲勞和一般循環(huán)疲勞破壞的機(jī)理和臨界點(diǎn)基本一致，但實(shí)際上二者在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布、裂紋擴(kuò)展速率等方面均有很大差異，因此利用這些方法在計(jì)算隨機(jī)振動(dòng)疲勞時(shí)會(huì)造成較大誤差。也有學(xué)者進(jìn)行了一些材料的共振疲勞試驗(yàn)，肖壽庭等[20]通過(guò)對(duì)LY12CZ鋁合金懸臂梁進(jìn)行共振疲勞試驗(yàn)，得到了其動(dòng)態(tài)疲勞S-N曲線，但迫于試驗(yàn)成本高、耗費(fèi)時(shí)間多等缺陷，并沒(méi)有得到很多的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。同時(shí)在目前已有的文獻(xiàn)中，存在考慮多軸疲勞的，也存在考慮共振對(duì)疲勞壽命影響的文獻(xiàn)，但可以同時(shí)綜合考慮兩者對(duì)疲勞壽命影響的方法目前還尚未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。

所以，提出一種綜合考慮多軸應(yīng)力與共振影響的隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命預(yù)測(cè)方法成為一個(gè)有待解決的問(wèn)題。考慮到新方法不僅應(yīng)計(jì)算方便，更應(yīng)滿足預(yù)測(cè)精度，因此通過(guò)現(xiàn)有的單軸S-N曲線得到隨機(jī)振動(dòng)下的多軸S-N曲線，進(jìn)而利用von-Mises準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)下的疲勞壽命成了一個(gè)思路。因此，本文通過(guò)引入三軸因子FT來(lái)反映結(jié)構(gòu)的多軸應(yīng)力狀態(tài)，進(jìn)而為了考慮結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中共振對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命的影響，在其基礎(chǔ)上定義了多軸振動(dòng)因子FMV，最終利用單軸拉壓和扭轉(zhuǎn)S-N曲線得到了隨機(jī)振動(dòng)下的多軸S-N曲線，結(jié)合von-Mises準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命，從而得到一種綜合考慮多軸應(yīng)力與共振影響的隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命預(yù)測(cè)方法。

1 基于多軸振動(dòng)因子插值的多軸S-N曲線

應(yīng)用von-Mises準(zhǔn)則對(duì)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)下的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，應(yīng)結(jié)合可以反映結(jié)構(gòu)多軸應(yīng)力狀態(tài)和共振的多軸S-N曲線進(jìn)行計(jì)算。受文獻(xiàn)[19]思想的啟發(fā)，本文提出通過(guò)材料的單軸拉-壓、扭轉(zhuǎn)S-N曲線線性插值得到對(duì)應(yīng)的多軸S-N曲線，如圖1所示。

圖1 多軸S-N曲線示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-axis S-N curve

為了反映結(jié)構(gòu)的多軸應(yīng)力狀態(tài)，引入三軸因子[21]FT,其表達(dá)式為：

(1)

(2)

(3)

但為了便于工程上使用，需要得到FT在頻域上的表達(dá)式。因此進(jìn)行如下推導(dǎo)：

(4)

其中：Gσ(f)為應(yīng)力功率譜密度函數(shù)；m0,σ為應(yīng)力的均方值；Sσm、Sσeq分別為平均應(yīng)力和等效von-Mises應(yīng)力的均方根值。

計(jì)算結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)下的疲勞壽命時(shí)僅僅考慮其多軸應(yīng)力狀態(tài)并不全面，還需要考慮共振的影響。劉文光[22]指出共振疲勞與裂紋聯(lián)系非常緊密，裂紋在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中的開(kāi)合運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性一直處于變化狀態(tài)，容易引發(fā)一系列非線性共振現(xiàn)象，從而對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)壽命產(chǎn)生影響，從劉文光得到的激勵(lì)頻率對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命的影響曲線來(lái)看，影響曲線的形狀與對(duì)數(shù)函數(shù)的形狀相似，且考慮到S-N曲線在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下為直線以及基本初等函數(shù)在實(shí)際使用中的便利性，因此利用對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)表示共振對(duì)疲勞壽命的影響。

在振動(dòng)過(guò)程中，結(jié)構(gòu)在共振狀態(tài)與非共振狀態(tài)下響應(yīng)幅值有很大區(qū)別，而且共振狀態(tài)下不同大小的激勵(lì)引起的響應(yīng)幅值也不同，對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命的影響也不同。

綜合以上因素，故提出多軸振動(dòng)因子FMV的表達(dá)式如下：

(5)

其中：w是第一階共振頻率處對(duì)應(yīng)的加速度激勵(lì)功率譜密度值。

多軸振動(dòng)因子FMV滿足以下條件：

1)滿足數(shù)學(xué)表達(dá)式的基本要求，即分母不為零，被開(kāi)方數(shù)大于等于零；

2)關(guān)于自變量單調(diào)遞增，即隨著第一階共振頻率處對(duì)應(yīng)的加速度激勵(lì)功率譜密度值的增加，多軸振動(dòng)因子FMV也增大；

3)在w=1處滿足連續(xù)條件，在自變量的取值范圍內(nèi)處處連續(xù)。

隨機(jī)振動(dòng)下的多軸S-N曲線式中的材料常數(shù)kmv可以通過(guò)FMV線性插值單軸拉-壓、扭轉(zhuǎn)S-N曲線的材料常數(shù)得到：

kmv=ktor+FMV(kaxi-ktor)

(6)

而隨機(jī)振動(dòng)下的多軸S-N曲線式中的材料常數(shù)Cmv可以通過(guò)FMV在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下線性插值單軸拉-壓、扭轉(zhuǎn)S-N曲線的材料常數(shù)得到：

(7)

其中：kmv和Cmv是多軸S-N曲線NSkmv=Cmv的材料常數(shù)；kaxi和Caxi，ktor和Ctor分別是單軸拉-壓和扭轉(zhuǎn)S-N曲線材料常數(shù)。從式(7)不難看出：隨著參數(shù)FMV的變化，可以得到不同的kmv和Cmv，從而得到不同的多軸S-N曲線。

2 基于隨機(jī)振動(dòng)下多軸S-N曲線的疲勞壽命計(jì)算方法

利用等效von-Mises應(yīng)力功率譜密度函數(shù)G(f)可直接進(jìn)行頻域壽命計(jì)算，其中G(f)的第i階矩定義如下：

(8)

根據(jù)Miner[23]理論，結(jié)構(gòu)的疲勞損傷為：

(9)

式中：ni表示第i級(jí)應(yīng)力水平下的實(shí)際應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；Ni表示應(yīng)力幅值為Si時(shí)S-N曲線下對(duì)應(yīng)的壽命循環(huán)值。如果應(yīng)力狀態(tài)符合連續(xù)分布，則在時(shí)間T內(nèi)，應(yīng)力處在范圍(Si,Si+ΔSi)內(nèi)的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)為：

ni=E(P)Tp(Si)ΔSi

(10)

則連續(xù)分布的應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)間T內(nèi)的振動(dòng)疲勞損傷量為：

(11)

將隨機(jī)振動(dòng)下多軸疲勞壽命曲線公式NSkmv=Cmv代入式(11)，則連續(xù)分布的應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)間T內(nèi)的振動(dòng)疲勞損傷量為：

(12)

由Miner線性累積損傷理論，當(dāng)損傷值等于1時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞破壞，結(jié)構(gòu)的疲勞壽命為：

(13)

對(duì)于應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)p(S)，Tovo-Benasciutti提出的T-B雨流幅值分布模型計(jì)算較為準(zhǔn)確，因此使用T-B模型進(jìn)行計(jì)算。T-B模型的表達(dá)式[11-13]為：

(14)

式中：γ為不規(guī)則因子。γ和參數(shù)b的表達(dá)式分別為：

(15)

α1α2-α1-α2)exp(2.11α2)+α1-α2]

(16)

式中，α1,α2滿足

(17)

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 算例1

7075-T6鋁合金材料是一種高強(qiáng)度鋁合金，主要用于制造飛機(jī)機(jī)翼部位的蒙皮和腹板等，而在一些新機(jī)試飛時(shí)，機(jī)翼部位的凸出物和空腔結(jié)構(gòu)會(huì)很快發(fā)生振動(dòng)疲勞，因此選用該材料進(jìn)行驗(yàn)證具有很強(qiáng)的工程意義。文獻(xiàn)[24]選用7075-T6鋁合金材料的缺口試件進(jìn)行了隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，試件厚度為2 mm，預(yù)制半徑為1 mm的半圓形缺口，試件的幾何尺寸、實(shí)物圖及試件缺口形狀詳見(jiàn)文獻(xiàn)[24]，其中材料性能參數(shù)如表1所示。

表1 7075-T6鋁合金的材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of 7075-T6 aluminum alloy

利用夾具將缺口試件一端固定在隨機(jī)振動(dòng)臺(tái)上，在另一端通過(guò)添加配重改變?cè)嚰墓逃蓄l率和疲勞破壞時(shí)間，配重塊的數(shù)量通過(guò)多次預(yù)試驗(yàn)確定，配重塊的材料為Q235鋼。

采用基礎(chǔ)激勵(lì)的加載方式進(jìn)行試驗(yàn)，激勵(lì)的方向?yàn)闃颖酒矫娴耐夥ň€方向，試驗(yàn)中加載頻率范圍為14～141 Hz平直譜，如圖2所示，不改變帶寬，通過(guò)改變加速度功率譜密度值改變振動(dòng)量級(jí)。試驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀記錄試件固有頻率的變化，將固有頻率下降10%的時(shí)刻作為疲勞破壞的時(shí)間點(diǎn)。具體試驗(yàn)細(xì)節(jié)見(jiàn)文獻(xiàn)[24]。

采用有限元計(jì)算程序ANSYS軟件對(duì)試件進(jìn)行有限元分析，按照試驗(yàn)中的固定方式對(duì)試件施加如圖2所示的基礎(chǔ)隨機(jī)加速度功率譜激勵(lì)，同時(shí)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖3所示，共分成7 137個(gè)單元和21 434個(gè)節(jié)點(diǎn)，平均網(wǎng)格質(zhì)量為0.78。通過(guò)對(duì)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析得到第一階固有頻率為45.228 Hz，與試驗(yàn)結(jié)果46.88 Hz相比相對(duì)誤差為3.5%，因此保證了有限元分析模型的正確性,同時(shí)通過(guò)有限元分析可知三軸因子FT=1.38。

圖2 基礎(chǔ)激勵(lì)載荷譜Fig.2 Base excitation load spectrum

圖3 有限元網(wǎng)格劃分Fig.3 Finite element mesh generation diagram

根據(jù)文獻(xiàn)[24]可知：7075-T6鋁合金的單軸S-N曲線的材料常數(shù)kaxi=9.65，Caxi=6.99×1029；ktor=9.65，Ctor=4.36×1026。根據(jù)式(6)、式(7)可得不同隨機(jī)振動(dòng)量級(jí)下7075-T6的多軸S-N曲線的材料常數(shù)如表2所示。

利用有限元分析得到von-Mises的應(yīng)力功率譜密度函數(shù)，同時(shí)結(jié)合表2中的不同隨機(jī)振動(dòng)量級(jí)下多軸S-N曲線的材料常數(shù)，對(duì)該試件在不同隨機(jī)振動(dòng)量級(jí)下的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)與傳統(tǒng)等效von-Mises應(yīng)力方法(即利用單軸拉-壓S-N曲線)和文獻(xiàn)[19]中所提的等效Lematire應(yīng)力方法預(yù)測(cè)結(jié)果以及試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖4所示。通過(guò)對(duì)多軸S-N曲線和單軸S-N曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以看出，兩種多軸S-N曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果均優(yōu)于單軸S-N曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果。顯然，材料在隨機(jī)振動(dòng)條件下的多軸應(yīng)力狀態(tài)對(duì)疲勞壽命有重要影響。

表2 不同隨機(jī)振動(dòng)量級(jí)下多軸S-N曲線的材料常數(shù)Tab.2 Material constants of multi-axis S-N curves with different random vibration orders

同時(shí)通過(guò)對(duì)圖4中兩種不同的多軸S-N曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以看出，由于考慮了共振的影響，因此利用由多軸振動(dòng)因子插值得到的多軸S-N曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果最好，而且與不同振動(dòng)量級(jí)下的試驗(yàn)壽命相比，該方法的預(yù)測(cè)結(jié)果均有較高的預(yù)測(cè)精度。所以預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)下的疲勞壽命時(shí)應(yīng)考慮共振因素。

圖4 不同方法下的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值比較Fig.4 Predictive and experimental values under different methods

3.2 算例2

以文獻(xiàn)[4]中的LY12CZ鋁合金U形缺口試件在隨機(jī)振動(dòng)下壽命預(yù)測(cè)為例，對(duì)本文方法做進(jìn)一步驗(yàn)證。試件厚度為2 mm，預(yù)制半徑為1 mm的U形缺口，試驗(yàn)采用基礎(chǔ)振動(dòng)的加載方式，試驗(yàn)結(jié)構(gòu)為懸臂梁結(jié)構(gòu)，通過(guò)夾具將U形缺口試驗(yàn)件固定在激振器上，同時(shí)在試件的末端加上配重，配重塊的材料為A3鋼。試驗(yàn)中加載隨機(jī)加速度功率譜如圖5(a)、圖5(b)所示，沿樣本平面的外法線方向進(jìn)行激勵(lì)并記錄疲勞破壞時(shí)間。

(a) 加速度功率譜密度函數(shù)1(a) Acceleration power spectral density function 1

(b) 加速度功率譜密度函數(shù)2(b) Acceleration power spectral density function 2圖5 基礎(chǔ)激勵(lì)載荷譜Fig.5 Base excitation load spectrum

對(duì)試件進(jìn)行有限元分析，試件有限元模型如圖6所示，按照試驗(yàn)中的固定方式對(duì)試件固定約束并進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共分成45 053個(gè)單元和74 632個(gè)節(jié)點(diǎn)，平均網(wǎng)格質(zhì)量為0.82。通過(guò)對(duì)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析得到第一階固有頻率為54.13 Hz，與試驗(yàn)結(jié)果54.20 Hz相比相對(duì)誤差為0.01%；第二階固有頻率為258.52 Hz，與試驗(yàn)結(jié)果256.00 Hz相比相對(duì)誤差為0.98%，因此保證了有限元分析模型的正確性。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model

基于本文提出的方法，采用與算例1類(lèi)似的計(jì)算，可求得LY12CZ鋁合金的單軸拉-壓和扭轉(zhuǎn)的S-N曲線的表達(dá)式分別為lgN=26.3-8.8lgS,lgN=25.1-9.3lgS,多軸S-N曲線的表達(dá)式為NS9.3=2×1027。分別利用多軸S-N曲線與單軸拉-壓S-N曲線對(duì)該試件兩種加載工況下的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

表3 兩種工況下疲勞壽命預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.3 Fatigue life prediction results under two working conditions 單位：min

從表3中不難看出，無(wú)論載荷譜是頻率范圍為20～80 Hz(包含1階固有頻率)還是20～500 Hz(包含2階固有頻率)，本文所提多軸S-N曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果較單軸S-N曲線更接近試驗(yàn)結(jié)果。

4 結(jié)論

本文通過(guò)綜合單軸拉-壓、扭轉(zhuǎn)S-N曲線得到了隨機(jī)振動(dòng)下的多軸S-N曲線，從而提出了一種新的隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命預(yù)測(cè)方法來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)作用下的疲勞壽命。新方法的有效性通過(guò)預(yù)測(cè)7075-T6鋁合金圓形槽缺口試件和LY12CZ鋁合金U形槽缺口試件的疲勞壽命得到了驗(yàn)證，同時(shí)可以得到如下結(jié)論：

結(jié)構(gòu)在承受隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程中多軸應(yīng)力狀態(tài)和共振對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞損傷的影響不容忽視，因此為了同時(shí)考慮這二者對(duì)疲勞壽命的影響，提出了多軸振動(dòng)因子FMV，進(jìn)而利用該參量綜合考慮單軸拉-壓和單軸扭轉(zhuǎn)的疲勞S-N曲線，通過(guò)線性插值得到了隨機(jī)振動(dòng)下的多軸 S-N 曲線。

新提出的隨機(jī)振動(dòng)下的多軸S-N曲線不僅可以表征結(jié)構(gòu)多軸應(yīng)力狀態(tài)下的疲勞，而且通過(guò)引入非線性函數(shù)考慮了結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中共振對(duì)疲勞壽命的影響，預(yù)測(cè)的疲勞壽命的精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的單軸拉壓S-N曲線。同時(shí)從計(jì)算的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，相較于文獻(xiàn)[19]中的基于等效Lematire應(yīng)力的多軸S-N曲線方法，本文提出的方法不僅提高了計(jì)算精度,而且更容易計(jì)算，便于工程使用。