常思江，吳 放，陳升富

(1. 南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094；2. 中國電子科技集團(tuán)公司第二十研究所 雷達(dá)事業(yè)部, 陜西 西安 710068)

現(xiàn)代戰(zhàn)爭條件下，為了提高導(dǎo)彈的毀傷與生存能力，可通過對導(dǎo)彈的導(dǎo)引律增加一些終端約束予以實現(xiàn)。其中，增加攻擊時間約束對導(dǎo)彈性能的提升具有較為顯著的效果，由此引出導(dǎo)彈攻擊時間控制的導(dǎo)引律問題。

目前，國內(nèi)外文獻(xiàn)對于攻擊時間控制導(dǎo)引律的研究，采用不同的理論或技術(shù)作為基礎(chǔ)，如比例導(dǎo)引法[1-3]、Lyapunov穩(wěn)定性理論[4-5]、最優(yōu)控制理論[6]以及成型技術(shù)[7-8]等。近年來，現(xiàn)代控制理論特別是滑?？刂评碚摰陌l(fā)展為設(shè)計具有終端約束的導(dǎo)引律提供了一種新方法[9-12]。文獻(xiàn)[9]通過構(gòu)造由攻擊時間誤差和視線角速率組成的滑模面，提出一種滑模攻擊時間控制導(dǎo)引律；文獻(xiàn)[10]僅將攻擊時間誤差作為滑模面，推導(dǎo)了一種用于攻擊時間控制的非奇異滑模導(dǎo)引律；文獻(xiàn)[11]針對多彈協(xié)同攻擊問題提出了一種滑模導(dǎo)引律；文獻(xiàn)[12]基于滑模理論設(shè)計了一個考慮視場角約束的二維攻擊時間控制導(dǎo)引律。

實際工程應(yīng)用中，在設(shè)計攻擊時間控制導(dǎo)引律時必須要考慮導(dǎo)引頭的視場角約束[4,12-14]。一般而言，考慮視場角約束的攻擊時間控制導(dǎo)引律設(shè)計可以分為兩類：第一類的設(shè)計原則是始終保持導(dǎo)彈前置角減小，從而確保滿足視場角約束，文獻(xiàn)[4]即屬于第一類；文獻(xiàn)[12-14]則屬于第二類，該類導(dǎo)引律始終保持導(dǎo)彈前置角不超過視場角邊界值，相應(yīng)地，當(dāng)前置角達(dá)到邊界值時，前置角速率必須小于零。上述第一類導(dǎo)引律較為簡單，易于實現(xiàn)，但會受到初始前置角的影響，當(dāng)初始前置角為零時不能實現(xiàn)攻擊時間控制，并且攻擊時間的可控范圍也受初始前置角大小的約束。文獻(xiàn)[12]通過采用滑模技術(shù)，解決了初始前置角為零時不能實現(xiàn)攻擊時間控制的奇點問題。

在前面提到的文獻(xiàn)中，除文獻(xiàn)[5]之外，其他文獻(xiàn)都是在二維平面中設(shè)計攻擊時間控制導(dǎo)引律。對于三維情形，通常將導(dǎo)彈的運動分解為兩個正交的二維平面運動，在每個二維平面內(nèi)單獨設(shè)計導(dǎo)引律。然而，已有研究表明，直接在三維空間中設(shè)計不依賴于解耦的導(dǎo)引律是更為有效的方式。文獻(xiàn)[15]首先解決了三維純比例導(dǎo)引律的設(shè)計問題；文獻(xiàn)[16]則針對靜止和非機(jī)動目標(biāo)，分析了三維純比例導(dǎo)引法的性能。近年來，越來越多的研究者關(guān)注三維空間中攻擊角度控制的問題[16-19]。相對而言，只有較少研究[5,20]涉及三維攻擊時間控制導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[5]基于Lyapunov理論設(shè)計的三維攻擊時間控制導(dǎo)引律，在零初始前置角條件下存在奇點，并且沒有考慮導(dǎo)引頭視場角約束。文獻(xiàn)[20]基于最優(yōu)控制理論和比例導(dǎo)引法設(shè)計的三維攻擊時間控制導(dǎo)引律，也未考慮導(dǎo)引頭視場角的限制。

綜上分析，關(guān)于三維攻擊時間控制導(dǎo)引律的研究，目前國內(nèi)外相對較少?？紤]到滑模理論自身的優(yōu)勢以及實際工程中三維問題的重要性，有必要對此開展深入研究。本文以導(dǎo)彈非線性模型為基礎(chǔ)，采用滑模理論，提出一個考慮視場角約束的無奇點三維攻擊時間控制導(dǎo)引律，并對穩(wěn)定性、收斂性等進(jìn)行了證明和分析。

1 問題描述

本文考慮導(dǎo)彈在三維空間攻擊靜止目標(biāo)的情形，采取與文獻(xiàn)[5]類似的假設(shè)：①將導(dǎo)彈看作質(zhì)點；②自動駕駛儀的動態(tài)響應(yīng)比導(dǎo)彈快得多，故自動駕駛儀延遲可以忽略不計；③導(dǎo)彈速度為恒定值；④只考慮垂直于導(dǎo)彈速度矢量的法向加速度。

1.1 坐標(biāo)系及其相互轉(zhuǎn)換

導(dǎo)彈M和靜止目標(biāo)T的三維幾何關(guān)系如圖1所示。圖中，R為彈目距離；VM為導(dǎo)彈速度；aM為導(dǎo)彈法向加速度；φM為前置角，定義為導(dǎo)彈速度矢量與三維空間中導(dǎo)彈視線角矢量之間的夾角。

圖1 對于靜止目標(biāo)的三維彈目幾何關(guān)系Fig.1 Three-dimensional engagement geometry for a stationary target

為描述導(dǎo)彈與靜止目標(biāo)間的三維運動學(xué)關(guān)系，定義三個坐標(biāo)系：參考坐標(biāo)系(表示為Mxyz)、導(dǎo)彈彈體坐標(biāo)系(表示為MxMyMzM)以及視線坐標(biāo)系(表示為MxLyLzL)。坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖2所示。

(a) 參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為視線坐標(biāo)系(a) Transformation between reference coordinate system and line-of-sight coordinate system

(b) 視線坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為彈體坐標(biāo)系(b) Transformation between line-of-sight coordinate system and body coordinate system圖2 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.2 Transformations of coordinate systems

三種坐標(biāo)系原點均為導(dǎo)彈質(zhì)心M。彈體坐標(biāo)系的xM軸指向?qū)椀乃俣仁噶糠较?，視線坐標(biāo)系的xL軸指向目標(biāo)并與視線角矢量共線。參考坐標(biāo)系Mxyz與視線坐標(biāo)系MxLyLzL相差兩個角度，即ψL和θL；視線坐標(biāo)系MxLyLzL與彈體坐標(biāo)系MxMyMzM也相差兩個角度，即ψM和θM。上述坐標(biāo)系之間對應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣分別為

(1)

(2)

其中：

1.2 控制方程組

基于上述假設(shè)和坐標(biāo)系，可建立如下控制方程組：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

cosφM=cosθMcosψM

(8)

式中：ayM和azM分別表示導(dǎo)彈的偏航加速度和俯仰加速度；變量上的點表示關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)。

需要指出的是，對于視場角約束下的攻擊時間控制問題，所能實現(xiàn)的攻擊時間td存在一定的范圍，即I={td∈R：tdmin≤td≤tdmax}，其中，tdmin和tdmax為正常數(shù)，分別表示可實現(xiàn)的最小和最大攻擊時間，且tdmin>R0/VM(下標(biāo)0表示初始值)。為便于研究，在第1節(jié)所列4條假設(shè)的基礎(chǔ)上，補充如下假設(shè)：①導(dǎo)彈的初始前置角滿足|φM0|<φmax(其中φmax是由導(dǎo)引頭視場角邊界所確定的常數(shù))；②所需攻擊時間td選取合適，使得td∈I。

故本文研究問題可描述為：設(shè)計一種帶有攻擊時間和導(dǎo)引頭視場角約束的三維導(dǎo)引律，使得導(dǎo)彈在所需攻擊時間td時刻擊中目標(biāo)，同時在整個制導(dǎo)過程(即t∈[0,td])中保持|φM(t)|≤φmax。

2 導(dǎo)引律設(shè)計

本節(jié)首先基于滑模理論推導(dǎo)出考慮視場角約束的三維攻擊時間控制導(dǎo)引律；然后對導(dǎo)引律進(jìn)行修正，消除零初始前置角引起的奇點；最后對穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行證明。

2.1 導(dǎo)引律推導(dǎo)

為實現(xiàn)三維空間中的攻擊時間控制，以攻擊時間誤差設(shè)計滑模面s，即

s=t+tgo-td

(9)

式中：t表示當(dāng)前時間，tgo表示剩余飛行時間。

本文采用式(10)估算剩余飛行時間：

(10)

式中：N為導(dǎo)航增益。

需要說明的是，上述剩余飛行時間估算公式是以文獻(xiàn)[2]中的二維估算方法為基礎(chǔ)，將文獻(xiàn)[2]所用二維比例導(dǎo)引律擴(kuò)展為三維比例導(dǎo)引律，得到了形式上與文獻(xiàn)[2]估算公式相同的三維剩余飛行時間估算公式，只是公式中的φM采用本文式(8)計算得到。

對式(9)關(guān)于時間t求一階導(dǎo)數(shù)，得

(11)

對式(10)關(guān)于時間t求一階導(dǎo)數(shù)并代入式(11)，可得

(12)

根據(jù)式(8)，可推出

(13)

將式(13)及控制方程組(3)～(8)的相關(guān)表達(dá)式代入式(12)，經(jīng)推導(dǎo)可得

(14)

其中：

(15)

為保證所設(shè)計導(dǎo)引律的Lyapunov穩(wěn)定性，設(shè)計如下三維導(dǎo)彈加速度指令aM

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

其中：k1為正常數(shù)。

2.2 導(dǎo)引律修正

當(dāng)導(dǎo)彈初始前置角為零(即φM0=0)時，俯仰和偏航加速度指令將在整個制導(dǎo)過程中始終保持為零(azM=ayM=0)，導(dǎo)彈將沿彈目連線飛行，無法實現(xiàn)對攻擊時間的有效控制。因此，需對導(dǎo)引律進(jìn)行修正，以消除該奇點。

(21)

式中：k2為一正常數(shù)；sgn(·)為一符號函數(shù)，定義為

(22)

故導(dǎo)彈加速度指令可表示為

(23)

即

k2[1-sgn(|φM|)]sgn(s)

(24)

k2[1-sgn(|φM|)]sgn(s)

(25)

其中：

值得說明的是，導(dǎo)彈剩余飛行時間與其飛行過程中的距離R和前置角φM有關(guān)，而導(dǎo)彈加速度又影響前置角的變化速率。因此，當(dāng)導(dǎo)彈速度VM及導(dǎo)航增益N確定時，攻擊時間存在一定范圍，影響該范圍的主要因素包括距離R、導(dǎo)引頭視場角邊界值φmax以及導(dǎo)彈最大過載aMmax。當(dāng)導(dǎo)引頭視場角邊界值φmax∈(0,π/2)時，制導(dǎo)過程中彈目距離始終減小，此時所能控制的攻擊時間是有界的。攻擊時間范圍的上、下界可分別利用導(dǎo)彈的最長和最短飛行軌跡除以導(dǎo)彈速度得到。導(dǎo)彈的最長軌跡可分為三段，首先以最大過載飛行，當(dāng)迅速達(dá)到視場角邊界值后，保持視場角邊界值飛行，最后以最大過載按圓周導(dǎo)引律飛行直至擊中目標(biāo)；而導(dǎo)彈的最短軌跡可分為兩段，先是以最小轉(zhuǎn)彎半徑飛行，當(dāng)速度指向目標(biāo)后，再沿彈目連線飛行。求解兩種軌跡的具體方法參見文獻(xiàn)[13]，這里不再贅述。當(dāng)φmax∈[π/2,π)時，制導(dǎo)過程中彈目距離有可能是增大的，理論上講，此時所能控制的攻擊時間無上界。

2.3 穩(wěn)定性證明

為證明所設(shè)計加速度指令具有Lyapunov穩(wěn)定性，構(gòu)造如下關(guān)于s的Lyapunov函數(shù)

(26)

對式(26)關(guān)于時間求一階導(dǎo)數(shù)，并將式(14)代入，可得

(27)

將式(24)和式(25)代入式(27)，經(jīng)一系列推導(dǎo)，可得

(28)

(29)

2.4 收斂性證明

為證明所設(shè)計導(dǎo)引律能夠滿足視場角約束，構(gòu)造如下關(guān)于φM的Lyapunov函數(shù)

(30)

對式(30)關(guān)于時間求一階導(dǎo)數(shù)，并將式(24)和式(25)代入，可得

(31)

當(dāng) |φM|=φmax時, 式(31)為

(32)

定義如下關(guān)于變量α的函數(shù)

(33)

證明：當(dāng)α∈(0,π)時，f(α)>0成立。

1)當(dāng)α∈[π/2,π)時，f(α)>0顯然成立；

2)當(dāng)α∈(0,π/2)時，對式(33)關(guān)于α求一階和二階導(dǎo)數(shù)，有

(34)

(35)

顯然，當(dāng)α∈(0,π/2)時，f″(α)>0成立。當(dāng)α∈(0,π/2)時，f′(0)=0,f′(α)>0成立。因此，α∈(0,π/2)時，f(α)>0成立。

□

利用上述證明結(jié)果，不等式

(36)

恒成立。

因此，在|φM0|<φmax條件下，式(24)和式(25)可在視場角約束下實現(xiàn)攻擊時間控制。

3 關(guān)于導(dǎo)引律的相關(guān)分析

3.1 參數(shù)k1的選取

根據(jù)前面的推導(dǎo)，攻擊時間誤差的變化速率可表達(dá)為

(37)

(38)

(39)

式中：下標(biāo)“0”表示初始值。

3.2 與純比例導(dǎo)引法的關(guān)系

根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]，如果攻擊時間控制導(dǎo)引律中所用剩余飛行時間是基于比例導(dǎo)引法進(jìn)行估算的，其彈道軌跡終將演變?yōu)楸壤龑?dǎo)引法的軌跡。為說明剩余飛行時間估算式(10)應(yīng)用于本文三維導(dǎo)引律的合理性，有必要檢驗所提導(dǎo)引律與純比例導(dǎo)引法之間的關(guān)系。

(40)

(41)

顯然，當(dāng)s收斂到零時, 所提導(dǎo)引律與純比例導(dǎo)引法具有完全相同的形式，由此表明本文所設(shè)計導(dǎo)引律的彈道軌跡與具有任意導(dǎo)航增益三維比例導(dǎo)引法的軌跡相同。因此，本文采用剩余飛行時間估算式(10)設(shè)計三維攻擊時間控制導(dǎo)引律是合理的。

3.3 與解耦三維攻擊時間控制導(dǎo)引律的關(guān)系

根據(jù)前述推導(dǎo)，本文導(dǎo)引律是在三維空間直接設(shè)計而無須解耦。若僅考慮俯仰平面內(nèi)的二維導(dǎo)引問題，偏航平面內(nèi)的加速度指令變?yōu)閍yM=0，并且有ψM=0°,φM=θM。將ψM=0°,φM=θM代入導(dǎo)引律 (25)，得到俯仰平面內(nèi)的加速度指令為

(42)

式中：c3=-k2[1-sgn(|θM|)]·sgn(s)。

如果在偏航平面內(nèi)采用純比例導(dǎo)引法，即

(43)

則式(42)～(43)構(gòu)成考慮視場角約束的解耦三維攻擊時間控制導(dǎo)引律，即俯仰平面和偏航平面的導(dǎo)引律均獨立設(shè)計。本文將在仿真部分對比耦合導(dǎo)引律(24)～(25)與解耦導(dǎo)引律(42)～(43)的性能。

4 數(shù)值仿真

4.1 性能驗證

仿真條件：導(dǎo)彈速度VM=250 m/s，導(dǎo)彈最大加速度為100 m/s2，導(dǎo)彈初始位置(0 m,0 m,0 m)，目標(biāo)位置(6 000 m,6 000 m,0 m)，導(dǎo)引頭視場角邊界值φmax=45°，導(dǎo)航增益N=3，參數(shù)k1=3.5,k2=1。三個算例的初始條件和所需攻擊時間分別為：①φM0=0°,td=38 s；②φM0=40.1°,td=41 s；③φM0=40.1°,td=35 s。前置角φM0=0°和φM0=40.1°時對應(yīng)的純比例導(dǎo)引法攻擊時間分別為33.94 s和35.67 s。仿真結(jié)果如圖3所示。

由仿真結(jié)果可知，圖3中三種算例的實際攻擊時間分別為37.993 9 s、 40.990 6 s、35.009 2 s，與所需攻擊時間的誤差分別為0.006 1 s、0.009 4 s、0.009 2 s，誤差可以忽略，故本文實現(xiàn)了攻擊時間控制，且估算的剩余飛行時間滿足控制精度要求。由圖3(a)～(e)可知，當(dāng)攻擊時間誤差大于零時，導(dǎo)引指令通過加快前置角減小的速度來實現(xiàn)攻擊時間控制；當(dāng)攻擊時間誤差小于零時，導(dǎo)引指令通過在滿足視場角約束下增大前置角，從而調(diào)節(jié)所需攻擊時間。在其他相同條件下，所需攻擊時間越大，制導(dǎo)過程中前置角在極值附近的時間也越長。另外，在制導(dǎo)過程中，導(dǎo)彈的加速度指令均未達(dá)到飽和(限制值取為100 m/s2)。對于初始前置角為零的情形，本文設(shè)計的三維導(dǎo)引律也可有效適應(yīng)。

(a) 前置角(a) Heading error

(b) 攻擊時間誤差(b) Impact time error

(c) 偏航方向加速度指令(c) Acceleration in yaw

(d) 俯仰方向加速度指令(d) Acceleration in pitch

(e) 三維彈道軌跡 (e) Three-dimensional trajectory圖3 不同td值對應(yīng)的三維導(dǎo)引律仿真結(jié)果Fig.3 Three-dimensional simulation results with various td

4.2 導(dǎo)航增益對導(dǎo)引律的影響

根據(jù)式(10)，剩余飛行時間估算公式受導(dǎo)航增益N的影響，故導(dǎo)引律加速度指令的具體值也取決于導(dǎo)航增益值。因此，有必要研究導(dǎo)航增益對所提導(dǎo)引律性能的影響。數(shù)值仿真條件如下：初始角度θM0=20°,ψM0=20°，所需攻擊時間td=40 s，取參數(shù)k1=4,k2=2，其他同第4.1節(jié)。相同仿真條件下，N取2,3,4時對應(yīng)的純比例導(dǎo)引法攻擊時間分別為35.33 s, 34.77 s, 34.53 s。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4結(jié)果表明，本文所設(shè)計導(dǎo)引律在不同導(dǎo)航增益下均有效，攻擊時間誤差小于0.01 s。導(dǎo)航增益N=2時，俯仰和偏航方向的加速度指令在彈道終點不能收斂到零值；當(dāng)導(dǎo)航增益N>2時，兩個方向的終端加速度指令值可收斂到零值。這表明，所設(shè)計的攻擊時間控制導(dǎo)引律在實際應(yīng)用時，應(yīng)根據(jù)需要選取合適的導(dǎo)航增益值。

(a) 前置角(a) Heading error

(b) 攻擊時間誤差(b) Impact time error

(c) 偏航方向加速度指令(c) Acceleration in yaw

(d) 俯仰方向加速度指令(d) Acceleration in pitch圖4 不同導(dǎo)航增益下的三維導(dǎo)引律仿真結(jié)果Fig.4 Three-dimensional simulation results with various navigation gains

4.3 與解耦導(dǎo)引律的仿真對比

為對比耦合導(dǎo)引律(24)～(25)和解耦導(dǎo)引律(42)～(43)，選取三個算例：算例1——θM0=20°,ψM0=0° ；算例2——θM0=20°,ψM0=20°；算例3——θM0=20°，ψM0=40°。算例1是在俯仰平面內(nèi)；算例2中，俯仰和偏航平面之間具有中等程度的耦合性；算例3中，兩個平面之間具有較強的耦合性。取所需攻擊時間td=42 s，參數(shù)k1=4,k2=1，其余同第4.1節(jié)。仿真結(jié)果如表1和圖5所示。

表1 不同算例對應(yīng)的控制能量Tab.1 Control energy for various examples 單位：m2/s3

(a) 前置角(a) Heading error

(b) 歐拉角(b) Euler angles

(c) 偏航方向加速度指令(c) Acceleration in yaw

(d) 俯仰方向加速度指令(d) Acceleration in pitch圖5 采用不同三維導(dǎo)引律的算例3仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of various three-dimensional guidance laws for example 3

由表1可知，由于能夠自動分配加速度指令，耦合三維導(dǎo)引律對應(yīng)的控制能耗更小，特別是隨著俯仰和偏航平面耦合程度的增強，這一優(yōu)勢更為明顯。圖5給出了算例3的仿真結(jié)果。

如圖5所示，兩種三維導(dǎo)引律都能夠在視場角約束下實現(xiàn)攻擊時間控制。所設(shè)計的耦合三維導(dǎo)引律可自動將加速度命令分配到俯仰和偏航兩個通道中。由圖5(c)和圖5(d)可知，耦合三維導(dǎo)引律主要在偏航平面內(nèi)進(jìn)行攻擊時間控制，而解耦三維導(dǎo)引律主要在俯仰平面內(nèi)進(jìn)行攻擊時間控制。

5 結(jié)論

針對導(dǎo)彈攻擊時間控制的三維導(dǎo)引律設(shè)計開展了研究。在導(dǎo)彈非線性數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，直接在三維空間設(shè)計出一個耦合的攻擊時間控制滑模導(dǎo)引律，并通過對所設(shè)計制導(dǎo)律進(jìn)行簡單修正，解決了零初始前置角引起的奇點問題。理論分析及數(shù)值仿真結(jié)果表明：①所設(shè)計的滑模導(dǎo)引律能夠在三維條件下有效實現(xiàn)攻擊時間增大或減小的控制，并可適應(yīng)不同的導(dǎo)航增益值；②所設(shè)計的滑模導(dǎo)引律能夠同時滿足視場角約束和攻擊時間控制的Lyapunov穩(wěn)定性條件；③與解耦三維導(dǎo)引律相比，所設(shè)計的耦合三維導(dǎo)引律控制能耗更小。

本文的研究為視場角約束條件下的三維攻擊時間控制導(dǎo)引律設(shè)計提供了一個思路，可作為對當(dāng)前相關(guān)研究的一點補充。