謝 陽(yáng), 龍 偉, 趙 波, 劉華國(guó)

(1. 四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 成都 610065; 2. 先進(jìn)制造技術(shù)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610065)

1 引 言

大型壓力容器在使用過程中由于受到溫度、載荷等時(shí)變因素的影響，常常在其內(nèi)部形成各種類型的裂紋缺陷.隨著交變載荷的作用，裂紋逐漸擴(kuò)展，當(dāng)達(dá)到其臨界尺寸時(shí)發(fā)生疲勞斷裂，由此導(dǎo)致嚴(yán)重的事故，造成重大的財(cái)產(chǎn)損失.在各種類型的裂紋中，埋藏裂紋是金屬壓力容器裂紋缺陷失效破壞的常見形式之一，由于具有隱秘性和不確定性，相對(duì)于其他類型的缺陷而言，其危害程度更大.盡管埋藏裂紋能夠通過探傷技術(shù)進(jìn)行檢測(cè)，但由于設(shè)備靈敏度和精度等原因，往往無法精確檢測(cè)到壓力容器埋藏裂紋在使用過程中的演變過程，使得壓力容器埋藏裂紋難以獲得準(zhǔn)確的安全程度評(píng)估值. 因此建立埋藏裂紋擴(kuò)展過程中的幾何尺寸關(guān)聯(lián)模型是解決計(jì)算其安全程度的關(guān)鍵.

目前，裂紋擴(kuò)展的研究主要集中在表面裂紋，Newman和Raju[1-3]在對(duì)大量表面裂紋進(jìn)行有限元分析研究以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，提出了表面裂紋在擴(kuò)展過程中一直保持半圓形或半橢圓形的擴(kuò)展理論模型. Isida等[4]研究了具有半橢圓形表面裂紋有限厚度板的拉伸和彎曲，通過改進(jìn)施力方法，推算表面裂紋形狀和應(yīng)力強(qiáng)度因子的實(shí)際準(zhǔn)確值. Lin等[5]討論了適用于預(yù)測(cè)在拉伸和彎曲載荷作用下薄板表面裂紋擴(kuò)展的多自由度數(shù)值分析方法.馮西橋等[6]以核反應(yīng)堆中壓力容器和管道的破前漏(LBB)分析為背景，從連續(xù)損傷力學(xué)的角度研究了壓力容器和管道中環(huán)向和軸向半橢圓表面裂紋在循環(huán)載荷作用下的疲勞擴(kuò)展問題.針對(duì)埋藏裂紋主要是關(guān)于超聲無損測(cè)定的研究，而對(duì)于裂紋擴(kuò)展中的幾何形貌的演變規(guī)律研究較少.本文基于斷裂力學(xué)理論，通過對(duì)不同材料施加周期性的拉伸載荷，運(yùn)用數(shù)值求積原理對(duì)埋藏裂紋擴(kuò)展進(jìn)行分析研究，獲得埋藏裂紋長(zhǎng)度與深度之間的關(guān)系，為壓力容器安全裕度和剩余壽命的研究[7]提供基礎(chǔ).

2 裂紋的擴(kuò)展規(guī)律

2.1 裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則

裂紋擴(kuò)展主要是描述裂紋在疲勞載荷作用下的形狀變化.Paris提出基于斷裂力學(xué)理論及實(shí)驗(yàn)的疲勞裂紋擴(kuò)展式[8-10]，即Paris公式:

(1)

式中:ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍;C和m是與材料有關(guān)的參數(shù).

基于Newman等人提出的表面裂紋擴(kuò)展過程中一直保持半橢圓形的擴(kuò)展理論模型，針對(duì)埋藏裂紋擴(kuò)展特性以及規(guī)則化表征處理原則，假設(shè)埋藏裂紋的形態(tài)一直呈現(xiàn)出橢圓形，利用Paris公式分別計(jì)算埋藏裂紋長(zhǎng)度值c和深度值a與疲勞應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的積分關(guān)系. 如圖1，在計(jì)算中只考慮前端的中心裂紋A和邊界裂紋B. 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2)

(3)

圖1 埋藏裂紋初始形狀: (a) a/c≤1; (b) a/c>1 Fig.1 Initial shapes of embedded crack: (a) a/c≤1; (b) a/c>1

式中ΔKA，ΔKB分別為中心裂紋A，邊界裂紋B的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍；CA，CB分別為中心裂紋A，邊界裂紋B的Paris公式常數(shù).將式(2)、(3)進(jìn)行迭代，將會(huì)獲得關(guān)于裂紋缺陷的長(zhǎng)度值與深度值得關(guān)聯(lián)關(guān)系：

(4)

由式(4)可知，裂紋在長(zhǎng)度和深度方向的關(guān)聯(lián)關(guān)系與裂紋的尖端處應(yīng)力強(qiáng)度因子K和材料常數(shù)相關(guān).由于表面裂紋在裂紋長(zhǎng)度方向上存在較大的塑性區(qū)，受表面的延展性阻礙作用[11]，在一定程度上將影響長(zhǎng)度c的擴(kuò)展，這里取CA=0.9mCB，針對(duì)埋藏裂紋而言CA=CB.因此，對(duì)于埋藏裂紋通過以下方式擴(kuò)展：

(5)

式中Δa為裂紋中心點(diǎn)A的擴(kuò)展量；Δc為裂紋邊界點(diǎn)B的裂紋擴(kuò)展量.

2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

以壓力容器為例，將埋藏裂紋所在部分假設(shè)成如圖2所示的平板，分析位于平板的橫截面區(qū)域所對(duì)稱表面缺陷相關(guān)的裂紋路徑，該缺陷受疲勞I型載荷下的均勻張力.

由Newman和Raju[1-3]提供的應(yīng)力強(qiáng)度因子K的計(jì)算被廣泛應(yīng)用.并且使用多種方法[1,12-14]從實(shí)驗(yàn)和數(shù)值的角度進(jìn)行了驗(yàn)證.本文運(yùn)用該方法中埋藏裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子K的計(jì)算，通過對(duì)裂紋幾何形狀的分析來計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)子.因只給出了拉

圖2 含埋藏裂紋的平板Fig.2 Embedded crack in a plate

應(yīng)力作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式，則本文只對(duì)拉應(yīng)力作用下的情況進(jìn)行討論.另外，Newman和Raju提供的方程在拉應(yīng)力作用下對(duì)于0≤a/c≤，c/b<0.5且-π≤φ≤π有效，如果0≤a/c≤0.2，則a/t<1.25(a/c+0.6);如果0.2≤a/c≤，則a/t<1，但對(duì)于a/t>0.8作者尚未給出確定的精度，其中a是裂紋深度(mm)；b是裂紋所在材料長(zhǎng)度的一半(mm)；c是埋藏裂紋長(zhǎng)度的一半(mm)；t是裂紋所在材料厚度(mm).應(yīng)力強(qiáng)度因子K表達(dá)式[3]如下:

(6)

式中St為外部施加拉伸應(yīng)力，F(xiàn)e、Q為求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的過程變量與裂紋形狀有關(guān)，(a/c)深長(zhǎng)比，(a/t)是相對(duì)裂紋深度，(c/b)是相對(duì)裂紋長(zhǎng)度；φ為裂紋前端點(diǎn)的角度.

其中St：

(7)

式中F為拉力.通過以下公式獲得Fe:

(8)

式中M1,M2,M3為過程變量，fφ為角度修正因子，fw為有限寬板校正因子.

(9)

求解Fe所需參數(shù)

M1=1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

求解Fe所需參數(shù)

(17)

(18)

其中計(jì)算M2,M3,g和fw的公式分別與式(11)(12)(13)和(15) 相同.通過以上給出的埋藏裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式來求解K，用于分析裂紋前沿的擴(kuò)展.

3 裂紋擴(kuò)展的數(shù)值分析

3.1 埋藏裂紋擴(kuò)展的數(shù)值分析

首先假設(shè)裂紋呈橢圓形，裂紋前端疲勞裂紋點(diǎn)的擴(kuò)展都垂直于裂紋前端方向(深度a方向)，如圖1，其中主要在深度a和長(zhǎng)度c上擴(kuò)展，即橢圓的長(zhǎng)短半軸不斷增大.

將橢圓裂紋的前沿離散化分成長(zhǎng)度相同的z段并運(yùn)用Simpson公式.另外，每個(gè)裂紋點(diǎn)n都在垂直于裂紋前端方向上擴(kuò)展并且遵循Paris公式，這樣使得橢圓形裂紋在擴(kuò)展過程中最大裂紋擴(kuò)展量Δamax保持恒定，且Δamax所在點(diǎn)與橢圓形裂紋線上所有點(diǎn)都相關(guān)，該點(diǎn)存在最大的應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍ΔKmax.由此，可以根據(jù)Paris迭代公式(5)，得到如下公式，來求解橢圓形裂紋線上任何一點(diǎn)n的裂紋擴(kuò)展量Δan.

(19)

式中Δan第n點(diǎn)的裂紋擴(kuò)展量，Δamax迭代計(jì)算中最大裂紋擴(kuò)展量，ΔKn第n點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍，ΔKmax最大應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍.考慮Newman和Raju方程(式(6)～(22))，得到以下公式：

(20)

則可通過最小二乘法擬合在不同時(shí)刻形成的新的橢圓形裂紋，從而得到裂紋擴(kuò)展的不同時(shí)刻的變化規(guī)律.

若只考慮擴(kuò)展中A、B兩點(diǎn)的情況下，如圖1，在擴(kuò)展過程中心裂紋點(diǎn)A和邊界裂紋點(diǎn)B在不同擴(kuò)展方式下都有可能產(chǎn)生最大擴(kuò)展量Δamax，若A點(diǎn)擴(kuò)展Δamax，則B點(diǎn)裂紋擴(kuò)展量通過等式(5)計(jì)算.同理，知道B點(diǎn)最大擴(kuò)展量，能求出A點(diǎn)擴(kuò)展量.

3.2 裂紋迭代流程

為了更好地分析理論計(jì)算中裂紋的變化規(guī)律，運(yùn)用Python計(jì)算機(jī)語(yǔ)言將上述數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行編程，分析受拉力作用下埋藏裂紋相關(guān)的裂紋路徑，通過循環(huán)的迭代計(jì)算得出深度和長(zhǎng)度的變化情況.因?yàn)榱鸭y形狀可以通過裂紋的深長(zhǎng)比a/c和裂紋深度尺寸a來表示，根據(jù)以上變化情況繪制了裂紋深長(zhǎng)比隨裂紋深度的函數(shù)變化情況.裂紋主要迭代流程，如圖3.圖3中,Δai為A點(diǎn)第i次的裂紋擴(kuò)展量；Δci為B點(diǎn)第i次的裂紋擴(kuò)展量.

圖3 埋藏裂紋迭代計(jì)算流程

4 裂紋變化分析

利用Python語(yǔ)言對(duì)數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行編程計(jì)算.確定每個(gè)橢圓裂紋離散化后分成長(zhǎng)度相同的48段，且迭代過程中最大裂紋深度Δamax=0.000 01t.通過改變Paris公式系數(shù)m來表示不同的材料取m=2，3，4.如圖4，繪制了初始裂紋形狀為a0={0.4,2.0,4.0,6.0,8.0}mm和(a/c)0={0.2,0.5,1.0,1.5,2.0}，一共25個(gè)不同初始裂紋的裂紋深長(zhǎng)比a/c隨裂紋深度a的函數(shù)變化情況.圖5繪制了m取不同值即不同材料情況下，初始裂紋形狀為(a/c)0={0.2,1.0,2.0}和a0={0.4,4.0,8.0}mm，一共9個(gè)不同初始裂紋的裂紋形狀曲線擴(kuò)展變化.

圖4 不同材料各個(gè)初始點(diǎn)的裂紋深長(zhǎng)比a/c隨裂紋深度a變化

從圖4可以看出：(1)對(duì)于(a/c)0<1的埋藏裂紋，裂紋深長(zhǎng)比a/c隨著裂紋深度a的增加而增大，接近于1后趨于穩(wěn)定；對(duì)于(a/c)0>1的埋藏裂紋，裂紋深長(zhǎng)比a/c隨著裂紋深度a的增加而減小，接近于1時(shí)趨于穩(wěn)定，說明埋藏裂紋受拉伸應(yīng)力作用的擴(kuò)展情況，最后的形狀趨近圓形.將圖中所有曲線迅速收斂的路徑定義為 “最優(yōu)擴(kuò)展路徑”.(2)初始裂紋相同的a0， (a/c)0的值越高，表現(xiàn)出更快收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑的趨勢(shì)，同時(shí)，a0≥2.0 mm的初始裂紋受到拉伸應(yīng)力時(shí)，表現(xiàn)出更慢收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑.(3) Paris公式指數(shù)m值越大，表現(xiàn)出更快的收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑.

從圖5可以看出：(1)裂紋受拉應(yīng)力作用下，隨著m的增加，裂紋更趨向于a=c的方向發(fā)展.(2)初始裂紋為(a/c)0=0.2時(shí)，裂紋橢圓曲線的排列隨著Paris指數(shù)m的變化而變化，其主要取決于初始裂紋深度a0.(3)在(a/c)0=1.0的初始圓形裂紋，較大的Paris系數(shù)m產(chǎn)生較低的裂紋深寬比.對(duì)于極深的裂縫(a/c)0= 2.0，也會(huì)出現(xiàn)較大的Paris系數(shù)m產(chǎn)生較低的裂紋深寬比的情況.

5 結(jié) 論

本文基于斷裂力學(xué)以及一對(duì)Paris公式，通過由Newman和Raju推導(dǎo)的應(yīng)力強(qiáng)度因子分析了埋藏裂紋長(zhǎng)度與深度的擴(kuò)展.討論了在不同初始裂紋尺寸下裂紋深長(zhǎng)比的變化情況，考慮了不同材料對(duì)于受拉時(shí)裂紋擴(kuò)展的影響.計(jì)算得到了裂紋深長(zhǎng)比隨相對(duì)尺寸變化的曲線、裂紋擴(kuò)展中裂紋形狀變化.得出以下結(jié)論：(1)在拉力作用下，埋藏裂紋的疲勞擴(kuò)展總是趨向于最優(yōu)擴(kuò)展路徑方向擴(kuò)展; (2)初始裂紋深長(zhǎng)比和指數(shù)m越大，則收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑的速度越快，即形成近似圓形的趨勢(shì)更快; (3)初始裂紋a0越大, 受到拉伸應(yīng)力時(shí)，收斂于最優(yōu)擴(kuò)展路徑更慢.