賈云飛，鄭德印

(杭州師范大學理學院，浙江 杭州 311121)

0 引言

在數(shù)論、三角函數(shù)逼近和插值、積分變換、離散傅里葉級數(shù)和數(shù)學物理方程求解等問題中常常會遇到一些在等分角上的三角函數(shù)求和問題.設T(θ)表示某一初等三角函數(shù),那么對k的有限和(θk是等分上半平面的第k個等分角):

(1)

就屬于這種情況.它已經(jīng)被廣泛地研究,比如,數(shù)學手冊[1]就有如下的求和結果:

Byrne和Smith[2]使用Lagrange插值多項式證明了下面兩類三角和

(2)

分別是n的2m-1和2m次的整數(shù)值多項式,并給出了多項式系數(shù)的遞推關系.Hassan[3]使用樣本定理和Lagrange型插值公式計算了大量的三角函數(shù)和,推廣了文[2]的結果.文[3]還進一步指出,不僅有和值為n的整數(shù)值多項式的三角函數(shù)求和公式,也有和值為n的非整數(shù)值多項式的三角函數(shù)求和公式,其中兩個簡單例子如下:

最近,Annaby和Hassan[4]對這一問題又作了進一步研究,以Chebyshev多項式的零點為節(jié)點作Hermite插值得到了更多更復雜的三角函數(shù)和公式.

計算這類三角函數(shù)和的方法還有發(fā)生函數(shù)法和圍線積分法.Chu和Marini[5]使用部分分式分解和發(fā)生函數(shù)方法系統(tǒng)地研究了類型(1)的三角函數(shù)求和問題,緊接著Berndt和Yeap[6]研究了此類三角函數(shù)和的兩類基本類型:余切和與交錯的余割和.王欣[7]將這一問題的研究向前推進了一步,在三角函數(shù)的角中增加了一個自由參數(shù)y,使用圍線積分和發(fā)生函數(shù)兩種方法,對這一問題作了系統(tǒng)研究,推廣了文[5]的結果,得到了大量含有一個自由參數(shù)的此類三角函數(shù)求和公式.比如,對任意實數(shù)y,當n是正奇數(shù)時,有

(3)

(4)

當n是正偶數(shù)時,有

(5)

(6)

在文[7]的基礎上,本文研究含有一個自由參數(shù)y的正割與余割函數(shù)冪的積的有限和,即

(7)

其中,p和q為非負整數(shù).這類三角函數(shù)的求和問題在上述文獻中雖有零星的個例,但沒有進行系統(tǒng)的研究.比如,在文[7]中的(2.3.5):

通過簡單的三角函數(shù)恒等變形,它可以變?yōu)?/p>

這兩個和都是下文(44)的特殊情況.所以這里的研究內(nèi)容是新的、具有一般性的.

在開始計算三角函數(shù)和之前,先給出4個引理,首先是正弦函數(shù)的降次公式.

引理1對任意的正整數(shù)m和實數(shù)θ,有下面的正弦函數(shù)的降次公式:

(8)

(9)

(10)

證明因為sinθ=(eiθ-e-iθ)/(2i),所以使用二項展開式定理,(sinθ)2m有展開式:

(11)

注意,將k換為-k,和式(11)不變.因此對等式(11)兩邊同乘以sin(2θ)=(e2iθ-e-2iθ)/(2i),可得式(8).類似地,對等式(11)兩邊同乘以cosθ=(eiθ+e-iθ)/2,可得式(9).等式(11)兩邊同乘以sinθ=(eiθ-e-iθ)/(2i),可得式(10).

□

使用JamesMoriarty的二項式恒等式,可以將反正弦函數(shù)與正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的復合展開為簡單的冪級數(shù),它們實際上是屬于2F1(z2)的超幾何級數(shù).這就是

引理2對任意實數(shù)λ,下面的函數(shù)可以展開為z的冪級數(shù):

(12)

(13)

(14)

讓k=2l得e2iθλ的實部:

(15)

上式中對l的求和,用JamesMoriarty的求和公式[5]

可以化簡,這樣證得等式(12).

2) 在等式(14)中,讓k=2l+1,可得e2iθλ的虛部:

上式中對l的求和,用求和公式[5]

可以化簡,這樣證得等式(13).此引理得證.

□

引理3下面的雙變量形式冪級數(shù)展開式成立:

(16)

□

本文所要計算的正割與余割函數(shù)的和,能夠求和的關鍵在于下面引理中的3個三角函數(shù)恒等式,這里使用部分分式分解方法給出了簡單的證明.

引理4式[7,(2.1.3)和(3.1.5)]設y是一個使得下面各式有意義的實參數(shù),那么下面3個關于θ的三角函數(shù)求和公式成立.

(17)

(18)

(19)

1 正割與余割函數(shù)冪的積的有限和

1.1 當n為正奇數(shù)時

定理1設y是一個使得下面的和式Un(p,q)有意義的實參數(shù),那么對任意正奇數(shù)n,關于p和q的二重序列

(20)

的雙變量發(fā)生函數(shù)為

(21)

(22)

且對非負整數(shù)p和q,有如下的求和公式:

(23)

(24)

其中

(25)

證明首先求Un(p,q)的雙變量發(fā)生函數(shù):

對上面求和項作部分分式分解,有

(26)

所以,Un(2p,2q)的雙變量發(fā)生函數(shù)可以拆分為兩部分和:

(27)

對第一部分作代換z1=cosα,同時使用求和公式(17),則有下面的求和結果:

(28)

由于n是一個奇數(shù),所以有

sin(2nα)=sin(nπ-2nα)=sin(2narcsinz1),

(29)

cos(2nα)=-cos(nπ-2nα)=-cos(2narcsinz1).

(30)

使用這些關系,把式(28)中的α的三角函數(shù)用z1表示,則有

(31)

對式(27)的第二部分作代換z2=sinβ,那么有

(32)

將β?lián)Q為arcsinz2,則有

(33)

由式(27)、(31)和(33),立得發(fā)生函數(shù)(22).

下面證明式(24).這需要將發(fā)生函數(shù)(22)展開為z1和z2的冪級數(shù).為了簡單,設arcsinz1=α,則sinα=z1.使用冪級數(shù)展開式(1-x)-1=∑m≥0xm,有下面的展開結果:

(34)

(35)

由于對式(21)等號右端的函數(shù),把ny換為π/2-ny,z1和z2對換,即得式(22).因此,將式(23)中的ny換為π/2-ny,p和q對換,就得到式(24).這樣定理得證.

□

例1在式(23)—(24)中,讓p,q取0或1,則有

Un(1,1)=n2sec2(ny)+n2csc2(ny),

Un(1,3)=n2sec2(ny)+n6csc6(ny)-n4(n2-2)csc4(ny)+

Un(3,3)=n6(csc6(ny)+sec6(ny))-n4(n2-4)(csc4(ny)+sec4(ny))+

注1(1)例1中的第一個公式就是文[7]中兩個公式(2.2.3)和(2.3.3)在p=1時的和.

(2)Un(p,q)的對稱性:將Un(p,q)的表達式中的sec和csc互換,可得Un(q,p)的表達式.

(3)當p=q時,公式(23)—(24)可簡化為

1.2 當n為正偶數(shù)時

的雙變量發(fā)生函數(shù)為

(38)

且對非負整數(shù)p和q,有如下的求和公式:

(39)

證明考察定理1的證明過程發(fā)現(xiàn):當n由奇數(shù)變?yōu)榕紨?shù)時,需要改變式(29)—(30)為

sin(2nα)=-sin(nπ-2nα)=-sin(2narcsinz1),

(41)

cos(2nα)=cos(nπ-2nα)=cos(2narcsinz1).

(42)

這樣等式(31)應該被改寫為

(43)

下面需要把發(fā)生函數(shù)(37)—(38)展開為z1和z2的冪級數(shù)來得到式(39)—(40).由于式(38)和(22)相同,所以式(40)和(24)相同.又因為在等號(37)的右端中將z1和z2互換,即得式(38).因此,把式(40)中的p和q互換,立得式(39)等號的右端.這樣此定理得證.

□

例2在式(39)—(40)中,讓p,q取0或1或2,則有

注2(1)例2中的第一個公式就是文[7]中兩個公式(3.2.3)和(3.3.3)在p=1時的和.

(3)當p=q時,公式(39)—(40)可簡化為

2 正割與余割函數(shù)冪的積的交錯和

2.1 當n為正奇數(shù)時

定理3設y是一個使得下面的和式Vn(p,q)有意義的實參數(shù),那么對任意正奇數(shù)n,關于p和q的二重序列

(44)

的雙變量發(fā)生函數(shù)為

(45)

(46)

且對非負整數(shù)p和q,有如下的求和公式:

(47)

(48)

其中

證明首先求Vn(p,q)的雙變量發(fā)生函數(shù):

由部分分式分解式(26)知,Vn(p,q)的雙變量發(fā)生函數(shù)可以拆分為下面的兩部分和:

(49)

對第一部分作代換z1=cosα,同時使用求和公式(18),則有下面的求和結果:

(50)

由于n是一個奇數(shù),所以有

使用這些關系,把式(50)中α的三角函數(shù)用z1表示,則有

(51)

對式(49)中的第二部分和,作代換z2=sinβ,那么有

(52)

將β?lián)Q為arcsinz2,則有

(53)

由式(49)、(51)和(53),立得發(fā)生函數(shù)(46).

下面證明式(48)，這需要將發(fā)生函數(shù)(46)展開為z1和z2的冪級數(shù).為了簡單,設arcsinz1=α,則sinα=z1.使用冪級數(shù)展開式(1-x)-1=∑m≥0xm,有下面的展開結果:

在式(34)中,將ny換為π/2-ny,sin(2narcsinz1)換為sin(narcsinz2),z1換為z2,同時使用公式(8),將sin((2j+1)nα)展開為z2的冪級數(shù),那么有

(55)

□

例3在式(47)—(48)中,讓p取0,1,2,q取0或1,則有

2.2 當n為正偶數(shù)時

的雙變量發(fā)生函數(shù)為

(58)

且對非負整數(shù)p和q,有如下的求和公式:

(59)

其中

(61)

對第一部分作代換z1=cosα,同時使用求和公式(19),則有下面的求和結果:

(62)

由于n是一個偶數(shù),所以有

使用這些關系,把式(62)中α的三角函數(shù)用z1表示,則有

(63)

對式(61)中的第二部分作代換z2=sinβ,那么有

(64)

將β?lián)Q為arcsinz2,則有

(65)

由式(61)、(63)和(65),立得發(fā)生函數(shù)(58).

類似于式(34),設arcsinz1=α,則有

把式(57)中的(-1)n/2去掉,再將z1和z2對換,即得式(58).所以把式(59)中的(-1)n/2去掉,再將p和q對換,立得式(60).此定理得證.

□

例4在式(59)—(60)中,讓p,q分別取0,1,2,則有

(2)當p=q時,公式(59)—(60)可簡化為