孫 霞

(云南開放大學(xué) 公共教學(xué)部，云南 昆明 650500)

早在1918年，Lattès就找到了一個(gè)Julia集為整個(gè)Riemann球面的有理函數(shù)，即

利用Weierstrass橢圓函數(shù)的性質(zhì)對(duì)此進(jìn)行了證明，但deg(P)=4.在本文中，筆者找到了一族度為2的有理函數(shù)，其Julia集也是整個(gè)Riemann球面，由于該函數(shù)族中的函數(shù)與Lattès發(fā)現(xiàn)的函數(shù)不共軛，所以它們是新的Julia集為整個(gè)Riemann球面的有理函數(shù)，此外，熟知的有理函數(shù)

的Julia集也是整個(gè)Riemann球面，但它和我們函數(shù)族中的一個(gè)函數(shù)是共軛的，所以在函數(shù)族中.

若2個(gè)有理函數(shù)是共形共軛的，則它們就具有相同的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，從而在二次多項(xiàng)式的研究中，只需要研究如下的多項(xiàng)式即可：

Pc(z)=z2+c.

上述含有單參數(shù)的多項(xiàng)式族是一個(gè)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)比較豐富的函數(shù)族，但由于∞是其超吸性不動(dòng)點(diǎn)，所以它的Fatou集不會(huì)是空集，即Julia集不會(huì)是整個(gè)Riemann球面，也即不會(huì)出現(xiàn)Julia集“爆炸”的情況.而對(duì)同樣的含有單參數(shù)的二次有理函數(shù)族

找到了使得其Julia集“爆炸”的具體參數(shù)值，并發(fā)現(xiàn)這些參數(shù)值構(gòu)成的集合是一個(gè)無窮集，結(jié)論如下：

1 預(yù)備知識(shí)和引理

1.1 不動(dòng)點(diǎn)及其分類

1)稱z為R的超吸引不動(dòng)點(diǎn)，如果λ=0；

2)稱z為R的吸引不動(dòng)點(diǎn)，如果|λ|<1；

3)稱z為R的排斥不動(dòng)點(diǎn)，如果|λ|>1；

4)稱z為R的中性不動(dòng)點(diǎn)，如果|λ|=1，進(jìn)一步，若λ=e2πiθ且θ為有理數(shù)，則稱z為有理中性不動(dòng)點(diǎn)；若θ為無理數(shù)，則稱z為無理中性不動(dòng)點(diǎn).無理中性不動(dòng)點(diǎn)可以在Fatou集F(R)中，也可以在Julia集J(R)中.若無理中性不動(dòng)點(diǎn)z∈F(R)，則稱z為Siegel點(diǎn)；若z∈J(R)，則稱z為Cremer點(diǎn).

引理2[8-10]有理函數(shù)R的吸引和超吸引周期點(diǎn)屬于F(R)，排斥周期點(diǎn)屬于J(R).

1.2臨界點(diǎn)

1.3 Sullivan定理

在介紹Sullivan定理之前，先介紹如下定義：

設(shè)R為次數(shù)不小于2的有理函數(shù)，D是Fatou集F(R)的一個(gè)分支，則稱D是

1)周期的，如果存在某個(gè)正整數(shù)n，使得Rn(D)=D；

2)預(yù)周期的，如果存在某個(gè)正整數(shù)m，使得Rm(D)是周期的；

3)游蕩的，如果集合{Rn(D),n≥0}是兩兩互不相交的.

早在上個(gè)世紀(jì)初，F(xiàn)atou就猜想，對(duì)有理函數(shù)來說，不存在游蕩的Fatou分支，這個(gè)猜想直到Sullivan引進(jìn)了有理函數(shù)的擬共形形變才獲得證明，結(jié)論如下：

引理4[8-10](Sullivan定理) Fatou集的每一個(gè)分支都是預(yù)周期的.

1.4 Sullivan分類定理

引理5[8-10]設(shè)R是有理函數(shù)，deg(R)≥2，如果D是R的不變Fatou分支(即R(D)=D)，那么，D為下列5種情形之一.

1)吸引的:存在R的吸引不動(dòng)點(diǎn)z0∈D，其乘子λ滿足0<|λ|<1，Rn在D內(nèi)局部一致收斂于z0;

2)拋物的:存在R的有理中性不動(dòng)點(diǎn)z0∈?D，乘子λ=e2πiθ且θ為有理數(shù)，Rn在D內(nèi)局部一致收斂于z0;

3)超吸引的:存在R的超吸引不動(dòng)點(diǎn)z0∈D，乘子λ=0，Rn在D內(nèi)局部一致收斂于z0;

4)Siegel盤:D共形等價(jià)于單位圓盤Δ，而R共形共軛于Δ上的無理旋轉(zhuǎn)z|→e2πiθ，z∈Δ，θ為無理數(shù);

5)Hermann環(huán):D共形等價(jià)于環(huán)域A(r,1)={z|0

1.5 穩(wěn)定域與臨界點(diǎn)之間的關(guān)系

引理6[8-10]設(shè)R為度deg(R)≥2的有理函數(shù)，則R的每個(gè)吸引(超吸引)循環(huán)的直接吸性域中至少含有R的一個(gè)臨界點(diǎn).

引理7[8-10]設(shè)R為deg(R)≥2的有理函數(shù)，則R的每個(gè)拋物循環(huán)的直接吸性域中至少含有R的一個(gè)臨界點(diǎn).

1.6 Julia集為整個(gè)Riemann球面的充分條件

1.7 代數(shù)學(xué)基本定理

2 定理的證明

……

λ+4=0.

(1)

4λ2+(λ+4)2=0.

(2)

4λ3(λ+4)2+((λ+4)2+4λ2)2=0.

(3)

從上述證明中不難發(fā)現(xiàn)，Α?{λ||λ|≥1}.因?yàn)?為Rλ的其中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，若0<|λ|<1，則0是Rλ的吸引不動(dòng)點(diǎn)，由Sullivan分類定理，存在包含原點(diǎn)的Fatou分支D，此時(shí)Julia集不會(huì)是整個(gè)Riemann球面；若|λ|=1且λ為有理數(shù)，則0為有理中性不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)也存在Fatou分支D，使得0∈?D，Julia集也不會(huì)是整個(gè)Riemann球面；若|λ|=1且λ為無理數(shù)，則0可以是Siegel點(diǎn)也可以是Cremer點(diǎn)，此時(shí)只有0是Cremer點(diǎn)時(shí)Julia集才會(huì)是整個(gè)Riemann球面.但對(duì)集合A的具體狀況不得而知，猜測(cè)A可能有內(nèi)點(diǎn)或者有有限的聚點(diǎn).