李凱

分數(shù)在數(shù)學學習中具有重要地位，對學生而言，認識分數(shù)是對數(shù)概念的一次擴展。由于分數(shù)的意義較為抽象且內(nèi)涵十分豐富，所以，課程標準將分數(shù)內(nèi)容的學習安排到兩個學段中，第一學段主要是通過操作初步認識分數(shù)，第二學段需要結(jié)合具體情境理解分數(shù)的意義。第二學段中，學生對分數(shù)意義的理解逐步從生活過渡到數(shù)學現(xiàn)實，理解起來更為抽象。具體來說，就是需要從運算和倍比關(guān)系的角度理解分數(shù)的意義。

在學習了“分數(shù)與除法的關(guān)系”后，教師一般會安排“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的學習內(nèi)容。這既是對“分數(shù)與除法關(guān)系”的運用，也是在引導學生從兩個量之間倍比關(guān)系的角度理解分數(shù)的意義。因此，這個內(nèi)容既是解決問題的教學，也是對分數(shù)意義的深化，教師要抓住關(guān)鍵，突破難點，幫助學生更加深入地理解分數(shù)的意義。

一、巧搭梯子，激活對“倍”的數(shù)學活動經(jīng)驗

學生在第一學段已經(jīng)建立了“倍”的概念，在學習小數(shù)乘法的時候還接觸到了小數(shù)形式的倍數(shù)。為了讓學生更容易理解用分數(shù)表示兩個量之間的倍比關(guān)系，教師通過數(shù)據(jù)的變化，巧搭梯子，讓學生感受到描述兩個量之間的倍比關(guān)系并不局限于倍數(shù)大于1的情況。

新課學習之前，教師先以復習的方式呈現(xiàn)一組求倍數(shù)關(guān)系的問題，激活學生對倍的學習經(jīng)驗（見下表）。第（1）題是基本的倍數(shù)關(guān)系，第（2）題算得的結(jié)果是小數(shù)，第（3）題是1倍。接著，教師帶領(lǐng)學生復習“倍”的概念：表示與標準量相同的部分就是1倍。

[（1）????? 養(yǎng)鵝30只?????? 養(yǎng)鴨10只?????? 鵝的只數(shù)是鴨的3倍????? 30÷10=3????????? （2）?????? 養(yǎng)鵝26只?????? 鵝的只數(shù)是鴨的2.6倍??? 26÷10=2.6 （3）?????? 養(yǎng)鵝10只?????? 鵝的只數(shù)是鴨的1倍???? 10÷10=1?? （4）?????? 養(yǎng)鵝7只????????? 鵝的只數(shù)是鴨的？???????? ]

這時候，教師呈現(xiàn)第（4）題：鵝的只數(shù)是7只，鴨的只數(shù)是10只，把鴨的只數(shù)看成標準量，還能用以前的學習經(jīng)驗描述鵝的只數(shù)與鴨的只數(shù)之間“倍”的關(guān)系嗎？有的學生認為現(xiàn)在鵝的只數(shù)比1倍量小，因此不能用“倍”來表示;有的學生認為可以用小數(shù)來表示，是0.7倍，因為2.6倍就是小數(shù)形式的倍數(shù);還有的學生搖擺不定，認為雙方都有一些道理。學生順著教師提供的“梯子”進行思考，發(fā)現(xiàn)與原有認知經(jīng)驗產(chǎn)生了沖突，這就是學生學習的“生長點”。

二、觀察對比，溝通“倍”與分率的內(nèi)在聯(lián)系

既然用“倍”來表示鵝的只數(shù)與標準量之間的關(guān)系與生活常識不一致，那么教師可以轉(zhuǎn)換一下思路，引導學生用分數(shù)來表示。如下圖，教師通過出示四幅點子圖的方式，用黃色代表鵝的只數(shù)，紅色代表鴨的只數(shù)，讓學生嘗試用分數(shù)分別來表示它們之間的倍數(shù)關(guān)系。學生解決這個問題的策略有兩個：一是通過畫圖，從具體操作的角度把鴨的只數(shù)看成1倍量（單位“1”），把單位“1”平均分成10份，鵝的只數(shù)相當于這樣的7份，因此用分數(shù)同樣可以表示比較量與1倍量之間的關(guān)系。二是根據(jù)以往求倍數(shù)的學習經(jīng)驗，用同一個數(shù)學模型代入到現(xiàn)在的數(shù)據(jù)，根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系得到分數(shù)的結(jié)果，體會用分數(shù)表示兩個量之間的倍比關(guān)系。

兩種解決問題的策略指向了同一個結(jié)論，因此，需要引導學生對比觀察上面四組示意圖、算式和結(jié)論，找到其中的共同點。有的學生說：“都是用鵝的只數(shù)除以鴨的只數(shù)?！庇械膶W生說：“都是把鴨的只數(shù)當成1倍量?！边€有的學生說：“得數(shù)比1大的時候都加了‘倍字?！狈謹?shù)的意義也可以表示出比較量與標準量之間的關(guān)系，借用求倍數(shù)的數(shù)學模型和分數(shù)與除法的關(guān)系，在計算比較量與標準量之間關(guān)系的時候可以用分數(shù)表示結(jié)果。只不過當比較量大于標準量的時候，人們習慣于用“倍”來描述，如果比較量小于標準量則習慣用“分數(shù)”來描述。由此可見，倍與分率在數(shù)學本質(zhì)上是共通的，這樣分數(shù)的意義從生活現(xiàn)實（對一個量的操作）擴展到了數(shù)學現(xiàn)實（兩個量之間的倍比關(guān)系）。

三、類比遷移，由離散量模型到連續(xù)量模型

根據(jù)例題中的數(shù)據(jù)，學生還可以提出“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（幾倍）”的問題并解決。通過這樣的練習，學生能夠借助離散量模型鞏固已學知識。教學中還可以引入連續(xù)量模型幫助學生從不同角度加深對分數(shù)意義的理解。

如上圖，求藍色紙條的長度是紅色紙條的幾分之幾？學生動手比一比、試一試。用藍色紙條去量紅色紙條，正好量了4次，說明藍色紙條的長度是紅色紙條的[14]。接下來，繼續(xù)思考黃色紙條的長是紅色紙條的幾分之幾。如下圖把紅色紙條按長度平均分成4份，每一份都是它的[14]，有這樣的3份就是它的[34]。

給出長度數(shù)據(jù)后，可以用除法計算“1÷4、3÷4”，根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系也可以得到相同的結(jié)論，學生通過兩種不同的數(shù)據(jù)模型再次體會到分數(shù)的意義不僅能表示一個量的幾分之幾，還可以表示兩個量之間的倍比關(guān)系。

四、適當拓展，深化對分數(shù)意義的理解

此時，學生對分數(shù)意義的理解雖然已經(jīng)拓展到兩個量之間的倍比關(guān)系，但是還局限于真分數(shù)。在學生掌握情況良好的前提下可以適當進行拓展練習，一方面引導學生突破思維定式，另一方面也為后面學習真分數(shù)和假分數(shù)做好鋪墊。

如上圖，這道題比較開放。第（1）問，學生既可以填[39]，又可以填[13]，只要能講出道理就行;第（2）問，根據(jù)本節(jié)課所學的知識學生可能會填[93]或[31]，也有學生會根據(jù)三年級的學習經(jīng)驗認為這里應該填3倍。到底該怎樣填呢？學生課后繼續(xù)思考。這也為后面學習真分數(shù)和假分數(shù)以及約分埋下了伏筆。

本節(jié)課，學生已經(jīng)體會到可以用分數(shù)意義表示兩個量之間的倍比關(guān)系，相比之前通過對一個量進行平均分的“操作”所建立的分數(shù)意義更為抽象。但學生對分數(shù)意義的理解不能止步于此，還需要在后續(xù)的教學中用分數(shù)意義進一步整合“倍”的概念，并通過解決問題幫助學生形成對分數(shù)意義的本質(zhì)理解。學生學習了真分數(shù)、假分數(shù)以及分數(shù)與小數(shù)的互化以后，就可以從分數(shù)意義的角度整合“倍”的概念，因為倍數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成為分數(shù)形式，本質(zhì)上都是兩個量之間的比。學習了“比”之后，學生對此會有更直接的體會。在解決分數(shù)乘法的有關(guān)問題時，學生也會發(fā)現(xiàn)當兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系不是整數(shù)時，用分數(shù)來表示更容易理解，因此分數(shù)意義的學習直接影響到分數(shù)乘法及其解決問題的學習。

（作者單位：武漢小學）

責任編輯? 張敏