□竺君斐 周 潔

一、教材編排

“認識萬以內(nèi)的數(shù)”，是數(shù)認識序列中一個重要的知識點。小學數(shù)學現(xiàn)行教材中，比較通用的人教版、北師大版、蘇教版教材雖然在例題呈現(xiàn)時都沒有結(jié)合歷史，而是省略了其產(chǎn)生時復(fù)雜和反復(fù)的歷程，只保留了嚴謹?shù)?、間接性的邏輯結(jié)構(gòu)，但教材在編排這塊內(nèi)容時卻有一個共同點，即在該章節(jié)后面設(shè)置了“你知道嗎”“讀一讀，講一講”等小欄目，補充介紹中國古代記數(shù)的方法——算籌記數(shù)法。具體見表1所示。

二、問題聚焦與課前思考

學生學習“認識萬以內(nèi)的數(shù)”時，已經(jīng)臨近認識自然數(shù)的“收官”階段。在這一階段的教學中，教師有必要幫助學生梳理自然數(shù)產(chǎn)生發(fā)展的歷史，尤其是結(jié)合教材提供的史料，梳理“算籌記數(shù)”的發(fā)展過程。梳理中要清晰以下三個問題。

其一：為什么要讓學生了解算籌記數(shù)

站在歷史的角度看待數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)學知識背后的數(shù)學思想和方法，讓學生體會“數(shù)學有著悠久的歷史”“數(shù)學是人類的文化活動”的道理。

表1

其二：中國古人為什么要創(chuàng)造橫向、縱向兩種算籌表示方法

從表1 可以看出，算籌用1 根小棒表示1，用2根小棒表示2，若要表示12，就得把十位的1根小棒和個位的2 根小棒放在一起。看上去像3 根小棒，12與3容易造成混淆。中國古人為了區(qū)別12與3，發(fā)明并規(guī)定用橫向與縱向兩種不同形式表示不同數(shù)值的數(shù)。

其三：中國古人的算籌記數(shù)方法有何優(yōu)點

中國古人的算籌記數(shù)采用“十進位值制”的方法來表示數(shù)（如圖1），而作為文明古國之一的古埃及，在同一時期采用的是計數(shù)單位累加的方法（如圖2）。

圖1 我國古人用算籌記數(shù)法表示6728（北師大版教材二年級下冊第26頁）

圖2 古埃及人用“計數(shù)單位累加”的方法表示235

對比以上兩個記數(shù)法可發(fā)現(xiàn)，我國的算籌記數(shù)法更簡潔方便。我國算籌記數(shù)采用的是“十進位值制”，這是我國古人的一大創(chuàng)舉。英國著名科學史家李約瑟先生曾對這種記數(shù)法予以很高評價。他說：“總的來說，商代的數(shù)字系統(tǒng)比古巴比倫和古埃及同一時代的字體更為先進、更為科學?！彼€指出：“在中國，只用九個數(shù)字同位值名稱相結(jié)合的記數(shù)法，早在公元前14世紀就已經(jīng)出現(xiàn)了。在印度，則直到公元6世紀，才放棄了對十的倍數(shù)所采用的專門符號。”

三、HPM視角下的教學設(shè)計

【教學目標】

1.借助數(shù)學史料，了解數(shù)的發(fā)展歷史，認識“十進位值制”。

2.經(jīng)歷HPM 視角下動態(tài)化的知識演變過程，感受數(shù)學史料的文化魅力。通過探究活動，體會數(shù)學符號的簡潔美。

【教學設(shè)計】

1.借助方塊直觀模型，理解數(shù)位意義。

（1）課件有序出示小方塊（1 個、10 個、100 個、1000個），復(fù)習計數(shù)單位個十、百、千。

（2）課件出示235個小方塊，明確235由2個百3個十5個一組成。

（3）追問：為什么2、3、5 三個數(shù)字可以表示那么多的小方塊呢？為什么2可以表示2個百？

（4）歸納：數(shù)在不同的數(shù)位上，表示不同的數(shù)量。個位、十位、百位、千位就是數(shù)位。

2.了解中國古代的算籌記數(shù)法，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）了解中國古代的算籌記數(shù)法。

①課件出示算籌1～9 的圖片。介紹2000 多年前，我國古人用算籌來記數(shù)。

②介紹算籌記數(shù)有橫式與縱式兩種表示方法。

③觀察思考6 為什么改變擺法，明確“以一當五”更簡約美觀。

④練習。出示算籌記數(shù)的圖片，請學生說說各圖分別表示幾，它們各是什么擺法。（略）

（2）嘗試用算籌記數(shù)法表示235。

①學生獨立嘗試。

②呈現(xiàn)學生作品。

③交流評價。請學生說說喜歡哪幅作品并說明理由。

④課件演示正確書寫方法，在作品3 后面打鉤。同時表揚4 號作品，雖然反了，但是他這種縱橫交替的思想特別寶貴。

（3）嘗試用算籌記數(shù)法表示5555。

①學生獨立嘗試。

②作品反饋。

3.介紹古埃及的記數(shù)方法。

（1）介紹古埃及的記數(shù)方法。

①課件出示圖3，介紹1～9，10，100，1000，10000的表示方法。

圖3 古埃及的記數(shù)方法

②出示用古埃及的記數(shù)方法表示的235。

（2）學生嘗試用古埃及的記數(shù)方法表示5555。

（3）交流用古埃及的記數(shù)方法表示的5555 各部分的含義。

圖4 用古埃及的記數(shù)方法表示的5555

4.對比古埃及的記數(shù)方法和中國古代的算籌記數(shù)法，感受十進位值制的價值。

師：對比2000 多年前古埃及的5555 與古代中國的5555表示的方法，你想說些什么？

生：古埃及記數(shù)法中的千百十一有專門的符號，而我國古代的算籌記數(shù)法是用位置來加以區(qū)分的。

生：古埃及的太麻煩，我國古代的算籌記數(shù)法更方便。

生：作為中國人，我很驕傲，我們的祖先太聰明了！

5.對比中國古代的算籌記數(shù)法和現(xiàn)代記數(shù)法。

6.小結(jié)。

師：數(shù)學追求簡潔美，我們學習的數(shù)學知識凝聚了一代又一代數(shù)學家的努力和智慧。用不同的數(shù)位表示個十、百、千，叫作“十進位值制”，它是古代中國人民貢獻的智慧。

四、HPM視角下教學設(shè)計的價值探尋

華東師范大學的汪曉勤教授將HPM研究價值歸納為“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。HPM視角下“認識萬以內(nèi)的數(shù)”一課的教學設(shè)計對以上六大價值均有所體現(xiàn)。

了解算籌的記數(shù)方法，體會“以一當五”，這是感受“知識之諧”；讓學生嘗試探究“中國古人表示235 的方法”，體悟的是數(shù)學的“探究之樂”；經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，明白縱橫交替擺法的優(yōu)勢，發(fā)揮學生的能動性，是“能力之助”；在古埃及、古代中國算籌和阿拉伯數(shù)的記數(shù)方法對比中，感受古埃及記數(shù)方法的繁雜，體會中國算籌十進位值制的價值，感受古代中國人民的偉大，是“德育之效”；在歷史發(fā)展進程中，感受數(shù)學是不斷發(fā)展、不斷前進的，數(shù)學是屬于全世界人類的一項文化成果，體會的是“文化之魅”。

這樣的設(shè)計，將數(shù)學史、數(shù)學文化知識融入數(shù)學教學中，充分體現(xiàn)了HPM視角下“趣味性”“科學性”“有效性”“可學性”“新穎性”五大設(shè)計原則。學生學得輕松，學得扎實。