楊 揚(yáng)，李桂花

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

媒介傳染病是通過媒介將病原微生物傳染給宿主后進(jìn)行傳播的傳染病，常見的媒介有蚊子、蜱類、三尖蟲、沙蠅和黑螢等.媒介傳染病始終威脅著人類健康，這就對如何預(yù)防傳染病提出了嚴(yán)重的挑戰(zhàn).對傳染病模型的研究可使我們更了解疾病的傳播，從而為疾病的控制提供一些合理的建議.

在常見的傳染病模型中，對以蚊子為媒介的疾病，比如瘧疾、登革熱、西尼羅河病毒(WNV)的研究較多[1-6].模型在建立過程中，一般假設(shè)恢復(fù)率μ為常數(shù).但在現(xiàn)實生活中，恢復(fù)率與醫(yī)療資源的數(shù)量有關(guān)，如果醫(yī)院有足夠的病床(設(shè)病床數(shù)量為b>0)，病人就能夠得到有效的治療.在病床數(shù)一定的情況下，染病者數(shù)量越多，恢復(fù)率越低.因此，設(shè)恢復(fù)率函數(shù)是染病者數(shù)量Ih的減函數(shù).取恢復(fù)率函數(shù)為[7-8]

本文將宿主種群Nh分為易感者Sh、染病者Ih和恢復(fù)者Rh，將媒介種群Nv分為易感者Sv和染病者Iv，且滿足關(guān)系式Nh=Sh+Ih+Rh及Nv=Sv+Iv.建立如下系統(tǒng)

(2)

本文接下來考慮平衡點的存在性，研究平衡點的穩(wěn)定性及分支情況，通過數(shù)值模擬驗證了Bogdanov-Takens分支、Hopf分支和極限環(huán)的存在.

1 平衡點的存在性

為分析平衡點的存在性，令系統(tǒng)(2)的4個微分方程的右端都等于零，即

接下來分析正平衡點的存在性，由式(3)、式(5)和式(6)可得

將上述所得Iv，Sh，Nh代入式(4)得

(7)

其中

A2=βvdhd0(A+Nv0βh)>0，

A1=Abd1dhβv-Nv0βhβvdhA+

Nv0βhβvdhbd1+A2(1-p)dvd0，

A0=-Ab(Nv0βhβvdh-Ad1(1-p)dv)=

-A2bd1(1-p)dv(R0-1).

為了確定方程(7)正根的存在性，考慮下面的情況：

1)R0>1時，即A0<0，此時Δ>0，方程(7)只有一個正根Ih2.

2)R0<1時，即A0>0，分以下兩種情形討論：

ⅰ)A1>0，方程(7)無正根；

3)當(dāng)R0<1時，系統(tǒng)(2)不存在正平衡點，若滿足下列條件之一

ⅰ)A1>0，

ⅱ)A1<0，Δ<0.

2 穩(wěn)定性和分支分析

則無病平衡點E0的Jacobian矩陣的特征方程為

Q(λ)=(λ+dh)2[λ2+((1-p)dv+d1)λ+

顯然λ1=λ2=-dh<0，特征值λ3，λ4滿足方程

λ2+[(1-p)dv+d1]λ+d1(1-p)dv(1-R0)=0.

由韋達(dá)定理可知

λ3+λ4=-[(1-p)dv+d1]<0，

λ3λ4=d1(1-p)dv(1-R0).

所以，R0<1時，Re(λ3)，Re(λ4)<0，R0>1時，λ3<0<λ4.

綜上所述，有如下定理：

定理2對于系統(tǒng)(2)，R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；R0>1時，無病平衡點E0是不穩(wěn)定的.

接下來討論正平衡點E=(Sh，Ih，Nh，Iv)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)(2)在正平衡點E處的Jacobian矩陣為

記

(1-p)dv(dh+μ(b，Ih))，

則系統(tǒng)(2)的正平衡點E處Jacobian矩陣的特征方程為

(λ+dh)(λ3+a1λ2+a2λ+a3)=0.

由μ(b，Ih)，Iv的表達(dá)式計算可得

所以，可以將系數(shù)a3表示為Ih的函數(shù)

2bd0Ih+b2d1)+A2(1-p)dvb(d0-d1)]=

2(Abd0βvdh+Nv0βhβvbd0dh)Ih+Aβvdhd1b2+

Nv0βhβvdhd1b2+A2(1-p)dvbd0-A2(1-p)dvbd1]=

2bβvdhd0(A+Nv0βh)Ih+b(Aβvdhd1b+

Nv0βhβvdhd1b+A2(1-p)dvd0-A2(1-p)dvd1)]=

bf′(Ih)+A2bd1(1-p)dv(R0-1)]，

即

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知，當(dāng)a2>0，a3>0且a1a2-a3>0時，特征方程均具有負(fù)實部，此時，正平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)a1a2=a3，a2>0且a3≠0時，特征方程會出現(xiàn)一對純虛根，此時系統(tǒng)會發(fā)生Hopf分支.

定理3對于系統(tǒng)(2)的正平衡點E，有

1)正平衡點E1是不穩(wěn)定的；

2)當(dāng)a2>0，a3>0且a1a2-a3>0時，正平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的；

3)當(dāng)a1a2=a3，a2>0且a3≠0時，系統(tǒng)會發(fā)生Hopf分支.

3 數(shù)值模擬

為了驗證正平衡點的存在性，取A=2.5，βh=1，dh=0.036，dv=0.06，p=0.007，b=0.2，μ1=0.094 273 299，μ0=0.05，Nv0=2，βv=0.26，利用Matcont工具包繪制Ih隨βv的變化圖像.由圖1 可以看出，正平衡點的個數(shù)隨βv的增加而變化，當(dāng)βv較小時，系統(tǒng)不存在正平衡點；當(dāng)βv取值在0.190 226～10.370 1之間時，系統(tǒng)存在兩個正平衡點；當(dāng)βv=0.190 226，Ih=0.307 316 以及βv=10.370 1，Ih=0.307 317 時出現(xiàn)極限點(LP點)，此時兩個正平衡點重合；當(dāng)βv>10.370 1時，系統(tǒng)正平衡點消失.

圖1 系統(tǒng)(2)平衡點個數(shù)隨βv變化的分支圖

為了驗證Hopf分支的存在性，選取βv為分支參數(shù)，選擇圖1 中βv值較大的LP點作為初始點，繪制BT分支曲線，如圖2 所示.

圖2 系統(tǒng)(2)鞍結(jié)點分支曲線圖

由圖2 可以看出，βv=24.710 211，Ih=0.201 863時出現(xiàn)了Bogdanov-Takens分支(BT點).進(jìn)一步以圖2 中的BT點作為初始點繪制Hopf分支曲線，如圖3 中虛線所示，在βv=51.046 348，Ih=0.397 027處出現(xiàn)了廣義Hopf分支(GH點)，此處第一Lyapunov系數(shù)為-6.590 647×10-4，說明該極限環(huán)是穩(wěn)定的.再以GH點為初始點，繪制出極限環(huán)(見圖3).

圖3 系統(tǒng)(2)BT分支及Hopf分支曲線圖

下面取參數(shù)μ1=25.540 831 37，b=0.041 87，βv=51.046 348，其它參數(shù)取圖1 中的值.選擇初始點(Sh，Ih，Nh，Iv)=(41.7，0.4，69.4，1.7)繪制t-Ih時間序列圖，如圖4 所示.

圖4 μ1=25.540 831 37，b=0.041 87時系統(tǒng)(2)的時間序列圖

由圖4 可知，該模型出現(xiàn)了周期解，且極限環(huán)是穩(wěn)定的，這驗證了理論分析的正確性.