李 登，張 鵬,2，李孟委,2

(1.中北大學 儀器與電子學院，山西 太原 030051；2.中北大學 南通智能光機電研究院，江蘇 南通 226000)

0 引 言

慣性導航系統(tǒng)廣泛應用于航空航天、制導武器等軍用領域及汽車安全、消費電子等民用領域.MEMS陀螺是慣性導航系統(tǒng)進行測量的關鍵元件，提高其精度不僅可以提升導航系統(tǒng)性能，更對提高國防實力及人民生活水平具有重要意義[1].一般來說，提高MEMS陀螺精度的方法有兩種：一是從儀表的研發(fā)角度提高其精度，研究新機理、新效應、新工藝，但往往投入很大，而產出較小；二是建立MEMS陀螺誤差參數(shù)模型，編排合理的測試路徑，利用高精度的測試設備如三軸轉臺，標定出誤差模型中的參數(shù)，從而對MEMS陀螺進行補償[2-3].MEMS陀螺標定就是通過轉臺的輸入給MEMS陀螺一個穩(wěn)定的角速率輸入，然后采集MEMS陀螺的輸出，經過數(shù)據(jù)處理估計出MEMS陀螺各項誤差參數(shù)[4].事實上，由于測試設備三軸轉臺的不精確性和環(huán)境因素的影響，會使標定結果存在誤差，如轉臺的軸線垂直度誤差、傾角回轉誤差以及運動控制精度誤差等都會影響標定時MEMS陀螺的輸出，從而影響標定精度[5].

文獻[6]為了提升陀螺的標定精度，采用正反轉試驗減小了地球自轉對陀螺角速率的影響，但是沒有定量和定性分析這種影響的程度和大小.文獻[7]分析了速度誤差與慣性測量單元誤差間的關系，建立了IMU系統(tǒng)級標定模型，主要抑制陀螺和加速度計的噪聲影響.文獻[8]提出了一種自適應零速修正方法，采用基于普條件數(shù)可觀測理論對系統(tǒng)各狀態(tài)進行可觀測性分析，實現(xiàn)了對位置、姿態(tài)、速度等誤差的估計，從而提高精度.但對于轉臺的幾何指標，如傾角回轉誤差和垂直度誤差等并沒有做相關的定量及定性分析.

本文采用多體系統(tǒng)誤差建模理論，考慮實際轉臺運動中帶來的傾角回轉誤差、垂直度誤差等影響，建立三軸轉臺誤差模型，闡述陀螺標定原理，通過理論分析得到有轉臺誤差項時的陀螺全參數(shù)誤差模型和沒有轉臺誤差項的陀螺誤差模型，通過速率標定實驗，分別得到兩種情況下標定的陀螺誤差參數(shù)項，經過做差驗證了轉臺誤差對陀螺誤差參數(shù)的影響.

1 轉臺誤差建模

1.1 多體系統(tǒng)誤差建模理論

在實際工程中，常常有多個剛體連接成的復雜機械系統(tǒng)，可以把他們歸結為多體系統(tǒng)，因此，可將三軸轉臺看成多體系統(tǒng).在多體系統(tǒng)理論建模過程中，常?？紤]與系統(tǒng)運動精度有影響的各類因素和各種耦合情況，解決復雜機械系統(tǒng)的運動問題，建立的約束條件較少，建模過程比較規(guī)范[9].

1.2 基于多體系統(tǒng)理論的轉臺誤差模型

圖1 所示為本次采用的三軸轉臺模型，理想情況下，外框軸線始終與地面垂直，3個軸軸線相互垂直，而實際上，由于受加工裝配、制造精度、運動控制以及環(huán)境等因素影響，三軸轉臺往往存在各類誤差.轉臺旋轉時，3個軸產生的運動誤差可以用軸系回轉誤差來表示，軸線垂直度由于轉臺框架運動特點常被轉變?yōu)檩S間的垂直度以及軸線之間的軸線相交度.

圖1 實驗所用轉臺結構

設地理坐標系為0體，定義低序列算子如圖2 所示，將基座標為1體，外框軸系標為2體，中框軸系標為3體，內框軸系標為4體，在內框軸坐標系下直接安裝MEMS陀螺.對得到的三軸轉臺低序體陣列進行坐標變換，可以得到任意兩個個體間的運動和位置關系.

圖2 三軸轉臺低序體陣列

根據(jù)圖3 中兩體間運動誤差分析示意圖，某點的位置矩陣可以用以下公式在地理坐標系中表示

圖3 兩體間運動誤差分析

(1)

2 三軸轉臺誤差分析

2.1 轉臺幾何誤差分析

2.1.1 傾角回轉誤差

在轉臺運動中，對標定設備影響較大的是各個軸系的晃動與偏差，因此，對傾角回轉誤差進行規(guī)定.三軸轉臺運行時，任意時刻的軸系主軸包含兩個運動，一是繞自身回轉軸線旋轉；二是自身回轉軸線和主軸對于轉軸平均軸線有軸向、徑向和傾角的運動[10-13].

2.1.2 垂直度誤差

將兩軸線間角度與90°的差值定義為垂直度誤差.轉臺的指向精度主要受軸線垂直度的影響，所以，驗收轉臺時會對軸線垂直度提出很高的要求.轉臺在實際運行時，各個軸間運動會產生軸間耦合，軸線間的瞬時回轉軸線垂直度與平均回轉軸線垂直度以及兩軸的角位置都有關系，但在本文中忽略其相互影響.

2.1.3 角位置誤差

角位置誤差是指理論上轉過角度與實際轉過角度的差值，由于本文采用單軸速率雙軸位置法進行試驗，選取外框軸做速率，其角位置誤差對標定沒有影響，主要受其他兩軸的諧波分量的影響.

2.1.4 MEMS陀螺對準誤差

MEMS陀螺對準誤差是指陀螺的各旋轉軸與系統(tǒng)定義的參考系之間的角度差，陀螺對準誤差主要與加工工藝和安裝不正交度有關.

2.2 各坐標系設置

在三軸轉臺建立地理坐標系o0x0y0z0，外框軸坐標系o1x1y1z1，中框軸坐標系o2x2y2z2，內框軸坐標系o3x3y3z3和MEMS陀螺坐標系OXYI，其中X表示MEMS陀螺的x軸方向，Y表示MEMS陀螺的y軸方向，I表示MEMS陀螺的輸入軸方向[14].在理想狀態(tài)下，三軸坐標系是重合的，轉動角度為零，在內框軸坐標系上安裝MEMS陀螺.初始時刻，MEMS陀螺的x軸與中框軸平行，y軸與內框軸平行，輸入軸I與外框軸平行，如圖4 所示.

圖4 坐標系示意圖

2.3 各坐標系間姿態(tài)矩陣推導

2.3.1 低序體1基座相對于地理坐標系的姿態(tài)矩陣

外框軸線與地面垂直，因此，低序體陣列1基座主要考慮外框軸線的各項誤差，基座外框軸的零位誤差為Δφz1；軸線垂直度誤差為Δφx0和Δφy0；外框軸傾角回轉誤差為Δθx1(α)和Δθy1(α)，是與外框軸轉動角度α相關的函數(shù)，將傾角回轉誤差展開成傅里葉級數(shù)，取二次諧波為主要部分，用公式表示

(2)

式中：Δθx1c, Δθx1s, Δθy1c, Δθy1s為傾角回轉誤差二次諧波的正弦項和余弦項的幅值.因此，低序體1基座相對于地理坐標系的姿態(tài)變換矩陣可表示為

Rot(x0,Δφx0)Rot(y0,Δφy0)Rot(x0,Δθx1(α))×

Rot(y0,Δθy1(α))Rot(z0,α)Rot(z1,Δφz1),

(3)

式中：Rot(i,θ)為繞i軸旋轉θ角所形成的姿態(tài)變換矩陣，其中

(4)

2.3.2 低序體2外框相對于低序體1基座的姿態(tài)矩陣

中框軸的零位誤差為Δφx2，外框軸線與中框軸線間垂直度誤差為Δφy1，中框軸線的傾角回轉誤差Δθz2(β)和Δθy2(β)為中框軸線角位置β的函數(shù)，表示為

(5)

低序體2外框相對于低序體1基座的姿態(tài)矩陣為

Rot(z1,Δθz2(β))Rot(x1,β+Δβ)×

Rot(x2,Δφx2).

(6)

2.3.3 低序體3內框相對于低序體2中框的姿態(tài)矩陣

Δφz2為中框軸軸線與內框軸軸線的垂直度誤差，內框軸的傾角回轉誤差Δθz3(γ)和Δθx3(γ)是內框軸線角位置γ的函數(shù)，可以表示為

(7)

低序體3內框相對于低序體2中框的姿態(tài)矩陣可表示為

Rot(z2,Δθz3(γ))Rot(y2,γ+Δγ).

(8)

2.3.4 MEMS陀螺相對于低序體3內框的姿態(tài)矩陣

MEMS陀螺的初始對準零位誤差為Δφz3，相對于內框軸系的安裝誤差為Δφzx3和Δφzy3.考慮MEMS陀螺直接安裝在內框基面上，因此，MEMS陀螺相對于低序體3內框坐標系的姿態(tài)矩陣為

(9)

2.3.5 角位置誤差

3個軸系存在角位置誤差Δα、Δβ、Δγ，其中Δα對標定沒有影響，Δβ和Δγ有一次諧波、二次諧波部分，故有

(10)

3 陀螺標定原理及誤差模型建立

3.1 陀螺標定原理

在陀螺標定時，當轉臺角速率很大時，轉動時間較短，而地球自轉角速率遠遠大于MEMS陀螺的漂移量，所以，陀螺的漂移和標度因數(shù)矩陣可以分開標定.常用的方法是將陀螺安裝在轉臺內框上，控制轉臺的3個軸進行正反轉動各n圈，設定單位時間，采集陀螺角速率輸出，用陀螺正轉的輸出脈沖與陀螺反轉的輸出脈沖做差，削弱地球自轉角速率以及陀螺自身漂移的影響.標定使用的轉臺為三軸轉臺，臺體形狀為U-O-O型，三軸可連續(xù)360°旋轉.MEMS陀螺安裝在內框，按照圖4 所示進行安裝，標定時外框連續(xù)轉動，通過控制中框和內框使標定軸依次和外框軸重合[15].

具體標定流程如下：首先對轉臺進行通電預熱，與之連接的陀螺在運行一定時間后，待陀螺輸出數(shù)據(jù)平穩(wěn)后，設定單位采樣時間，本次標定的編排路徑為單軸速率雙軸位置法進行參數(shù)標定，轉臺的外框作為輸入軸，輸入恒定的角速率，內框軸和中框軸處于角位置狀態(tài)，記錄外框角速率以及內框角位置和中框角位置，并進行正反旋轉兩次實驗，以抵消地球自轉和陀螺自身漂移帶來的影響.

3.2 MEMS陀螺誤差模型建立

為了更好地辨識出MEMS陀螺誤差參數(shù)，不只需要獲得零偏及標度因數(shù)等常規(guī)參數(shù)，因此采用以下模型

y=K0+Kxωx+Kyωy+KIωI+Kxyωxωy+

(11)

式中：K0為零偏；Kx、Ky、KI為x軸、y軸、輸入軸的比例系數(shù)；ωx、ωy、ωI為x軸、y軸、輸入軸的角速率；Kxy、KIx、KIy為耦合系數(shù)；Kxx、Kyy、KII為二次項比例系數(shù)；ε為殘差.

MEMS陀螺角速率沿外框軸輸入的分量為

(12)

將式(6)、式(8)、式(9)代入式(12)后，得到

(13)

針對x軸和y軸的角速度分量，由于與其相乘的誤差系數(shù)是極小量，因此只寫出標稱值.外框軸上的角速度代入全部誤差參數(shù)，將式(13)代入式(11)后，得

(14)

由此得到MEMS陀螺輸出在忽略地磁影響下的全誤差方程，可以看出三軸轉臺由于存在各項誤差，對MEMS陀螺的輸出也帶來偏差，由此標定出來的系數(shù)也會產生偏差，因此，想要精確標定MEMS陀螺的誤差系數(shù)，需要對轉臺各項誤差進行測量，得到相應誤差系數(shù)值，代入陀螺全誤差參數(shù)模型中，提高標定精度.

在不考慮轉臺誤差時，MEMS陀螺輸出公式為

(15)

4 實驗驗證

對MEMS陀螺進行速率位置標定實驗，按照MEMS陀螺標定十二位置法編排，在不考慮轉臺各項誤差因數(shù)的情況下，計算得到各項誤差結果，如表1 所示.

表1 不考慮轉臺誤差的參數(shù)辨識結果

對三軸轉臺進行測量后，得到各項誤差為Δφy1=3.1″，Δφy2c=2.2″，Δθy2s=3.6″，Δφx2=1.6″，Δφz2=1.9″，Δθz3c=2.7″，Δθz3s=-1.1″，Δθx3c=4.0″，Δθx3s=2.2″，Δβ1c=4.0″，Δβ1s=5.5″，Δβ2c=2.0″，Δβ2x=-2.1″，Δγ1c=-2.5″，Δγ1s=-2.2″, Δγ2c=1.1″，Δγ2s=1.2″，把各項誤差項代入計算后得到的各項誤差因數(shù)如表2 和表3 所示.

表2 考慮轉臺誤差的參數(shù)辨識結果

表3 前后對比修正量

5 結 論

1)本文基于多體系統(tǒng)理論建立三軸轉臺誤差模型，列出轉臺系統(tǒng)的低序體陣列，詳細分析三軸轉臺各類誤差，包括幾何誤差和運動誤差等.

2)闡述陀螺標定原理，計算MEMS陀螺輸入量，進而推導出MEMS陀螺標定全參數(shù)誤差模型.

3)編排標定路徑進行實驗，采集MEMS陀螺單位時間的角速率輸出，經過計算得到考慮轉臺誤差參數(shù)和忽略轉臺誤差參數(shù)時的MEMS陀螺的標度因數(shù)、安裝誤差及零偏等，對比得到兩者偏差，可以通過該誤差對MEMS陀螺誤差模型參數(shù)進行補償，提高MEMS陀螺標定精度.