陳一凡，孫利民,2

（1.同濟大學土木工程學院橋梁系，上海 200092；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092）

1 引言

基于概率統(tǒng)計的方法已被廣泛應用于檢測結(jié)構(gòu)損傷。由概率密度函數(shù)擬合響應分布，然后比較各種損傷狀況下分布函數(shù)的變化，可以評估結(jié)構(gòu)狀態(tài)。然后，建立損傷因子的置信區(qū)間來評估損傷程度，可以顯著改善運營養(yǎng)護決策。其他的研究利用統(tǒng)計理論來分析監(jiān)測數(shù)據(jù)，并從分析結(jié)果中提取損傷指標。一些研究直接從監(jiān)測數(shù)據(jù)中獲取統(tǒng)計指標作為損傷指標，例如峰、均值、均方根、方差、標準差以及偏度等，但是，它們的性能會受到環(huán)境因素的影響。因此，一些研究通過消除溫度效應和交通效應等的影響，從處理后的監(jiān)測數(shù)據(jù)中提取統(tǒng)計損傷指標。此外，直接使用原始數(shù)據(jù)來重構(gòu)所需數(shù)據(jù)也是一個很好地解決方案，可以從新的數(shù)據(jù)集中提取統(tǒng)計指標，以估計損傷程度。

2 基本理論

本研究進一步利用鐵路列車過橋過程中的梁端傾角時程數(shù)據(jù)進行橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別，首先進行車軌橋耦合振動計算以獲取橋梁響應。對于車軌橋振動系統(tǒng)，可將車輛視為一個子系統(tǒng)，軌道及橋梁視為另一個子系統(tǒng)，車輛子系統(tǒng)的運動微分方程可表示為：

軌道及橋梁子系統(tǒng)的運動微分方程可表示為：

借助于同濟大學李奇教授團隊編制的控制臺程序VBC2.0，利用龍格庫塔法可以數(shù)值求解橋梁梁端處的傾角時程α(t)，通過改變輸入的車速得到不同的時程序列 α(t)：

即不同傾角時程序列間的差異僅由輸入車速不同引起。隨后提取每段時程序列中的最值指標作為它們的特征θ，即各傾角時程絕對值最大的n個值的平均值：

式中n為第i個車速下橋梁發(fā)生自由衰減振動之前時程數(shù)據(jù)點個數(shù)的1/300，可通過以下簡單計算得到：

式中l(wèi)為軌道總長，l為列車總長，v為第i個列車行駛速度，t為時間步長。

此時建立了車速與時程特征的映射關(guān)系：

不同鐵路列車經(jīng)過同一點的速度值可以視為在某個區(qū)間內(nèi)隨機出現(xiàn)，因此本研究假設(shè)經(jīng)過橋上某點的車速服從某種特定的分布p(v)，根據(jù)上述速度—傾角的映射關(guān)系可以得到傾角的概率密度：

由于傾角θ的分布p與速度、結(jié)構(gòu)狀態(tài)間的關(guān)系難以直接解析表達，故通過蒙特卡洛方法獲取結(jié)構(gòu)參數(shù)改變后結(jié)構(gòu)傾角的近似概率密度。用隨機抽樣的方法獲得一系列服從某分布的速度序列{v}，再利用上述映射關(guān)系可得傾角的隨機序列{θ}。當樣本數(shù)量足夠多時，該傾角的統(tǒng)計結(jié)果可近似認為是其概率密度。

最后本研究定義了統(tǒng)計指標：

式中n為核密度估計劃分區(qū)間數(shù)，θ為區(qū)間中點對應的傾角指標值，f為擬合曲線上對應于θ的擬合值。

通過對比分析損傷前后的損傷指標差異便可得出結(jié)構(gòu)損傷初步結(jié)論。

3 數(shù)值模擬

3.1 獲取響應數(shù)據(jù)

本研究主要的研究對象是鐵路32m標準跨徑簡支梁橋。本文使用ANSYS建立該橋的有限元模型，選用beam4單元作為主梁單元，單元數(shù)量為32，模型其他參數(shù)為：橋長L=32m，彈性模量E=3.5e10Pa，截面慣性矩I=11.2m,密度 ρ=2500kg/m。

軌道模型方面，本文采用單層軌道模型模擬車橋之間的彈性作用，相關(guān)參數(shù)為：軌道豎向剛度k=0.75e8N/m，粘滯阻尼系數(shù)ξ=0.9e5N/(m/s)。

車輛模型方面，本文采用二系懸掛模型模擬列車，并采取一動＋三拖＋一動＋三拖共8節(jié)車廂的列車編組方式，以模擬現(xiàn)實情況中客運列車的編組。整個車橋系統(tǒng)的示意圖，見圖1所示。

圖1 車軌橋系統(tǒng)示意圖

列車運行速度方面，列車保持勻速行駛，并使計算程序按照{(diào)200 km/h，201 km/h，202 km/h，…，300 km/h}共 100個速度進行100次計算。時間步長方面，預設(shè)響應輸出時間步長為0.001s，時間步長過長會導致計算結(jié)果不收斂。

為進行各種工況下的對比分析，本研究設(shè)計了以下6種橋梁主梁剛度損傷工況（如表1）。

損傷工況定義 表1

橋梁無損情況下兩種車速對應的梁端傾角時程曲線，見圖2所示。

圖2 傾角時程曲線

此時可以建立列車速度與傾角指標之間的映射關(guān)系，利用三次方樣條插值法可作出插值曲線，見圖3所示。

圖3 列車行駛速度v與傾角指標"θ"的映射關(guān)系

3.2 隨機車速模擬

假設(shè)車速遵循某種特定的概率分布，借助于MATLAB產(chǎn)生10000個服從該分布的隨機數(shù)。結(jié)合上文中提到的列車速度與傾角指標之間的映射關(guān)系，可以獲取橋梁的傾角響應數(shù)據(jù)。在本項研究中，選擇β分布作為列車速度的概率分布。

β分布的概率密度函數(shù)的形狀由參數(shù)α和β決定，合理取值可以使隨機數(shù)覆蓋可能的車速范圍。本研究選取四組分布參數(shù)，其中x服從(0,1)上的均勻分布：

考慮到車速變化范圍的廣泛性，將β分布與均勻分布的和作為目標分布。

那么車速服從的分布，見圖4所示。

圖4 車速的目標分布

3.3 抽樣結(jié)果統(tǒng)計分析

得到速度隨機抽樣數(shù)據(jù)后，即可根據(jù)車速—傾角映射關(guān)系獲得關(guān)于傾角的隨機分布數(shù)據(jù)。為了更好對比各分布之間的差別，本文利用核密度估計對兩種情況下的傾角數(shù)據(jù)進行非參數(shù)估計。

其中 x，x，…，x是獨立同分布F的不同采樣點，f為概率密度函數(shù)，K為kernel函數(shù)，本文選用高斯核函數(shù)，h為帶寬，采用MATLAB中的默認值。

擬合曲線如圖5所示。

圖5 傾角指標θ的分布

圖5中圖例(a)代表車速服從Beta分布2及橋梁損傷情況為損傷工況1。為量化該擬合的優(yōu)度，引入指標R-square：

各分布及各工況下的擬合效果如表2所示。

不同狀況下的R-square 表2

表2數(shù)據(jù)顯示，各工況下的擬合優(yōu)度均超過0.9，即擬合效果良好，所以可以通過分析擬合曲線獲取感興趣的信息。圖5中的擬合曲線已經(jīng)直觀地展現(xiàn)出損傷前后傾角分布的差異：傾角概率分布密度左側(cè)兩個峰值的高低關(guān)系發(fā)生了置換，同時受損狀況下第三個峰值相對于無損狀況要高。這些變化均表明了在其他條件不變的情況下橋梁已經(jīng)發(fā)生了損傷。

為了量化損傷前后分布曲線的變化，分別計算各分布及各工況下?lián)p傷指標Φ的數(shù)值，見表3所示。

不同狀況下的損傷指標值 表3

通過上表的數(shù)據(jù)可知，無論原始車速服從的是四種分布中的哪一種，損傷指標的數(shù)值均隨著損傷程度的增大而增大。這是因為隨著損傷程度增大，橋梁產(chǎn)生更大傾角的可能性提高，又結(jié)合該損傷指標的構(gòu)成特點，其數(shù)值會隨之變大。為進一步了解該損傷指標的敏感性，本文還計算了各種損傷工況下相對于原始狀態(tài)的敏感度，即：

上式中i為第i個工況，Φ為無損情況下?lián)p傷指標值。計算結(jié)果見表4所示。

損傷指標的敏感性分析 表4

分析表4數(shù)據(jù)可知，該損傷指標對損傷的敏感程度隨損傷加劇不斷提高，同時與目標分布有關(guān)，在服從分布1的情況下對損傷最不敏感，在服從分布3的情況下對損傷最敏感。同時，該指標對1/4跨處產(chǎn)生損傷的敏感性整體上要大于在跨中產(chǎn)生的損傷。

4 總結(jié)與展望

本文提出了一種基于概率統(tǒng)計理論的損傷指標，通過數(shù)值算例驗證了該指標的有效性，該方法可以根據(jù)梁端傾角的統(tǒng)計信息推測橋梁的健康狀況，具有實施方便、簡單易行、結(jié)果直觀的優(yōu)點。通過對統(tǒng)計結(jié)果的分析，總結(jié)如下：

①橋梁某處發(fā)生損傷時，結(jié)構(gòu)自身的剛度減小，在相同行車條件下橋梁的響應會隨之變大，且隨著損傷程度增大，橋梁結(jié)構(gòu)的響應也將進一步變大；

②本文提出的統(tǒng)計指標是對大量橋梁響應數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述，可以反映鐵路橋梁長期運營所產(chǎn)生海量數(shù)據(jù)統(tǒng)計特性的改變，并以此為初步判斷損傷產(chǎn)生的依據(jù)，指導大量中小跨徑簡支梁橋的運營養(yǎng)護工作；

③本文假設(shè)車速服從β分布，通過數(shù)值模擬的方式獲取結(jié)構(gòu)在無損狀況下的統(tǒng)計指標，同時設(shè)立了多個損傷工況展開對比研究，但缺乏針對實驗或?qū)崪y數(shù)據(jù)的驗證，需要進一步研究該統(tǒng)計指標在處理真實響應數(shù)據(jù)時的適用性，使結(jié)論更具有實際的參考價值。