吳家駒 蘇華昌 于亮

譜矩陣試驗條件制定方法

吳家駒 蘇華昌 于亮

（北京強度環(huán)境研究所，北京 100076）

隨著多振動臺激勵系統(tǒng)和多自由度控制系統(tǒng)設(shè)備能力的發(fā)展，六自由度隨機振動試驗方法已被納入美軍標。本文專注于研究多自由度試驗系統(tǒng)輸入條件的確定，指出兩個自由度之間振動的相干度是非常重要的參數(shù)，相干為零的獨立基礎(chǔ)激勵未必反映最嚴重工況，提出了一個廣義的六自由度振動條件的制定方法。利用滑動平均將實測信號分解成平穩(wěn)載波和時變調(diào)制波，然后多個載波信號被整合成一個時間序列，通過時平均得到歸一化的六自由度參考譜矩陣。虛擬仿真試驗結(jié)果證明了方法的保真度。

譜密度矩陣；多振動臺試驗；厄米特矩陣；喬列斯基分解；保真度

0 引言

多維振動試驗技術(shù)廣泛地應(yīng)用于軍用設(shè)備的研制，多振動臺試驗方法已被納入通用的試驗室規(guī)范。六自由度隨機振動試驗，在我國已成功應(yīng)用于慣性測量組合的研制試驗，為解決隔振與捷聯(lián)的矛盾和導(dǎo)航精度的射前評估提供了環(huán)境模擬手段[1]。在最近幾年，六自由度電磁振動臺的出現(xiàn)標志著實現(xiàn)真實多自由度隨機振動試驗?zāi)芰Φ木薮笸黄芠2]。軍用設(shè)備環(huán)境試驗方法標準更是從真實再現(xiàn)使用環(huán)境的角度，將原來的多振動臺試驗方法，規(guī)范為六自由度隨機振動試驗方法[3]。

圖1說明了實施六自由度隨機振動試驗需要三個要素：振動臺系統(tǒng)、控制系統(tǒng)和環(huán)境的規(guī)定[4]。前兩個要素主要是涉及硬件，由于采用了“冗余結(jié)構(gòu)”的概念，使得六自由度振動環(huán)境的物理試驗成為可能。第三個要素是短板，主要在于有關(guān)外場環(huán)境的表征、測量和試驗條件制定方法還未規(guī)范，因為六自由度試驗包含比傳統(tǒng)單自由度試驗更多的環(huán)境信息，尤其是還涉及運動自由度之間的關(guān)聯(lián)程度。

最近發(fā)布的美軍標規(guī)定，用功率譜密度矩陣來表征六自由度隨機振動環(huán)境，用相干函數(shù)來表征運動自由度間信息關(guān)聯(lián)程度，認為低相干度會給出保守的結(jié)果[5]。標準建議只對矩陣的下三角部分作統(tǒng)計包絡(luò)處理，然后共軛復(fù)制上三角部分，形成試驗條件。方法保證了譜矩陣的正定性，同時自譜的包絡(luò)也會獲得保守的條件?？墒菍ψ鳛閺?fù)數(shù)的互譜實行包絡(luò)操作的正當性，尤其是獨立即保守的論斷缺乏理論上的依據(jù)。

圖1 六自由度振動試驗文氏圖

本文擬通過數(shù)值模擬方法，解釋相干函數(shù)的物理意義。探索運動激勵之間的相干與力激勵之間的相干和被試結(jié)構(gòu)動力學(xué)特征的關(guān)聯(lián)程度，相干為零的獨立激勵是否一定產(chǎn)生最嚴重的響應(yīng)。在得出與之不同的結(jié)論后，提出了如何從實測信號中獲得更多相干相位信息的算法，以制定出合理的試驗條件。首先將外場試驗測量的多路隨機時間歷程，分解成反映振動烈度的調(diào)制波和單位高斯分布平穩(wěn)載波[6]，然后用不同方法分開處理。前者按對數(shù)正態(tài)分布統(tǒng)計，形成時間窗函數(shù)。后者整合成的長程時間序列估計出歸一化譜矩陣，與時間窗函數(shù)一起成為六自由度參考譜矩陣。為了敘述方便，將標準建議的方法稱之為“相平均法”，這里介紹的方法稱之為“時平均法”。

為了驗證方法的合理性，設(shè)計了一個車載導(dǎo)彈運輸振動簡化模型進行虛擬試驗，用蒙特卡洛法模擬多工況外場試驗和室內(nèi)試驗，以計算應(yīng)力估計的累積損傷作為判據(jù)，對兩種方法的效果做出定性比較。

1 參考譜密度矩陣分解

運載器在運動過程中受外力（風(fēng)、噪聲和路面不平等）激勵，通過安裝界面?zhèn)鬟f給設(shè)備，使之產(chǎn)生空間隨機振動，界面運動（加速度）的大小反映出外界激勵（力）的大小。多自由度振動試驗條件通常用頻域的譜密度矩陣來表征，其對角線項是自譜，反映了各自由度自身振動烈度，非對角線項是互譜，反映各自由度之間的時差（相位）和因果（相干）關(guān)系。試驗?zāi)M自由度數(shù)的選擇取決于對振源的了解和室內(nèi)試驗?zāi)M能力，隨著數(shù)據(jù)處理硬件軟件的發(fā)展和先進控制策略的應(yīng)用，商品化的振動控制儀已經(jīng)能夠?qū)崿F(xiàn)基于譜矩陣的高斯隨機振動試驗控制。

根據(jù)運動控制試驗原理，模擬了安裝界面的運動等同于模擬了界面力[7]，這樣試驗條件制定問題就變成如何表征界面運動。傳統(tǒng)的單自由度試驗，基于設(shè)備的尺度和體積遠小于運載器的假設(shè)，將安裝界面的運動簡化成一個質(zhì)點的運動。而基于多振動臺激勵的三軸振動試驗，雖然模擬外場使用環(huán)境能力明顯提升，但仍然沒有脫離質(zhì)點運動的假設(shè)。經(jīng)過多年實踐摸索，業(yè)界目前更傾向于通過六自由度試驗來模擬軍用設(shè)備的使用環(huán)境。六自由度試驗基于平剖面假設(shè)，即安裝界面運動可以用剛體沿三正交軸的平移和繞三正交軸的轉(zhuǎn)動來表征。這個假設(shè)顯然受頻率范圍的限制，因為在試驗頻率內(nèi)安裝界面存在彈性模態(tài)時，就需要更多自由度來表征。代表多自由度振動試驗條件的參考譜密度矩陣，通常有兩種生成方法。一種是根據(jù)外場試驗所測量的多路時間歷程通過譜分析統(tǒng)計形成[5]。另一種是從數(shù)據(jù)庫中獲得自譜，互譜則通過研究某些臨界響應(yīng)的所謂最小驅(qū)動方法得到[8]。兩種方法給出的參考譜矩陣都必須與控制儀控制算法匹配。

現(xiàn)代控制儀多用基于周期圖的韋爾奇方法進行譜估計，用“逆韋爾奇”方法隨機化。試驗?zāi)M的關(guān)鍵是要保證參考譜矩陣對每一個頻率都能實現(xiàn)喬列斯基分解，即在數(shù)學(xué)上需要矩陣滿足正定條件。以二自由度為例，譜密度矩陣可寫成

對于用單次測量時域信號變換形成的譜矩陣可以滿足正定性，但通常試驗條件不能僅憑一次測量確定，還需要通過統(tǒng)計多次測量以預(yù)測最惡劣環(huán)境。制定試驗條件過程中的數(shù)據(jù)處理操作，包括考慮各種工況量級的統(tǒng)計包絡(luò)、預(yù)計經(jīng)歷時間長短所做的時間壓縮等會破壞矩陣的正定性。另外，為了降低界面彈性模態(tài)影響，還需要采用冗余測量方法，通過傳遞矩陣的偽逆，來獲得反映安裝界面剛體運動的六自由度譜密度矩陣，也會使得某些頻率不能滿足正定條件。為保證參考譜密度矩陣是厄米特陣，文獻[5]建議采用譜密度矩陣的下三角部分或喬列斯基分解后的下三角陣進行加權(quán)統(tǒng)計平均（相平均），然后共軛復(fù)制上三角部分，并且基于“獨立是保守的”論斷，將出現(xiàn)小相干函數(shù)值的頻帶視作零相干，以此來簡化參考譜型。該方法能維持矩陣正定性，但其結(jié)果的保守性值需進一步研究。下面通過數(shù)值計算，來論證零相干的獨立激勵未必產(chǎn)生極值響應(yīng)，并研究如何處理相干函數(shù)，才能使參考譜矩陣正定且結(jié)果保守。

2 相干函數(shù)影響分析

或者

左端項代表外場測量數(shù)據(jù)估計的響應(yīng)譜矩陣，其對角線項包含的相干函數(shù)與系統(tǒng)的頻響特征和激勵矩陣關(guān)聯(lián)，其解析形式比較復(fù)雜，推導(dǎo)過程繁瑣。

本文擬通過數(shù)值分析方法，定性地解釋相干函數(shù)的物理意義。頻域乘積可轉(zhuǎn)化為時域的卷積，因此響應(yīng)的時間歷程可表示為

將圖2的模型進一步簡化，用一根剛性梁兩點彈性支撐的二自由度系統(tǒng)表示，以便進行兩種簡化梁的數(shù)值計算仿真。首先設(shè)定振源為獨立白噪聲，激勵譜密度矩陣為單位陣，即互譜為零，自譜為1進行仿真。圖3給出二自由度系統(tǒng)（剛性梁）響應(yīng)相干隨頻率變化（較高位置）曲線，圖中還給出了系統(tǒng)的頻響交聯(lián)項（較低位置）?？梢钥闯觯诘皖l相干度接近于1，僅在（跨點）頻響的谷值處出現(xiàn)低值（約為0.1）。圖4給出彈性梁（多自由度系統(tǒng)）的響應(yīng)相干隨頻率變化曲線?？梢钥闯?，在（跨點）頻響谷值頻帶內(nèi)出現(xiàn)低的相干度，具體位置與此頻帶內(nèi)的反共振谷深度有關(guān)。圖3和圖4說明響應(yīng)相干與系統(tǒng)的動力學(xué)特征有關(guān)。其次設(shè)定激勵譜密度矩陣為對角陣，但自譜量級不同進行仿真。按相同方法分析結(jié)果見圖5?？梢钥闯?，自譜量級變化會改變出現(xiàn)最小相干函數(shù)值的頻率。最后，設(shè)定兩個激勵的自譜密度相同但相干不同進行仿真，按相同方法分析結(jié)果見圖6?？梢钥闯?，響應(yīng)相干函數(shù)值與激勵相干函數(shù)值相應(yīng)變化趨勢相同。不過，響應(yīng)相干出現(xiàn)最低值的頻率也發(fā)生變化，而且即使是全相干激勵，在某些頻率響應(yīng)的相干函數(shù)也不為1。

通過數(shù)值仿真分析可以看到，外場測量數(shù)據(jù)本質(zhì)上是載體在外力作用下的運動響應(yīng)。各個測量自由度之間的相干與相位，自然與外力之間的相對烈度和相干有關(guān)，也與振動系統(tǒng)固有特征有關(guān)。自譜的大小反映振動的烈度，可以通過提高自譜的量級來增加試驗的保守性。但是相干函數(shù)能否給出一個保守性的指標，還需要深入探討。

圖3 二自由度系統(tǒng)響應(yīng)相干函數(shù)

圖4 多自由度系統(tǒng)響應(yīng)相干函數(shù)

圖5 相干函數(shù)隨激勵量級比變化

圖6 相干函數(shù)隨激勵相干變化

進一步分析輸入信號之間相位關(guān)系對輸出的影響，有助于外場真實環(huán)境的模擬。仍以二自由度模型為例，回到（9）式

3 譜矩陣估計的相平均法

圖7 輸入相干效果（力激勵）

圖8 輸入相干效果（運動激勵）

圖9 相平均制定試驗條件流程

這里的“上限包絡(luò)”指的是，多次測量得到的譜矩陣是變化的，對每一個頻率計算譜矩陣的每一個元素的均值和方差，并按一定的分布（例如對數(shù)正態(tài)分布），估計最嚴重環(huán)境，作為試驗條件?？墒腔プV是復(fù)數(shù)，實部和虛部有正有負，不會與自譜有相同的分布。實踐證明互譜的平均結(jié)果是趨于降低相干度。雖然互譜還能用極坐標表示（模和相位），但是由于周期性纏繞，對相位進行求均值運算會得出不正確的結(jié)果。通過以上分析發(fā)現(xiàn)，相平均方法的保真度可能存在問題。既然運動激勵的相干和相位對響應(yīng)有明顯影響，那么就有必要在確定參考譜矩陣時，盡量維持原有的互譜屬性。為了實現(xiàn)這一目的，本文采用區(qū)別對待矩陣對角線項和非對角線項的制定試驗條件方法。

4 譜矩陣估計的時平均法

首先將外場測量的多路隨機時間序列，逐一分解成一個窗函數(shù)（調(diào)制波）和單位方差的高斯分布隨機序列（載波），然后用不同的方法統(tǒng)計處理[6]。對于一次測量

5 虛擬仿真試驗

為了研究方法的保真度，繼續(xù)利用簡化版的車載導(dǎo)彈運輸振動模型，進行兩點激勵的均勻梁虛擬試驗，用蒙特卡洛法模擬多工況外場試驗和室內(nèi)試驗，以計算應(yīng)力估計的累積損傷作為判據(jù)，對不同方法的效果做出定性比較。

一共完成了九次試驗，每一次先產(chǎn)生烈度（均方根值）隨機設(shè)置的相互獨立的白噪聲，作為梁的外激勵力。計算兩個激勵的加速度響應(yīng)時間歷程，模擬一個工況的外場測量，作為制定參考譜密度矩陣的一個子樣；同時計算出梁的應(yīng)力時間歷程，并估計所造成的累積損傷。然后，用九個工況激勵點的加速度時間歷程，分別按相平均法和時平均法形成參考譜密度矩陣。最后，用兩個譜密度矩陣，反演成兩路加速度時間歷程，作為基礎(chǔ)激勵，計算梁的應(yīng)力響應(yīng)時間歷程和所造成的累積損傷。室內(nèi)試驗?zāi)M也進行了九次。

圖10 時平均制定試驗條件流程

圖11 虛擬試驗流程

圖12展現(xiàn)出虛擬試驗的相對累積損傷。最淺顏色曲線表示九次實測振動激勵造成的累積損傷的上限極值。最高位置曲線和最低位置曲線分別表示基于九次實測振動，用時平均法和相平均法得到參考譜矩陣激勵造成的累積損傷的預(yù)測值下限。

可以看到，兩種方法相比，時平均法的預(yù)測效果更接近外場環(huán)境，而且偏于保守。相平均法的預(yù)測效果偏離外場環(huán)境，特別是會造成“欠”試驗，原因可用圖13來說明，圖13是運動激勵的參考譜矩陣。

兩者自譜的全頻段幾乎一樣，兩者的相干和相位僅在300～500Hz帶內(nèi)一致，其余頻帶差別較大，且相位基本反相。

時平均法得到的相干很高，相平均法所得到的相干卻很低，而低相干趨于獨立的運動激勵的結(jié)果不是保守的。

圖12 累積損傷結(jié)果比較

圖13 參考譜矩陣比較

6 結(jié)論

隨著振動臺和控制儀的進步，六自由度隨機振動試驗已經(jīng)標準化，一個新的參數(shù)-譜矩陣被用來表征多維隨機振動環(huán)境，試驗條件的制定迎來了新挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)基于實測外場測量的（自）譜密度統(tǒng)計方法，是否適用相干相位的統(tǒng)計處理，是一個需要討論的問題。

通過數(shù)值分析表明，制定試驗條件的外場測量數(shù)據(jù)本質(zhì)上是載體在外力作用下的運動響應(yīng)，各個測量自由度之間的相干相位，與外力之間的相對烈度和相干有關(guān)，也與振動系統(tǒng)的固有特征有關(guān)。由于相干與試驗保守性之間沒有烈度那樣的相隨關(guān)系，依據(jù)外場測量數(shù)據(jù)制定譜矩陣規(guī)范時，應(yīng)當盡可能保留特定工況下的相干特征。從這個意義上講，譜矩陣條件只能是“量身定做”，不能成為“貨架產(chǎn)品”。軍用規(guī)范推薦的相平均方法趨向于產(chǎn)生獨立的譜矩陣試驗條件，但獨立運動激勵未必產(chǎn)生保守的響應(yīng)。本文提出的實測信號分解→整合單位高斯載波→通過時平均得到歸一化參考譜矩陣的方法，有效地保留自由度之間相干特征?；趦牲c激勵的車載導(dǎo)彈運輸振動簡化模型仿真結(jié)果表明，該方法既模擬了外場環(huán)境又能做到適度保守。雖然該方法通過了虛擬試驗演示驗證，但仍需要更多的六自由度外場測量和物理試驗來證明，尤期需要建議一個有效評價體系，相關(guān)問題會在后續(xù)的文章中討論。

[1] 吳家駒, 等.用于慣性測量組合的金屬減震器[R].航天報告, 2002(2): 1-5.

[2] Hoksbergen J.Bringing broadband 6-DOF field vibration environments into the lab-tensor 18kN vibration test system [J].Sound & Vibration, Dynamic Testing, March, 2013.

[3] MIL-STD-810H .Multi Exciter Test, Method 527[S].

[4] Maitin L, Schctral S.On the nature of spectral density matrices used to the characterize vibration environments[C].Proceedings of the 87thShock & Vibration Symposium.

[5] Hale M.Spectral density matrix transformation[J].Journal of the IEST, 2017, 60(1):17-26.

[6] 吳家駒, 付瑋, 張鵬飛.基于β分布隨機數(shù)排序的非高斯振動模擬方法[J].強度與環(huán)境, 2017, 44(2): 10-16.[Wu Jiaju, Fu Wei, Zhang Pengfei.Simulation method of non-Gaussian vibration base on re-arrangement of β distribution random number [J].Structure & Environment Engineering, 2017, 44(2): 10-16.]

[7] 吳家駒, 榮克林.多維振動環(huán)境試驗方法[J].導(dǎo)彈與航天運載技術(shù), 2003(4): 27-32.[Wu Jiaju, Rong Kelin.Multi-dimentional vibration environmental test method[J].Missiles and Space Vehicles, 2003(4): 27-32.]

[8] Smallwood D O.Extreme input/outputs for multiple input multiple outputs linear systems[S].SANDE 2005-5307.

[9] Smallwood D O.Multiple shaker random vibration control an update PIES[S].1999.

[10] 吳家駒, 丁鎮(zhèn)軍, 丁富海.非高斯多維隨機振動分析[J].強度與環(huán)境, 2018, 45(4): 1-6.[Wu Jiaju, Ding Zhenjun, Ding Fuhai.Analysis of non-Gaussian multi-random vibration [J].Structure & environment engineering,2018, 45(4): 1-6.]

[11] Sandia National Laboratories.Sandia’s new vibration table promises different ways of testing[S].2015.

[12] NASA-HDBK-7005.Dynamic environmental criteria [S].2001.

On the Derivation method of Spectral Density Matrix Specifications

WU Jia-ju SU Hua-chang YU liang

(Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing 100076, China)

With the development of multiple excitation systems and MDOF vibration control systems, the 6-DOF laboratories vibration test method is brought into MIL-STD.This paper concentrates on the determination of an input specification for such MDOF systems.It is pointed out that the coherent value between two degrees of freedom is a very important parameter.The motion excitation of independent foundation with zero coherence does not necessarily reflect the most serious condition.A generalized 6-DOF vibration specification development technique is proposed.The measured signal is decomposed to the stationary carrier and time-varying modulated wave by the moving average.Then, a lot of carrier is integrated into a time series.The normalized 6-DOF spectral density matrix is obtained by time averaging.Virtual simulation results demonstrate the fidelity of this method.

Spectral Density Matrix (SDM);Multiple-Exciter Test(MET); Hermitian Matrix; Chlesky Decompose; Fidelity

V416.2

A

1006-3919(2021)06-0050-09

10.19447/j.cnki.11-1773/v.2021.06.008

2021-06-29；

2021-09-15

吳家駒（1939－），男，研究員，研究方向：隨機振動分析與試驗；（100076）北京9200信箱72分箱.