余 敏,葉 煒,常守康,夏 瑩,張 歡,胡利云

(1.江西師范大學 量子科學與技術(shù)中心，江西 南昌 330022；2.江西師范大學 物理與通信電子學院， 江西 南昌 330022；3.中南大學 計算機學院，湖南 長沙 410083；4.中山大學 物理學院，廣東 廣州 510275)

0 引言

量子信息技術(shù)的蓬勃發(fā)展使得人們對信息傳遞的效率和測量精度的要求越來越高，而以經(jīng)典光場為信息載體已經(jīng)遠遠滿足不了科學發(fā)展的需求[1-6]。例如，在量子度量領(lǐng)域，當非經(jīng)典量子態(tài)作為干涉儀的輸入態(tài)時，標準量子極限可以被突破，這是輸入經(jīng)典態(tài)所不能及的[5-7]。因此，如何制備和調(diào)控強非經(jīng)典性的量子態(tài)成為了順利完成量子信息任務(wù)的前提。

在連續(xù)變量范疇里，量子態(tài)可被分為高斯態(tài)和非高斯態(tài)，這兩種態(tài)最為明顯的區(qū)別在于其相應(yīng)Wigner函數(shù)的表現(xiàn)形式[8-10]。此外，不同于后者，前者亦可通過當前的實驗技術(shù)比較容易地被實現(xiàn)[11，12]。不幸的是，高斯態(tài)在完成某些特定的量子信息任務(wù)存在一定的局限性。例如，雙模壓縮真空態(tài)雖然在高精密相位靈敏度接近海森堡極限，但是壓縮參數(shù)實際上被限制在1.15內(nèi)[13，14]。為此，人們把研究目光聚焦在非高斯量子態(tài)上。一般而言，非高斯量子態(tài)的制備通常都要利用到非高斯操作，比如，光子扣除[3，4,15],光子增加[16,17]和這兩者的相干疊加操作[18，19]。尤其是，光子增加和光子扣除操作已經(jīng)被實驗上用來證明量子力學算符的不對易性[20]。此外，這兩種操作不僅可以被用來實現(xiàn)量子態(tài)非經(jīng)典性的增強，還能進一步改善高斯態(tài)(如雙模壓縮真空態(tài))的糾纏度。具體而言，在1991年，AGARWAL G S等提出了一種利用光子增加操作將經(jīng)典的相干態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦叻墙?jīng)典的量子態(tài)，并利用準概率分布函數(shù)討論了非經(jīng)典性的強弱[21]。在2014年，KUROCHKIN Y 等在實驗上證明了光子扣除操作可以使得雙模壓縮真空態(tài)的糾纏度和壓縮度提高50%左右[22]。另一方面，NHA H 等提出了利用光子增加和扣除的相干疊加操作將經(jīng)典光場轉(zhuǎn)變?yōu)榉墙?jīng)典光場[23]?；谶@種疊加操作的特性，Zhang等人還利用了粒子守恒疊加操作提高了雙模壓縮真空態(tài)的糾纏度以及量子隱形傳輸?shù)谋Ｕ娑萚24]。除了上述常見的非高斯操作之外，量子催化操作首次被LVOVSKY A L等人提出[25]，在量子態(tài)工程上具有潛在的應(yīng)用前景。在量子催化過程，雖說這種操作看似沒有在光路上增加或者扣除光子，但是將輸入的相干態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂懈叻墙?jīng)典的量子態(tài)[25]。自此，量子催化操作在提升量子糾纏[26]，量子相干[27]和量子密鑰分發(fā)性能方面[28，29]扮演著重要的角色。

作為另一種可實現(xiàn)非高斯態(tài)制備的方案，在1998年，PEGG等人提出了一種可以將相干態(tài)截斷為真空態(tài)和單光子態(tài)疊加的量子剪切[30]。此后，量子剪切被用來實現(xiàn)無噪聲放大[8,30]，這種放大器在提升量子密鑰分發(fā)的通信距離上也被廣泛地研究[31-33]。在2019年，這種剪切裝置被Hu等人作用到雙模壓縮真空態(tài)中，并考慮了開放系統(tǒng)下的剪切效果[34]。研究結(jié)果表明，即使是在有耗散的情況下，這種剪切裝置仍然可以提高雙模壓縮真空態(tài)的糾纏度，而且這種提升效果比量子催化的情況更為顯著。最引人注目的是，局域壓縮操作嵌入到量子剪切里可以進一步地放大增益因子[35]，但并未討論此方案下量子態(tài)的非經(jīng)典特性。因此，基于上述背景，本文將局域壓縮操作引入到量子剪切裝置中，并以相干態(tài)作為輸入態(tài)時，著重研究輸出態(tài)的量子統(tǒng)計特性，主要涉及平均光子數(shù)和Wigner函數(shù)。特別要指出的是，本方案基于兩個單光子輸入和單光子探測，實現(xiàn)了真空態(tài)，單光子態(tài)與雙光子態(tài)的疊加，與實現(xiàn)真空態(tài)、單光子態(tài)疊加的方案不同[35]。研究表明，在相同參數(shù)下，局域壓縮度的增加有助于平均光子數(shù)的提高以及Wigner函數(shù)負部體積的增大，這意味著這種局域壓縮操作在量子度量等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用。

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)首先簡要介紹了局域壓縮的量子剪切裝置結(jié)構(gòu)。然后，從輸入輸出關(guān)系出發(fā)，獲取局域壓縮的量子剪切裝置的等效算符。當考慮了相干態(tài)作為輸入態(tài)時，第3節(jié)利用了平均光子數(shù)和Wigner函數(shù)來討論輸出態(tài)的非經(jīng)典性。最后，第4節(jié)對本文進行總結(jié)。

1 基于局域壓縮的量子剪切裝置和非高斯態(tài)的制備

本節(jié)首先簡要介紹局域壓縮的催化式量子剪切裝置，重點推導出這種裝置的等效算符，從而建立起量子態(tài)輸入-輸出關(guān)系。然后，假定輸入態(tài)為相干態(tài)時，本節(jié)可進一步獲取非高斯態(tài)的具體表達形式，繼而考察所制備出非高斯態(tài)的成功概率。

圖1 基于局域壓縮的催化式量子剪切裝置

1.1 局域壓縮的量子剪切裝置及其等效算符

如圖1所示，局域壓縮的催化式量子剪切裝置有三個輸入端口(分別標記為a,b,c模)，其中，a,c模的輸入端口有單光子輸入，b,c模的輸出端口分別做單光子探測。這類似于單光子催化操作，因為在量子催化過程中，輔助模的輸入-輸出Fock態(tài)似乎保持不變，但對主模之間的量子態(tài)轉(zhuǎn)換起到一定的作用.在該裝置中，兩個光分束器(分別標記為BS1和BS2)對a,c模和b,c模光具有合束與分束的作用效果。在算符形式上，這兩個分束器可以分別表示為BS2=eθ2(ac+-a+c)和BS1=eθ2(bc+-b+c)，其中BSj的透射率為Tj=cos2θj,(j=1,2)。為了在c模上引入局域壓縮操作Sc(ξ)=exp[ξ(c2-c+2)/2](ξ為壓縮參數(shù))，這里假設(shè)將局域壓縮放置在兩個光分束器之間。于是，整個局域壓縮的催化式量子剪切裝置則可被看作一種等效算符，即

O=c1|b1|BS1Sc(r)BS2|1a|1c，

(1)

為了獲得上述等效算符的解析表達式，這里須采用算符的變換關(guān)系：

(2)

式中Rj=1-Tj,(j=1,2)為反射率。因此，結(jié)合式(1)和式(2)，局域壓縮的催化式量子剪切裝置的等效算符可進一步表示為

(3)

其中

(4)

由式(3)可知，整個裝置的作用效果就是真空態(tài)，單光子態(tài)，雙光子態(tài)投影算符的疊加。這意味著，對于任意的輸入態(tài)(見圖1)，經(jīng)過此裝置后，輸出態(tài)可被截斷為真空態(tài)，單光子態(tài)和雙光子態(tài)的疊加形式。此外，不同于文獻[32]的工作，局域壓縮操作的引入導致了等效算符中增加了w3|0>ab<2|和w3|2>ab<0|兩項，這或許在量子態(tài)非經(jīng)典性的改善方面起到顯著的效果。特別地，當壓縮參數(shù)ξ=0時，式(4)可簡化成

(5)

這與文獻[32]的結(jié)果一致。

圖2 (a) 對于透射率T1=T2=T，(b) 透射率T1=T,T2=0.5，成功概率Pd在(T,Re[α])空間的分布，其中ξ=0(上面)，ξ=0.2(下面)，ξ=0.4(下面)

1.2 非高斯態(tài)的制備及其成功概率

由圖1可知，對于任意輸入態(tài)|ψin，則經(jīng)過局域壓縮的催化式量子剪切裝置后的輸出態(tài)可以表示為

(6)

這里Pd表示所制備非高斯態(tài)的歸一化系數(shù)(或者成功概率)

(7)

利用量子態(tài)的正交歸一性，它的解析表達式具有如下形式

Pd=e-|α|2(|c0|2+|c1|2+|c2|2)。

(8)

根據(jù)式(8)，不同壓縮參數(shù)ξ=0,0.2,0.4下，圖2繪制出了，成功概率Pd隨透射率T和相干態(tài)振幅Re[α]的變化曲面。顯然，在相同參數(shù)條件下，隨著局域壓縮參數(shù)的增加，成功概率Pd也在逐漸降低，這一定程度上反映出實際調(diào)控局域壓縮的困難。盡管如此， 局域壓縮操作的引入?yún)s可以有效地放大增益因子，這在量子信息處理上有著潛在的應(yīng)用。此外，當取相同的壓縮參數(shù)和振幅時，相比于T1=T,T2=0.5的情況，見圖2(b)，對于T1=T2=T的成功概率除了T=0.5外還在T→0或者1達到了最高值，見圖2(a)。這說明T1=T2=T的情形下的成功概率要優(yōu)于T1=T,T2=0.5的情況。從圖2(a)還可知，當取相同的壓縮參數(shù)時，T→0或者1的成功概率可以隨著振幅的增加而增加，這是完全不同于T1=T,T2=0.5的情況.由此可見，輸入相干態(tài)的振幅在某種特殊情況下有利于增加非高斯態(tài)的實現(xiàn)幾率。

2 非高斯量子態(tài)的非經(jīng)典特性

在討論完非高斯態(tài)的成功概率后，本節(jié)從平均光子數(shù)和Wigner函數(shù)的負部特征方面來考察輸出態(tài)的統(tǒng)計特性，重點分析域壓縮操作對輸出態(tài)統(tǒng)計特性的影響。

2.1 平均光子數(shù)

平均光子數(shù)作為光場量子態(tài)統(tǒng)計的特征之一，尤其在量子度量領(lǐng)域扮演著重要角色。例如，在光學干涉儀系統(tǒng)中，平均光子數(shù)越高則會使得量子費舍信息越大，從而達到更高的相位靈敏度[33]。那么，在本文所提方案中，局域壓縮的引入能否進一步的提高輸出態(tài)的平均光子數(shù)呢？本節(jié)對輸出態(tài)的平均光子數(shù)進行研究。

如圖1所示，對于a模輸出的任意量子態(tài)ρout，它的平均光子數(shù)都可以被定義為

(9)

結(jié)合式(6)和式(9)，輸出態(tài)的平均光子數(shù)的解析表達式為

(10)

圖3 (a) 對于透射率T1=T2=0.2，(b) 透射率T1=0.2,T2=0.5，平均光子數(shù)隨Re[α]的變化，其中ξ=0(實線)，ξ=0.2(虛線)，ξ=0.4(點劃線)

圖4 對于不同的相干態(tài)振幅，局域壓縮參數(shù)和光分束器的透射率(這里我們設(shè)T1=T2=T)，輸出態(tài)的Wigner函數(shù)W(β)在相空間(Q,P)中的分布；(a)-(c)：給定輸入相干振幅Re[α]=0.1和透射率T=0.2,分別對應(yīng)ξ=0,0.2,0.4；(d)-(f):給定ξ=0.4和T=0.2，分別對應(yīng)Re[α]=0.1,0.3,0.5；(g)-(i)：給定Re[α]=0.1和ξ=0.4，分別對應(yīng)T=0.1,0.3,0.5

2.2 Wigner函數(shù)

Wigner函數(shù)是一種典型的準概率分布函數(shù)，原因在于它的值不僅僅局限于(0.1/π)，其在相空間分布中常常會出現(xiàn)負值區(qū)域。一般而言，這種負值區(qū)域越大表明量子態(tài)的非經(jīng)典性越強，因此Wigner 函數(shù)也通常被用來判斷光場態(tài)的非經(jīng)典性強弱[34]?；诖吮尘跋?，本小節(jié)利用關(guān)于Wigner函數(shù)的積分公式量化負部體積的大小，以便于直觀地看出Wigner函數(shù)負部體積隨局域壓縮參數(shù)、輸入相干態(tài)振幅的變化。這里，首先給出Wigner函數(shù)在相干態(tài)表象下的表達形式，即

(11)

(12)

為了更加清晰地展示出輸出態(tài)的非經(jīng)典特性，根據(jù)式(12)，對于不同參數(shù)(包含了局域壓縮ξ，振幅Re[α]和光分束器的透射率T)，圖4給出了Wigner函數(shù)在相空間(Q,P)中的分布曲面。為了便于分析和討論，這里僅考慮兩個分束器的透射率相同的情況，即T1=T2=T。由圖4可知，對于給定的透射率T=0.2和相干態(tài)振幅Re[α]=0.1時，Wigner函數(shù)的負部體積隨著局域壓縮參數(shù)的增大而增大(見圖4(a)-(c))。但是，對于給定的透射率T=0.2和局域壓縮參數(shù)ξ=0.4時，隨著振幅的增加，Wigner的負部體積卻是減小的(見圖4(d)-(f))。 這些研究結(jié)果表明，局域壓縮的增大利于增強輸出態(tài)的非經(jīng)典特性，而輸入相干態(tài)的振幅越小對非經(jīng)典性的增強越有益。值得一提的是，從圖4(g)-(i)中，對于給定的相干態(tài)振幅Re[α]=0.1和局域壓縮參數(shù)ξ=0.4，透射率T的增加t=0.1,0.3，相應(yīng)的Wigner函數(shù)的負部體積在增大；而透射率T從0.3到0.5的變化對負部體積影響甚微。于是，為了進一步看清非經(jīng)典性的強弱變化，這里將利用Wigner函數(shù)的負部體積表達式來進行量化，它可以被定義為

同樣地，在與圖4相同的參數(shù)取值下，根據(jù)式(13)，表1給出了相應(yīng)的輸出態(tài)Wigner函數(shù)的負部體積值。除了上述研究結(jié)果外，由表1的第1-3行可知，對于ξ=0的情況，Wigner 函數(shù)的負部體積還是存在的，這表明利用量子剪切裝置確實可以把經(jīng)典態(tài)轉(zhuǎn)換為非經(jīng)典態(tài)[26]。此外，由表1的第7-9行可知，隨著透射率T的增加(T局限在(0,0.5]內(nèi))，V(β)是逐漸地增加。在相同參數(shù)下，由于Wigner函數(shù)的負部體積關(guān)于T=0.5對稱，因此這里不再考慮T∈[0.5,1)的情形。

(13)

表1 Wigner函數(shù)的負部體積，其中第1-3行為給定Re[α]=0.1和T=0.2,負部體積值隨ξ的變化；第4-6行為給定ξ=0.4和T=0.2，負部體積值隨Re[α]的變化；第7-9行為給定Re[α]=0和ξ=0.4，負部體積值隨T的變化

3 結(jié)論

當考慮輸入相干態(tài)時，本文主要利用局域壓縮的量子剪切來制備非經(jīng)典態(tài)，并考察了輸出態(tài)的量子非經(jīng)典特性。從輸入輸出關(guān)系出發(fā)，本文首先獲得基于局域壓縮量子剪切的等效算符，它可以將經(jīng)典的相干態(tài)截斷為真空態(tài)，單光子態(tài)和雙光子態(tài)的疊加形式。此外，以輸入相干態(tài)為例，本文導出輸出態(tài)的解析表達式及其實現(xiàn)的成功概率。研究發(fā)現(xiàn)，對于給定的相干態(tài)振幅和光分束器的透射率，隨著嵌入的局域壓縮參數(shù)的增加，成功概率有所降低。盡管如此，在相同參數(shù)下，局域壓縮對輸出態(tài)的量子非經(jīng)典特性卻是有益的。具體而言，平均光子數(shù)隨著嵌入的局域壓縮參數(shù)或輸入相干態(tài)的振幅的增大而增加，這為在量子度量學中研究量子費舍信息提供了一個重要的途徑。類似地，Wigner函數(shù)的負部體積隨著局域壓縮參數(shù)增加而增大，從而表明了基于局域壓縮的量子剪切裝置可以進一步增強輸出態(tài)的非經(jīng)典性，這些研究結(jié)果有望為量子度量中相位精度的提升做了有效的貢獻。