劉 歡，肖根福，熊 勇

正交Gaussian-Krawtchouk不變矩的構(gòu)建及在圖像匹配中的應(yīng)用研究

劉 歡1,2，*肖根福3，熊 勇3

(1. 井岡山大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江西，吉安 343009；2. 江西省農(nóng)作物生長物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)工程實驗室，江西，吉安 343009；3. 井岡山大學(xué)機電學(xué)院，江西，吉安 343009)

針對基于幾何矩及不變矩的圖像特征描述存在信息冗余，計算復(fù)雜，圖像表征能力不強等問題，本文深入研究了正交的Gaussian-Krawtchouk矩及其不變矩的表達形式。依據(jù)不同的尺度因子特點，提出了基于多尺度Gaussian-Krawtchouk不變矩的圖像局部特征描述方法，并用于五種不同類型圖像的特征匹配。實驗結(jié)果表明，這種不變矩較其他傳統(tǒng)的特征描述方法具有更好的圖像表征能力，更強的數(shù)字穩(wěn)健性。該不變矩用于圖像匹配是有效可行的，具有良好的實用價值。

正交Gaussian-Krawtchouk矩；不變矩；GKM描述子；圖像局部特征描述

0 引言

圖像匹配一直是圖像處理研究領(lǐng)域的熱點[1-3]?，F(xiàn)有圖像匹配技術(shù)大致可分為基于區(qū)域的匹配技術(shù)和基于特征的匹配技術(shù)，其中后者具有更強的魯棒性和靈活性。近年來其在圖像處理方面得到了廣泛的采用與研究，備受關(guān)注。圖像局部特征描述是基于特征的匹配技術(shù)難度最大且最關(guān)鍵的步驟，其描述方法的好壞直接決定了匹配的質(zhì)量。矩與不變矩的方法由于形式簡單，計算速度相對較快，已被證明是圖像局部特征描述的一種非常實用的工具[4-6]。幾何矩及不變矩最早在1962年由Hu[7]提出7個著名的幾何不變矩，此后該矩在圖像處理與模式識別中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻[8]則用幾何矩構(gòu)建非降維模型用于圖像分割。文獻[9]針對光照與模糊圖像，在Hu不變矩的基礎(chǔ)上重新構(gòu)建了新的組合不變矩，但該新組合不變矩只具有較好的光照魯棒性和模糊不變性，對其他類型因素的影響沒有考慮。文獻[10]提出用三維幾何矩解決高光譜圖像分類。張朝鑫[11]將高斯核函數(shù)引入幾何矩中，重新定義了高斯幾何矩及其位移和旋轉(zhuǎn)不變矩并證明了高斯幾何矩比幾何矩具有更強的特征表述能力和抗噪聲干擾能力。文獻[12]也提出了一種新的高斯多尺度組合幾何矩，將該組合矩與圖像的灰度共生矩陣相融合構(gòu)成新的圖像局部特征描述子用于圖像的特征點初匹配。

由于幾何矩不是正交矩，用其表征圖像特征存在信息冗余。于是Teague[13]提出了在連續(xù)空間上具有正交性的Legendre和Zernike矩。Zernike矩被認為具有很強的特征描述能力[14-15]。文獻[16]利用Zernike提取圖像的全局特征，并采用PCA進行降維，用于人臉圖像識別。文獻[17]則提出一種改進的Zernike矩，利用小尺寸奇數(shù)模板求解Zernike矩進行二級定位，獲取亞像素級邊緣點實現(xiàn)圖像邊緣檢測的精定位。但Zernike矩中采用的是階乘運算，其運算耗時大，難以滿足實時性要求，此外高階的Zernike矩數(shù)字穩(wěn)定性較差。張朝鑫[18]將Gaussian-Hermite推廣到極坐標(biāo)復(fù)數(shù)空間，提出了極坐標(biāo)下的Gaussian-Hermite，并給出了其旋轉(zhuǎn)不變矩的構(gòu)造方法[19]。此后他又提出多尺度的Gaussian- Hermite矩描述圖像特征并用于圖像匹配[20]。但以上這些矩皆定義在連續(xù)空間上，用于表征數(shù)字圖像時需要進行數(shù)字離散化，必然會導(dǎo)致離散誤差，影響矩的計算精度。為了克服連續(xù)矩的缺陷，Yap[21]等提出了離散正交的Krawtchouk矩。Krawtchouk矩能夠用于提取圖像的局部特征，不需要進行近似計算，不存在信息冗余。離散正交矩簡單、實用、高效逐漸得到廣大圖像處理研究學(xué)者的重視。Gaussian-Krawtchouk屬于正交矩的一種，具有較強的圖像特征表征能力且計算簡單。但到目前為止，還未有文獻采用Gaussian-Krawtchouk矩用于圖像匹配方面的研究。

本文提出一種正交Gaussian-Krawtchouk(GK)矩的特征描述方法，首次給出了Gaussian- Krawtchouk矩的定義，探討了GK的離散形式及計算方法，進而創(chuàng)新性地推演出GK不變矩的表達形式。在此基礎(chǔ)上提出多尺度Gaussian-Krawtchouk不變矩的圖像局部特征描述方法，并用于圖像匹配。最后通過仿真實驗，與SIFT和經(jīng)典Hu幾何不變矩進行比較分析。結(jié)果表明，GK不變矩的描述子具有更強的圖像特征表征能力，低階矩對噪聲不敏感，GK不變矩自帶尺度因子，其可控性更靈活，計算簡單，實用性更強。

1 GK矩及其不變矩理論

1.1 GK矩

根據(jù)Krawtchouk矩的一般定義[21]，提出一種新的矩：Gaussian-Krawtchouk矩，同時構(gòu)建其不變矩。

Krawtchouk多項式定義為

Krawtchouk多項式過零點分布，中間稀疏，邊緣較密，滿足正交性

定義規(guī)則化后的Krawtchouk多項式為

那么最終Krawtchouk多項式如式（1）所示。

1.2 Gaussian-Krawtchouk矩的不變矩

把GK矩表示成高斯幾何矩的線性組合，然后通過高斯幾何矩的不變矩來構(gòu)造GK矩的不變矩。高斯幾何矩的平移，旋轉(zhuǎn)，尺度不變矩可寫成：

在離散情況下，高斯幾何矩的不變矩可重新寫成如下：

GK矩的平移，旋轉(zhuǎn)，尺度不變矩則可由下式推出得到：

2 多尺度GK不變矩的圖像特征描述方法

下面給出2階-5階GK不變矩的形式，共18個。

GKM描述子的具體構(gòu)造過程如下：

2)計算前5階共18個GK不變矩；

3)構(gòu)造18×7＝126維的特征向量

且GKM描述子計算得到的特征向量之后，用歐氏距離進行特征點之間的比較得到正確的匹配對。歐式距離公式為

3 實驗

本實驗對比了5種狀態(tài)下GKM描述子的性能。圖像來自牛津大學(xué)標(biāo)準圖片庫。如圖1-圖5所示。分別是模糊、縮放、光照、視角變換、旋轉(zhuǎn)圖像。

圖1是模糊圖像，圖像的模糊度來自相機聚焦的不同，模糊程度依次加劇如圖1(a)-(d)。

圖2是縮放變化圖像，尺度圖2(a)-(d)依次變小。

圖3是不同光照條件下拍攝的圖片，圖3(a)-(d)亮度依次變暗。

圖4是對同一場景不同視角拍攝的圖像，圖4(a)-(d)視角依次變大。

圖5是是一組經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的圖像，圖5(a)-(d)旋轉(zhuǎn)角度依次變大。

圖1 不同模糊變化圖

圖2 不同縮放程度圖

圖3 不同光照變化圖

圖4 不同視角變化圖

圖5 不同旋轉(zhuǎn)變化圖

本實驗分兩部分進行，第一部分評估本文所構(gòu)造GKM特征描述子表征能力。第二部分是特征匹配實驗，本文選擇經(jīng)典的特征匹配算法SIFT，SIFT特征檢測+高斯幾何不變矩，SIFT特征檢測+GKM，SIFT+Zernike矩和SIFT+復(fù)數(shù)矩（CF）作比較。本文所采用的驗證算法皆采用SIFT檢測特征點，再分別計算SIFT128維特征向量，選擇7個不同尺度因子分別計算Hu的7個幾何矩（49維）和18個GKM（126維）。實驗環(huán)境：處理器：Intel(R) Core(TM)i7-6900K，內(nèi)存：64.0 GB，系統(tǒng)類型：64位操作系統(tǒng)。Window10操作系統(tǒng)，MatlabR2014b+opencv3.4+VS2017。

3.1 GKM特征描述子評估實驗

表1 不同模糊程度的18個GKM值

Table 1 The values of GKM with different blur degrees

模糊圖1GQ02GQ20GQ11GQ03GQ30GQ12GQ21GQ04GQ40 (a)6.301531.000137.88979-2.22302-1.54090-1.80598-7.427228.168352.43956 (b)6.301821.000087.88914-2.22501-1.53775-1.79527-7.422218.177122.43946 (c)6.302301.000157.89372-2.23017-1.55287-1.80259-7.430128.168332.44060 (d)6.301201.000117.88749-2.22292-1.54083-1.80571-7.418408.170092.42818 平均誤差0.000410.000530.002290.002950.003430.004320.004520.003620.00508 平均偏差(%)0.007400.002980.033470.152750.137280.276750.070180.051160.24084 模糊圖1GQ13GQ31GQ22GQ05GQ50GQ14GQ41GQ23GQ32 (a)6.748939.997393.30247-2.31271-2.76249-1.99937-4.27440-1.18792-4.96219 (b)6.7500210.002623.29968-2.31139-2.76134-2.00111-4.27342-1.19001-4.96219 (c)6.7398510.011233.30173-2.29419-2.76239-2.00114-4.27513-1.18899-4.96223 (d)6.7601010.001303.30177-2.30997-2.76155-2.00114-4.27441-1.18002-4.97011 平均誤差0.007180.005060.001040.007500.000500.000770.000610.003950.00343 平均偏差(%)0.122730.058330.036470.375190.021080.043990.0164230.384020.07964 總平均誤差0.00369

表2 不同縮放程度的18個GKM值

Table 2 The values of GKM with different scales

尺度圖2GQ02GQ20GQ11GQ03GQ30GQ12GQ21GQ04GQ40 (a)5.258038.903503.92332-2.98757-1.59325-3.31499-8.797507.828382.46907 (b)5.258028.904023.92362-3.00014-1.59332-3.31492-8.798207.818902.46919 (c)5.260028.899273.92276-3.00010-1.58979-3.31528-8.797497.825342.46887 (d)5.258108.903683.92817-3.00010-1.59312-3.31484-8.798027.900112.46894 平均誤差0.000860.001940.002160.005430.001490.000170.000310.007000.00012 平均偏差(%)0.018740.025180.063550.209270.108140.005780.004120.034270.00584 尺度圖2GQ13GQ31GQ22GQ05GQ50GQ14GQ41GQ23GQ32 (a)4.554462.022858.67291-8.17744-7.17564-4.88576-2.09378-5.19710-5.88239 (b)4.552212.022868.66986-8.17763-7.16987-4.87954-2.11023-5.19720-5.88246 (c)4.553902.023188.67607-8.17835-7.17741-4.88594-2.10274-5.18976-5.88292 (d)4.561202.022788.66988-8.17769-7.17524-4.88658-2.09296-5.19730-5.89102 平均誤差0.003430.000160.002570.000340.002820.002720.007080.003230.00366 平均偏差(%)0.086830.008830.034170.004850.045340.067470.389200.071620.07174 總平均誤差0.00253

表3 不同光照變化的18個GKM值

Table 3 The values of GKM with different light variations

尺度圖2GQ02GQ20GQ11GQ03GQ30GQ12GQ21GQ04GQ40 (a)1.972031.167322.22065-3.37670-1.18614-4.38644-1.666994.838252.71619 (b)1.971231.167352.21879-3.37595-1.18670-4.38883-1.678094.838652.71724 (c)1.971301.171202.21887-3.38122-1.18702-4.38791-1.676814.837972.71328 (d)1.971651.173352.21943-3.38003-1.18720-4.37822-1.668054.838242.71811 平均誤差0.000410.002580.000740.002150.000400.004200.005000.000240.00182 平均偏差(%)0.019000.255100.038690.075420.039200.110690.345180.005790.07739 尺度圖2GQ13GQ31GQ22GQ05GQ50GQ14GQ41GQ23GQ32 (a)1.487533.511542.78767-1.17605-7.21625-4.38043-7.52842-2.96151-1.44470 (b)1.481513.513432.78732-1.17606-7.21381-4.37633-7.53231-2.96229-1.44382 (c)1.483913.521582.78719-1.17715-7.21358-4.38324-7.52844-2.96139-1.44379 (d)1.481323.512562.78770-1.17602-7.21467-4.38132-7.53111-2.96067-1.44471 平均誤差0.002500.003980.000220.000480.001050.002520.001690.000580.00045 平均偏差(%)0.195000.130890.009120.047060.016770.066500.025980.022400.03599 總平均誤差0.00253

表4 不同視角變化的18個GKM值

Table 4 The values of GKM with different viewpoints

尺度圖2GQ02GQ20GQ11GQ03GQ30GQ12GQ21GQ04GQ40 (a)4.776963.157231.75120-4.23824-4.82103-4.39426-1.267411.765041.68756 (b)4.777253.157151.75093-4.23766-4.82121-4.39254-1.266361.764151.68722 (c)4.775393.156541.74613-4.23727-4.82202-4.39331-1.267231.764661.68708 (d)4.777273.156311.74519-4.23816-4.82311-4.39567-1.268301.766121.66916 平均誤差0.000780.000390.002720.000390.000820.001170.000690.000720.00085 平均偏差(%)0.018760.014340.179940.010720.019670.030680.062760.047330.05680 尺度圖2GQ13GQ31GQ22GQ05GQ50GQ14GQ41GQ23GQ32 (a)6.799312.951241.54618-1.41268-1.75365-2.08111-3.58358-1.93702-1.27451 (b)6.799332.952411.54655-1.41379-1.75238-2.07547-3.58429-1.92654-1.27385 (c)6.796412.952231.54584-1.40576-1.76336-2.08038-3.59055-1.93215-1.27502 (d)6.799242.952271.54679-1.41274-1.74732-2.07735-3.58702-1.92703-1.27521 平均誤差0.000380.000470.000360.003200.005810.002280.002740.004270.00053 平均偏差(%)0.021210.018200.026980.261500.382210.126760.088180.255180.04772 總平均誤差0.00253

表5 不同旋轉(zhuǎn)變化的18個GKM值

Table 5 The values of GKM with different rotation changes

尺度圖2GQ02GQ20GQ11GQ03GQ30GQ12GQ21GQ04GQ40 (a)3.188292.666293.36538-2.71840-6.21675-1.13760-1.106201.790711.25636 (b)3.186242.666853.36300-2.71563-6.22133-1.13823-1.107331.790501.25517 (c)3.187922.670093.36410-2.71205-6.21803-1.13765-1.106591.790531.25628 (d)3.189422.670143.37002-2.71454-6.20998-1.13958-1.107111.788341.25638 平均誤差0.001140.001790.002670.002280.004130.000800.000450.000970.00051 平均偏差(%)0.041300.077180.091730.096920.076720.080110.0461000.062780.04670 尺度圖2GQ13GQ31GQ22GQ05GQ50GQ14GQ41GQ23GQ32 (a)4.684552.579217.48639-2.63407-2.26717-1.03393-1.25609-2.96507-5.95656 (b)4.680542.576707.48633-2.62423-2.26734-1.02988-1.25597-2.97084-5.97423 (c)4.675632.578597.49112-2.63455-2.26448-1.03309-1.25569-2.97051-5.95689 (d)4.673942.572287.47762-2.64197-2.27112-1.03308-1.25598-2.97022-5.95820 平均誤差0.004170.002710.004880.006300.002370.001550.000150.002370.00739 平均偏差(%)0.103010.121510.075210.276360.120390.173200.013580.092230.14319 總平均誤差0.00253

3.2 圖像匹配實驗

本部分實驗使用衡量參數(shù)：匹配正確率，召回率評估最后的匹配效果，計算耗時用于衡量匹配的效率。其中匹配正確率，召回率由下述公式得到：

圖6-圖10列出各類型圖像不同方法的匹配正確率-召回率的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，各圖中每個散點對應(yīng)于每種類型圖像上的某種方法的正確率-召回率對。圖6給出了圖1(a)-(d)不同模糊情況下五種描述子匹配的正確匹配率-召回率比較，從圖中可以看出，本文GKM非常明顯地集中在右上角，即匹配效果更好。圖7給出圖2(a)-(d)不同縮放程度圖的五種描述子匹配的正確匹配率-召回率比較，從圖中可以看出，Zernike矩的匹配和GKM的匹配效果都很好，其中Zernike更好一些，GKM次之，復(fù)數(shù)矩的匹配也還不錯，以上三種描述子比SIFT和高斯幾何矩要優(yōu)秀。圖8給出了圖3(a)-(d)不同光照條件圖像的五種描述子匹配的正確匹配率-召回率比較，從圖中可以看出，SIFT、GKM和Zernike表現(xiàn)基本相當(dāng)，其他三種表現(xiàn)稍差。圖9給出了圖4(a)-(d)不同視角拍攝圖的五種描述子匹配的正確匹配率-召回率比較，從圖中可以看出，GKM表現(xiàn)最為優(yōu)秀，SIFT次之，Zernike矩表現(xiàn)一般，高斯幾何矩和復(fù)數(shù)矩表現(xiàn)則不太理想。圖10給出了圖5(a)-(d)旋轉(zhuǎn)角度不同圖的五種描述子匹配的正確匹配率-召回率比較，從圖中可以看出，GKM依舊表現(xiàn)最為優(yōu)秀，始終集中在右上角，其次是SIFT，Zernike矩則表現(xiàn)一般，高斯幾何矩和復(fù)數(shù)矩則表現(xiàn)不太理想。總之，本文的GKM方法在處理五類情況的圖像時總體效果都不錯，匹配正確率皆在80%以上，其中處理光照，縮放，模糊時其穩(wěn)定性優(yōu)勢明顯，其他情況次之。

圖6 一類圖像間的正確匹配率-召回率

圖7 二類圖像間的匹配正確率-召回率

圖8 三類圖像間的匹配正確率-召回率

圖9 四類圖像間的匹配正確率-召回率

圖10 五類圖像間的匹配正確率-召回率

表6 幾種描述子的耗時比較（s）

Table 6 the comparison of running time between moments

images(a)-(b)(a)-(c)(a)-(d) 高斯幾何矩圖10.480.330.32 圖20.470.440.40 圖30.370.350.24 圖40.540.420.39 圖51.421.311.12 SIFT圖11.671.691.73 圖21.841.861.92 圖31.871.932.05 圖41.912.332.39 圖54.354.424.54 Gaussian-Krawtchouk Moment(GKM)圖11.511.541.43 圖21.661.621.68 圖31.671.721.76 圖41.741.811.83 圖53.894.084.31 Zernike圖12.882.902.97 圖22.271.992.28 圖32.042.182.22 圖42.172.392.41 圖53.545.125.17 復(fù)數(shù)矩（CF）圖14.054.364.42 圖23.423.453.63 圖33.193.293.31 圖43.303.623.78 圖55.377.757.83

表6列出了對幾種特征描述子計算時間的測試：SIFT描述子、高斯幾何矩、Zernike矩、復(fù)數(shù)矩（CF）、本文的GKM。從表1中數(shù)據(jù)可知，高斯幾何矩耗時最少，其次是GKM，這兩種矩描述子所需的計算時間遠小于Zernike矩描述子與SIFT描述子。由于復(fù)數(shù)矩的高階矩包含了低階矩致使復(fù)數(shù)矩計算帶來重復(fù)計算，冗余性大。因此在上述幾種描述子中CF復(fù)數(shù)矩耗時最長。

4 結(jié)論

本文介紹了GKM，給出了GKM的計算方法，詳細推導(dǎo)了GKM的平移、旋轉(zhuǎn)、尺度不變矩，提出了基于正交矩GKM不變矩的圖像局部特征描述方法并用于不同類型圖像的匹配。通過實驗與現(xiàn)有的方法的分析比較，實驗結(jié)果表明：基于GK矩的圖像特征描述方法比現(xiàn)有的方法具有更穩(wěn)定的數(shù)字性能，更強的圖像表征能力且計算簡單，實用性更強。本文沒有詳細研究GKM的高階不變矩的推導(dǎo)和應(yīng)用，下一步將開展這一方面的研究工作。

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CONSTRUCTION OF INVARIANTS OF ORTHOGONAL GAUSSIAN-KRAWTCHOUK MOMENT AND THE APPLICATION IMAGE MATCHING

LIU Huan1,2,*XIAO Gen-fu3, XIONG Yong3

(1. School of Electronic and Information Engineering, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China; 2. Jiangxi Engineering Laboratory of IoT Technologies for Crop Growth, Ji’an, Jiangxi 343009, China; 3. School of Electromechanical, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

Aiming at the problem of information redundancy, complex calculation and low image representation of the method of the image feature description based on the geometric moment and invariant moment, orthogonal Gaussian-Krawtchouk moment and its invariant moment are deeply studied. According to the traits of different scale parameters, a description method on image local features based on multi-scale Gaussian-Krawtchouk invariant moment is presented, and was applied in the tests of image trait matching in five different types of images. The experimental results show that the proposed description method performs much better than the other traditional description methods with better image representation ability and stronger digital stability. The invariant moment applied in image matching is feasible and validate. It can offer a nice reference value.

orthogonal Gaussian-Krawtchouk moment; invariant moment; GKM descriptor; image local feature description

TP391

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2021.02.011

1674-8085(2021)02-0061-09

2020-12-09；

2021-01-18

國家自然科學(xué)基金項目（61640412, 61762052, 42061055）；江西省自然科學(xué)基金項目（20192BAB207021，20202BABL202047）；江西省教育廳科技計劃項目(GJJ201008)，江西省高校人文社科項目(YS20129)。

劉 歡(1981-)，女，江西吉安人，副教授，博士，主要從事圖形圖像處理、機器視覺、模式識別(E-mail:liuhuan816618@163.com);

*肖根福(1980-)，男，江西贛州人，副教授，博士，主要從事智能計算、模式識別(E-mail:xiaogenfu@163.com);

熊 勇(1970-)，男，江西吉安人，實驗師，主要從事圖像處理、智能優(yōu)化(E-mail:xiongong@163.com).