鐘赟，萬路軍，張杰勇

1. 中國(guó)人民解放軍94040部隊(duì)，庫爾勒 841000 2. 空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077 3. 空軍工程大學(xué) 空管領(lǐng)航學(xué)院，西安 710051 4. 中國(guó)電科28所 空中交通管理系統(tǒng)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007

隨著航空平臺(tái)技術(shù)、信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和人工智能技術(shù)的飛速發(fā)展，空中作戰(zhàn)集群化、網(wǎng)絡(luò)化和智能化趨勢(shì)日益顯現(xiàn)[1-2]?？罩凶鲬?zhàn)的行動(dòng)過程(Course of Action, COA)設(shè)計(jì)，作為空中作戰(zhàn)任務(wù)計(jì)劃生成的關(guān)鍵技術(shù)，是空中作戰(zhàn)編隊(duì)根據(jù)實(shí)際作戰(zhàn)環(huán)境和敵方可能采取的作戰(zhàn)行動(dòng)，生成的最優(yōu)或較優(yōu)作戰(zhàn)行動(dòng)方案，其本質(zhì)是對(duì)動(dòng)態(tài)作戰(zhàn)行動(dòng)、作戰(zhàn)環(huán)境和作戰(zhàn)效果三者因果關(guān)系的科學(xué)定量描述和高效優(yōu)化求解，其設(shè)計(jì)效果決定了空中作戰(zhàn)效能發(fā)揮[3-4]。

對(duì)COA問題建模分析，運(yùn)用較多的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Bayesian Nets, BNs)和動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Dynamic Bayesian Nets, DBNs)方法存在其固有缺陷：一是在概率推理過程中，BNs和DBNs高度依賴條件概率表(Conditional Probability Table, CPT)，而CPT的合理構(gòu)建具有一定困難；二是隨著作戰(zhàn)規(guī)模的增大，CPT中節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨之增多，進(jìn)而降低概率推理的計(jì)算效率[5]。因此，研究人員主要通過引入因果強(qiáng)度邏輯(Causal Strength Logic, CAST)參數(shù)，采用參數(shù)定義較少、推理效率較高的影響網(wǎng)絡(luò)(Influence Nets, INs)方法[6]，對(duì)COA問題進(jìn)行研究。

在現(xiàn)有研究中，大多考慮了COA優(yōu)選中的不確定性，并采用不同方法處理這種不確定性。文獻(xiàn)[7]考慮到作戰(zhàn)過程中的不確定性和對(duì)抗性，基于不完全信息博弈方法和INs進(jìn)行問題建模，但缺乏對(duì)參數(shù)的不確定性表征。文獻(xiàn)[8]認(rèn)為不確定性(外部事件出現(xiàn)概率的區(qū)間性)主要來源于外部事件，通過蒙特卡洛(Monte Carlo)方法對(duì)外部事件的不確定性進(jìn)行模擬，并根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)下的概率計(jì)算信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)作為目標(biāo)函數(shù)，但沒有考慮基準(zhǔn)概率和影響強(qiáng)度值的不確定性。文獻(xiàn)[9]對(duì)文獻(xiàn)[8]進(jìn)行了拓展研究，針對(duì)影響強(qiáng)度值時(shí)變場(chǎng)景，基于動(dòng)態(tài)影響網(wǎng)絡(luò)(Dynamic Influence Nets, DINs)進(jìn)行建模，并采用學(xué)習(xí)型遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，但缺乏對(duì)關(guān)鍵參數(shù)確定過程中專家知識(shí)的一致性檢驗(yàn)。

綜上所述，當(dāng)前研究存在著不確定性來源分析不充分、對(duì)參數(shù)不確定性處理方式相對(duì)簡(jiǎn)單、關(guān)鍵參數(shù)獲取過程中專家知識(shí)缺少一致性檢驗(yàn)等問題。

本文采用無需估計(jì)變量分布律的區(qū)間值度量參數(shù)不確定性，引入?yún)^(qū)間優(yōu)化思想[10-11]構(gòu)建基于DINs的COA優(yōu)選模型；基于改進(jìn)Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)法得到經(jīng)過一致性檢驗(yàn)的關(guān)鍵參數(shù)，并分析期望效果實(shí)現(xiàn)概率和各關(guān)鍵參數(shù)的相關(guān)關(guān)系；最后，采用改進(jìn)快速非支配排序遺傳(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II, NSGA-II)算法對(duì)模型進(jìn)行求解。

1 空中作戰(zhàn)COA建模分析

1.1 基本概念

期望效果(Desired Effects, DE)：是空中作戰(zhàn)編隊(duì)所要實(shí)現(xiàn)的最終作戰(zhàn)目的。執(zhí)行的作戰(zhàn)任務(wù)不同，期望效果的種類和數(shù)量也有所不同，選取高效COA的核心目標(biāo)，就是使得期望效果的實(shí)現(xiàn)概率最大。令空中作戰(zhàn)過程中的期望效果集合為D={d1,d2,…,d|D|}，其中，|D|為期望效果的數(shù)量。

中間效果(Intermediate Effects, IE)：是空中作戰(zhàn)編隊(duì)為達(dá)成最終作戰(zhàn)目的而取得的階段性作戰(zhàn)效果，其是作戰(zhàn)行動(dòng)、外部事件和期望效果之間的紐帶。空中作戰(zhàn)編隊(duì)執(zhí)行復(fù)雜任務(wù)時(shí)，直接建立數(shù)量較多的作戰(zhàn)行動(dòng)、外部事件和期望效果之間的影響關(guān)系難度較大。因此，一般通過中間效果實(shí)現(xiàn)對(duì)各影響關(guān)系的分類關(guān)聯(lián)，從而有效降低表征作戰(zhàn)過程中所有影響關(guān)系的難度。令空中作戰(zhàn)中的中間效果集合為C={c1,c2,…,c|C|}，其中，|C|為中間效果的數(shù)量。

1.2 基于INs的COA靜態(tài)建模分析

基于INs進(jìn)行COA問題因果關(guān)系建模，是將作戰(zhàn)行動(dòng)、外部事件、期望效果和中間效果之間的因果關(guān)系影響強(qiáng)度用CAST參數(shù)來表示，通過從根節(jié)點(diǎn)到葉節(jié)點(diǎn)的概率傳播，進(jìn)而計(jì)算得到期望效果的實(shí)現(xiàn)概率。

圖1 基于INs的COA靜態(tài)模型Fig.1 Static model of COA based on INs

圖1為基于INs的COA靜態(tài)模型?；贗Ns的COA靜態(tài)模型可表征為四元組IN={V,E,CAST,BP}。V={A,B,C,D}表示影響網(wǎng)絡(luò)中作戰(zhàn)行動(dòng)A、外部事件B、期望效果C和中間效果D等節(jié)點(diǎn)集合。E={(A,C),(B,C),(C,D)}表示影響網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的因果關(guān)系，用帶箭頭或圓頭的有向邊描述。

CAST表示對(duì)?v∈V，影響網(wǎng)絡(luò)中的因果關(guān)系影響強(qiáng)度集合，對(duì)于有向邊(A,C)，影響強(qiáng)度為CAST(A,C)∈{(h,g)|h≥-1,g≤1}。其中，h表示父節(jié)點(diǎn)為1對(duì)子節(jié)點(diǎn)為1的影響程度，g表示父節(jié)點(diǎn)為0對(duì)子節(jié)點(diǎn)為1的影響程度。一般可以根據(jù)h和g的取值情況，將因果關(guān)系劃分為促進(jìn)關(guān)系和抑制關(guān)系兩類，對(duì)于有向邊(A,C)，當(dāng)h>0，g≤0時(shí)，表示A對(duì)C有促進(jìn)作用，所對(duì)應(yīng)的有向邊e∈E帶箭頭；當(dāng)h≤0，g>0時(shí)，表示A對(duì)C有抑制作用，所對(duì)應(yīng)的有向邊e∈E帶圓頭。而在概率推理過程中，影響強(qiáng)度值取h值或g值，取決于父節(jié)點(diǎn)是否發(fā)生。若發(fā)生則取h值，反之則取g值。

BP表示影響網(wǎng)絡(luò)中各相關(guān)節(jié)點(diǎn)取值的基準(zhǔn)概率集合，即在沒有外部因果關(guān)系影響下，相應(yīng)節(jié)點(diǎn)取值為1的概率，有BP={bp1,bp2,…,bp|BP|}。

以事件cn受事件ai影響場(chǎng)景下的概率計(jì)算為例，令xi為取值0或1的隨機(jī)向量，ai的發(fā)生與否，直接影響到xi的取值情況。若事件ai發(fā)生，則xi=1；反之，則xi=0。為度量xi的取值對(duì)事件cn是否發(fā)生的影響，采用式(1)，從定性角度定義事件ai對(duì)事件cn的影響情況：

(1)

對(duì)于給定的ai，事件cn發(fā)生的條件概率為P(cn|ai)，則式(2)表示從定量角度定義事件ai對(duì)事件cn的影響情況：

(2)

式中：P(cn)為事件cn發(fā)生的基準(zhǔn)概率。

令s(ai)∈[-1,1]，進(jìn)而利用線性插值法擴(kuò)展P(cn|ai)的定義空間，則給定ai，事件cn發(fā)生的條件概率P(cn|ai)定義為

P(cn|ai)=

(3)

在實(shí)際問題中，存在多個(gè)事件對(duì)某事件同時(shí)產(chǎn)生影響。此時(shí)，需要進(jìn)行影響強(qiáng)度值聚合后進(jìn)行概率推理，具體見式(14)～式(18)。

1.3 基于INs的COA靜態(tài)建模分析

通過式(1)～式(3)，建立了CAST值與條件概率P(cn|ai)的映射關(guān)系，從而將作戰(zhàn)行動(dòng)、外部事件、期望效果和中間效果的因果關(guān)系用影響值進(jìn)行鏈接，生成相應(yīng)影響網(wǎng)絡(luò)。

然而，空中作戰(zhàn)是連續(xù)動(dòng)態(tài)的作戰(zhàn)過程，作戰(zhàn)行動(dòng)和外部事件會(huì)隨著戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)的變化而不斷演進(jìn)，從而導(dǎo)致基于INs的COA靜態(tài)模型并不能有效表征參數(shù)變量的動(dòng)態(tài)演變過程。

為克服INs在建模過程中時(shí)間特性表征不足的缺陷，需基于DINs對(duì)空中作戰(zhàn)COA問題進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模，在影響強(qiáng)度計(jì)算過程中引入自環(huán)(Self Loop, SL)機(jī)制。即某作戰(zhàn)階段的期望效果和中間效果實(shí)現(xiàn)概率不僅與當(dāng)前作戰(zhàn)階段的作戰(zhàn)行動(dòng)過程有關(guān)，還會(huì)受到上一作戰(zhàn)階段的期望效果和中間效果實(shí)現(xiàn)概率的影響，從而有效刻畫了期望效果和中間效果狀態(tài)轉(zhuǎn)移的馬爾科夫特性。

圖2 基于DINs的COA動(dòng)態(tài)模型Fig.2 Dynamic model of COA based on DINs

考慮到空中作戰(zhàn)COA優(yōu)選的目的是有效完成使命任務(wù)，因此主要選取最后作戰(zhàn)階段的期望效果實(shí)現(xiàn)概率P{dm(tT+1)}作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。以編隊(duì)作戰(zhàn)資源和規(guī)則為約束條件，以特定行動(dòng)過程下的期望效果實(shí)現(xiàn)概率為優(yōu)化目標(biāo)，建立基于DINs的COA優(yōu)選數(shù)學(xué)模型為

maxF(S)=P{dm(tT+1)|CE(t0),ΨS}

(4)

式中：R(tk)為tk-1～tk階段的作戰(zhàn)資源消耗；R0為作戰(zhàn)資源閾值。

目標(biāo)函數(shù)表示以初始外部作戰(zhàn)環(huán)境為起點(diǎn)，在可行行動(dòng)空間中選取相應(yīng)行動(dòng)過程，使得最終期望效果實(shí)現(xiàn)概率最大；第1個(gè)約束表示任意作戰(zhàn)階段的作戰(zhàn)資源消耗均不能超過作戰(zhàn)資源閾值；第2個(gè)約束表示行動(dòng)過程必須在可行行動(dòng)空間中選取。

1.4 參數(shù)不確定性分析

在空中作戰(zhàn)編隊(duì)作戰(zhàn)過程中，不確定性主要體現(xiàn)在相關(guān)作戰(zhàn)參數(shù)的取值分布上，主要包括以下3類。

1) 外部事件出現(xiàn)概率的不確定性。由于敵方敵對(duì)行為的不可預(yù)測(cè)以及作戰(zhàn)專家知識(shí)的局限性，外部事件出現(xiàn)概率很難以準(zhǔn)確值給出。

2) 基準(zhǔn)概率的不確定性。由于作戰(zhàn)專家知識(shí)的局限性，不能給出基準(zhǔn)概率的準(zhǔn)確值。

3) 影響強(qiáng)度值的不確定性。由于作戰(zhàn)專家知識(shí)的局限性，不能給出影響強(qiáng)度的準(zhǔn)確值。

在復(fù)雜的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中，難以給出上述參數(shù)的準(zhǔn)確值，甚至較難估計(jì)其分布律。因此，主要采用只需簡(jiǎn)單給出上下界的區(qū)間數(shù)對(duì)上述參數(shù)的不確定性進(jìn)行表征。對(duì)于區(qū)間數(shù)U=[uL,uR]和V=[vL,vR]，定義相關(guān)運(yùn)算法則為[12]

U+V=[uL+vL,uR+vR]

(5)

kU=[kuL,kuR]k>0

(6)

2 DINs的概率傳播機(jī)制

與INs一樣，DINs的概率傳播也是子節(jié)點(diǎn)與多個(gè)獨(dú)立父節(jié)點(diǎn)之間的近似概率推理，概率推理的核心要素CAST參數(shù)由作戰(zhàn)專家根據(jù)作戰(zhàn)知識(shí)給出。與INs不同的是，DINs具有動(dòng)態(tài)特性，若父節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)概率隨著時(shí)間發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，則子節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)概率也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化。

DINs的概率傳播機(jī)制主要包括2個(gè)方面，分別是關(guān)鍵參數(shù)確定和概率傳播算法，其中，關(guān)鍵參數(shù)主要包括CAST參數(shù)和外部事件出現(xiàn)概率。

2.1 關(guān)鍵參數(shù)確定

對(duì)于DINs中的關(guān)鍵參數(shù)，一般采用多專家知識(shí)融合方法進(jìn)行確定。在具體表征方式上，用橫坐標(biāo)為專家權(quán)威度Q、縱坐標(biāo)為關(guān)鍵參數(shù)的二維坐標(biāo)系，即信念圖進(jìn)行表示[6]。圖3為關(guān)鍵參數(shù)是影響強(qiáng)度值時(shí)，基于信念圖的影響強(qiáng)度值。

圖3 基于信念圖的影響強(qiáng)度值Fig.3 Influence strength value based on belief graph

其中，專家權(quán)威度Q和關(guān)鍵參數(shù)的分類采用模糊語言型分類，并建立評(píng)語到定量表達(dá)的映射，專家權(quán)威度Q的評(píng)判劃分為5個(gè)等級(jí)，分別為高、較高、一般、較低、低，對(duì)應(yīng)量化值為1.0、 0.75、0.5、0.25、0；關(guān)鍵參數(shù)的評(píng)判劃分為7個(gè)等級(jí)，分別為絕對(duì)強(qiáng)、很強(qiáng)、較強(qiáng)、一般、較弱、很弱、無，對(duì)應(yīng)量化值為1.0、0.9、0.7、0.5、0.3、0.1、0。圖3中點(diǎn)位h2(0.8,[0.75,0.85])和g2(0.8,[0.25,0.30])分別表示，在不考慮取值正負(fù)性情況下，權(quán)威度為0.8的專家給出h值的取值范圍為[0.75, 0.85]，g值的取值范圍為[0.25,0.30]。

一般直接采用相應(yīng)方法進(jìn)行關(guān)鍵參數(shù)的融合生成，然而，當(dāng)前研究缺乏對(duì)專家知識(shí)的一致性檢驗(yàn)，從而造成某些與其他專家知識(shí)不一致的專家知識(shí)對(duì)最終融合值生成產(chǎn)生影響。因此，首先采用改進(jìn)Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)法對(duì)專家知識(shí)進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，隨后將通過一致性檢驗(yàn)的專家知識(shí)融合生成最終結(jié)果。

1) 基于改進(jìn)Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)法的一致性檢驗(yàn)

同樣以影響強(qiáng)度值為例，記所有作戰(zhàn)專家集合為Z={z1,z2,…,z|Z|}，|Z|為專家數(shù)量，則對(duì)集合Z中專家知識(shí)進(jìn)行一致性檢驗(yàn)步驟如下。

Ro=[ro,1,ro,2,…,ro,|V|]

(7)

式中：ro,v(1≤v≤|V|)為Cho,v在Ho中按升序排序的排序號(hào)，區(qū)間數(shù)的排序方法見式(21)。

步驟2建立假設(shè)J0：集合Z中作戰(zhàn)專家關(guān)于影響強(qiáng)度賦值意見不一致；備擇假設(shè)J1：集合Z中作戰(zhàn)專家關(guān)于影響強(qiáng)度賦值意見一致。令顯著性水平α=0.05。

步驟3根據(jù)式(8)，計(jì)算專家集合Z中集合所有專家知識(shí)的Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)量Kendall(Z)。

Kendall(Z)=

(8)

步驟4判斷Kendall(Z)與顯著性水平α下Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)閾值Kα的大小關(guān)系，若Kendall(Z)

2) 基于綜合加權(quán)的一致性專家知識(shí)集結(jié)

通過對(duì)專家知識(shí)的一致性檢驗(yàn)，可以得到集合Z的專家知識(shí)一致度ηZ：

(9)

則對(duì)于一致性專家知識(shí)集結(jié)，需要找到一組這樣的專家組Z′，使得Z′中專家知識(shí)一致并且具有最高專家組權(quán)威度，即有

maxμZ′

(10)

式中：第1個(gè)約束表示Z′中專家知識(shí)必須一致。μZ′為Z′的專家組權(quán)威度，計(jì)算公式為

(11)

為求解式(11)，并利用綜合加權(quán)方法集結(jié)專家知識(shí)得到融合后影響強(qiáng)度值，采用具體步驟如下。

步驟1初始化專家集合Y=?，令計(jì)數(shù)標(biāo)志count=1。

步驟2判斷專家集合Z的知識(shí)一致度ηZ是否等于1，若否，則將Z中知識(shí)相似度最小專家移至集合Y，循環(huán)執(zhí)行步驟2直至ηZ=1或Z中只剩1名專家。專家知識(shí)相似度計(jì)算方法如式(12)所示：

(12)

步驟3令集合Zcount=Z且count=count+1，并先后執(zhí)行Z=Y，Y=?，循環(huán)執(zhí)行步驟2和3直至ηZ=1或Z中只剩1名專家。

步驟4比較Z1，Z2，…的專家組權(quán)威度，并令Z′=argmax{μZ1,μZ2,…}。

步驟5通過步驟1～步驟4，確定了符合一致性原則并使得權(quán)威度最大的專家組，采用式(13) 計(jì)算得到融合多專家知識(shí)的影響強(qiáng)度h值結(jié)果。

(13)

式(13)的計(jì)算涉及到區(qū)間數(shù)和區(qū)間數(shù)的加法運(yùn)算規(guī)則，以及區(qū)間數(shù)和實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則，采用式(5)和式(6)進(jìn)行計(jì)算。

類似地，融合多專家知識(shí)的其他關(guān)鍵參數(shù)均可以通過上述步驟計(jì)算得到。

2.2 概率傳播算法

在任意作戰(zhàn)階段，子節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)概率取決于父節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)概率。因此，隨著作戰(zhàn)進(jìn)程的不斷推進(jìn)，需要根據(jù)父節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)概率變化情況，從上至下依次進(jìn)行子節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)概率的更新。具體概率傳播算法如下。

步驟1對(duì)于特定作戰(zhàn)階段，根據(jù)當(dāng)前影響網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)出度和入度情況，將節(jié)點(diǎn)劃分為不同層次。其中，根節(jié)點(diǎn)層次最高，中間節(jié)點(diǎn)層次居中，葉節(jié)點(diǎn)層次最低。

步驟2判斷是否進(jìn)入下一作戰(zhàn)階段，若是，則更新所有節(jié)點(diǎn)所在層次和根節(jié)點(diǎn)先驗(yàn)概率。

步驟3根據(jù)影響強(qiáng)度值計(jì)算子節(jié)點(diǎn)條件概率，以父節(jié)點(diǎn)集合A、子節(jié)點(diǎn)cn，求cn的條件概率P(cn|a1,a2,…,a|A|)為例，ai的影響強(qiáng)度取值為s(ai)。相應(yīng)條件概率具體計(jì)算過程如下。

1) 進(jìn)行正影響強(qiáng)度聚合，生成PI值。

(14)

2) 進(jìn)行負(fù)影響強(qiáng)度聚合，生成NI值。

(15)

3) 將PI值和NI值聚合，生成整體影響強(qiáng)度OI值。

(16)

4) 計(jì)算得到條件概率P(cn|a1,a2,…,a|A|)。

P(cn|a1,a2,…,a|A|)=

(17)

步驟4根據(jù)全概率公式，計(jì)算子節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)概率。同樣以步驟3中父節(jié)點(diǎn)事件發(fā)生情況為例，并考慮到父節(jié)點(diǎn)的獨(dú)立性，P(cn)的計(jì)算公式為

P(cn)=

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×P(a1)×

P(a2)×…×P(a|A|)+

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×

P(a1)×P(a2)×…×P(a|A|)+

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×P(a1)×

P(a2)×…×P(a|A|)+…+

P(cn|a1,a2,…,a|A|)×

P(a1)×P(a2)×…×P(a|A|)

(18)

步驟5按照上述步驟，將所有層次節(jié)點(diǎn)進(jìn)行概率更新。

由于外部事件出現(xiàn)概率、基準(zhǔn)概率和影響強(qiáng)度值的區(qū)間不確定性，期望效果和中間效果的實(shí)現(xiàn)概率必然也為區(qū)間值。而期望效果和中間效果實(shí)現(xiàn)概率區(qū)間值的上下界取決于其與上述各關(guān)鍵參數(shù)的相關(guān)關(guān)系。因此，需要根據(jù)式(14)～式(18)， 分析子節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)概率與各關(guān)鍵參數(shù)的相關(guān)關(guān)系，有定理1～定理4成立，詳見附錄A。由此可知，目標(biāo)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)概率與外部事件出現(xiàn)概率成反比，與基準(zhǔn)概率成正比，與影響強(qiáng)度h值、g值成正比。

考慮到空中作戰(zhàn)具有隨時(shí)間演化的動(dòng)態(tài)特性，在目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，即期望效果和中間效果實(shí)現(xiàn)概率計(jì)算過程中，需要逐階段進(jìn)行，步驟如下。

步驟1對(duì)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行初始化，輸入經(jīng)過一致性檢驗(yàn)專家知識(shí)集結(jié)的各關(guān)鍵參數(shù)。

步驟2根據(jù)作戰(zhàn)專家知識(shí)，選取tk-1～tk階段的可行行動(dòng)策略。

步驟3根據(jù)式(14)～式(18)進(jìn)行概率傳播，生成本作戰(zhàn)階段期望和中間效果實(shí)現(xiàn)概率。

步驟4向下一作戰(zhàn)階段傳播期望效果和中間效果實(shí)現(xiàn)概率，并同樣根據(jù)式(14)～式(18)，計(jì)算下一階段目標(biāo)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)概率。

步驟5當(dāng)作戰(zhàn)使命結(jié)束時(shí)，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值P{dm(tT+1)}。

3 行動(dòng)過程優(yōu)選模型求解

空中作戰(zhàn)行動(dòng)過程生成是一個(gè)典型的組合優(yōu)化問題，本質(zhì)是優(yōu)選出使得期望效果實(shí)現(xiàn)概率最大的行動(dòng)組合，其主要包括3個(gè)關(guān)鍵部分：一是根據(jù)Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)法集結(jié)專家知識(shí)生成影響強(qiáng)度值；二是根據(jù)DINs計(jì)算生成期望效果實(shí)現(xiàn)概率；三是采用改進(jìn)區(qū)間優(yōu)化算法優(yōu)選最佳行動(dòng)過程。如圖4所示，為行動(dòng)過程優(yōu)選方法框架。

圖4 行動(dòng)過程優(yōu)選方法框架Fig.4 Framework of COA optimized selection method

從式(4)可知，需要進(jìn)行優(yōu)化的目標(biāo)不止一個(gè)，空中作戰(zhàn)行動(dòng)過程優(yōu)選問題是一個(gè)典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題，可采用多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解，而NSGA-II算法是一種有效求解方法[13]。

該算法根據(jù)快速非支配排序、個(gè)體擁擠距離計(jì)算以及基于外部檔案的精英保留等策略，對(duì)包括選擇、交叉和變異等算子的遺傳算法[14]進(jìn)行拓展，使之能夠高效、穩(wěn)定求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。

因此，需要根據(jù)區(qū)間優(yōu)化的特點(diǎn)，對(duì)NSGA-II算法進(jìn)行適應(yīng)性改造，主要包括實(shí)數(shù)型編解碼方式、基于可能度的區(qū)間數(shù)個(gè)體排序、基于期望值和寬度值的區(qū)間數(shù)個(gè)體擁擠距離計(jì)算，從而有效求解式(4)描述的數(shù)學(xué)模型。

1) 實(shí)數(shù)型編解碼方式

考慮到NSGA-Ⅱ算法的迭代特性，采用長(zhǎng)度為|A|的實(shí)數(shù)型編碼方式。對(duì)于不同位置的個(gè)體元素，取值范圍各有不同，如對(duì)第i個(gè)個(gè)體元素，取值范圍為(1,|ai|+1)，其中，|ai|為作戰(zhàn)行動(dòng)ai中基本策略的個(gè)數(shù)。

2) 基于可能度的區(qū)間數(shù)個(gè)體排序

若存在區(qū)間數(shù)U=[uL,uR]和V=[vL,vR]，則可以構(gòu)建區(qū)間可能度模型為[15]

(19)

根據(jù)式(19)，區(qū)間可能度的主要特性如下：① 0≤P(U≤V)≤1成立；② 若P(U≤V)=P(V≤U)，則同時(shí)有uL=vL，uR=vR成立；③P(U≤V)+P(V≤U)=1成立。

在此基礎(chǔ)上，定義區(qū)間數(shù)個(gè)體排序方法。對(duì)區(qū)間數(shù)U=[uL,uR]和V=[vL,vR]，若P(U≤V)≥0.5，則稱U不大于V；若P(U≤V)≤0.5， 則稱U不小于V；若P(U≤V)>0.5，則稱U小于V；若P(U≤V)<0.5，則稱U大于V。

因此，若染色體Y1對(duì)應(yīng)的期望效果實(shí)現(xiàn)概率分別為P1{d1(tT+1)}和P1{d2(tT+1)}，染色體Y2對(duì)應(yīng)的期望效果實(shí)現(xiàn)概率分別為P2{d1(tT+1)}和P2{d2(tT+1)}。

1) 若滿足P1{d1(tT+1)}≥P2{d1(tT+1)}且P1{d2(tT+1)}≥于P2{d2(tT+1)}，與此同時(shí)，若滿足P1{d1(tT+1)}>P2{d1(tT+1)}或P1{d2(tT+1)}>P2{d2(tT+1)}，稱Y1優(yōu)于Y2，即有Y1?Y2。

2) 若滿足P1{d1(tT+1)}≤P2{d1(tT+1)}且P1{d2(tT+1)}≤P2{d2(tT+1)}，與此同時(shí)，若滿足P1{d1(tT+1)}

3) 當(dāng)Y1既不優(yōu)于，也不劣于Y2時(shí)，稱Y1等價(jià)于Y2，即有Y1～Y2。

改進(jìn)NSGA-II算法搜索目的，是通過多次迭代尋優(yōu)，搜索到優(yōu)于其他所有個(gè)體的個(gè)體集合。

4) 基于期望值和寬度值的區(qū)間數(shù)個(gè)體擁擠距離計(jì)算

在改進(jìn)NSGA-II算法中，由于規(guī)模限制，某一等級(jí)的染色體無法全部進(jìn)入外部檔案，需要根據(jù)個(gè)體間擁擠距離計(jì)算結(jié)果，排除擁擠距離較小的個(gè)體。因此，對(duì)區(qū)間數(shù)距離計(jì)算主要采用基于期望值和寬度值的廣義EW距離計(jì)算方法[16]。

dEW(U,V)=

p≥1

(20)

式中：一般取p=2；E(U)=(uL+uR)/2和W(U)=(uR-uL)/2分別為區(qū)間數(shù)U的期望值和寬度值；E(V)和W(V)的計(jì)算方法類似。

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

4.1 仿真案例設(shè)計(jì)

空中作戰(zhàn)任務(wù)類型眾多，以離岸島嶼攻擊任務(wù)為例。假定敵方在某離岸島嶼構(gòu)建完整作戰(zhàn)防御體系，敵方重要目標(biāo)主要包括作戰(zhàn)指揮中心、雷達(dá)陣地、彈藥庫、機(jī)場(chǎng)以及港口等。我方作戰(zhàn)行動(dòng)預(yù)期是集中各類作戰(zhàn)力量，摧毀敵方關(guān)鍵作戰(zhàn)目標(biāo)，便于下一步奪取島嶼控制權(quán)。

在作戰(zhàn)行動(dòng)方面，令空中作戰(zhàn)編隊(duì)可采取行動(dòng)集如下。a1：對(duì)敵方空中作戰(zhàn)編隊(duì)實(shí)施空對(duì)空攻擊；a2：對(duì)敵方水面艦艇實(shí)施空對(duì)海攻擊；a3：對(duì)敵方固定預(yù)定目標(biāo)實(shí)施空對(duì)地攻擊；a4：對(duì)影響固定預(yù)定目標(biāo)攻擊的前序固定非預(yù)定目標(biāo)，實(shí)施空對(duì)地攻擊；a5：對(duì)敵方移動(dòng)預(yù)定目標(biāo)實(shí)施空對(duì)地攻擊；a6：對(duì)影響移動(dòng)預(yù)定目標(biāo)攻擊的前序移動(dòng)非預(yù)定目標(biāo)，實(shí)施空對(duì)地攻擊；a7：作戰(zhàn)信息支援；a8：空中截?fù)糇鲬?zhàn)；a9：對(duì)敵電子干擾；a10：空中加油。

在外部事件方面，由作戰(zhàn)專家根據(jù)作戰(zhàn)知識(shí)或作戰(zhàn)歷史數(shù)據(jù)給出事件類型和出現(xiàn)概率，可能的外部事件如下。b1：敵方空中作戰(zhàn)編隊(duì)進(jìn)行空中攔截；b2：敵方水面艦艇編隊(duì)進(jìn)行對(duì)空攔截；b3：敵方地面防空系統(tǒng)進(jìn)行防空作戰(zhàn)；b4：敵方對(duì)我進(jìn)行電子干擾；b5：島外增援空中作戰(zhàn)編隊(duì)參與作戰(zhàn)。

在期望效果方面，主要包括兩類。d1：空中作戰(zhàn)編隊(duì)成功完成離岸島嶼攻擊任務(wù)；d2：空中作戰(zhàn)編隊(duì)任務(wù)執(zhí)行中戰(zhàn)損程度。

在中間效果方面，由我方作戰(zhàn)行動(dòng)和外部事件共同作用生成，包括如下。c1：空對(duì)空攻擊任務(wù)執(zhí)行效果；c2：空對(duì)海攻擊任務(wù)執(zhí)行效果；c3：對(duì)影響預(yù)定目標(biāo)攻擊的前序非預(yù)定目標(biāo)攻擊任務(wù)執(zhí)行效果；c4：空中作戰(zhàn)編隊(duì)攻擊預(yù)定目標(biāo)前空中集結(jié)；c5：對(duì)預(yù)定目標(biāo)攻擊任務(wù)執(zhí)行效果；c6：空中作戰(zhàn)編隊(duì)返航空中集結(jié)。

根據(jù)作戰(zhàn)專家分析，空中作戰(zhàn)編隊(duì)執(zhí)行離岸島嶼攻擊任務(wù)，可以分為6個(gè)作戰(zhàn)階段：①t0～t1階段，對(duì)敵方空中攔截作戰(zhàn)編隊(duì)進(jìn)行截?fù)?；②t1～t2階段，對(duì)敵方海面艦艇進(jìn)行壓制； ③t2～t3階段，對(duì)敵方前序固定或移動(dòng)非預(yù)定目標(biāo)進(jìn)行攻擊；④t3～t4階段，經(jīng)過空中加油后，進(jìn)行預(yù)定目標(biāo)攻擊前的空中集結(jié)；⑤t4～t5階段，對(duì)敵方固定或移動(dòng)預(yù)定目標(biāo)進(jìn)行攻擊；⑥t5～t6階段，對(duì)敵方島外增援空中作戰(zhàn)編隊(duì)進(jìn)行截?fù)艉螅庩?duì)返航。

圖5 離岸島嶼攻擊任務(wù)DINs模型Fig.5 DINs model of offshore island attack mission

表1為經(jīng)過一致性檢驗(yàn)的外部事件出現(xiàn)概率。表2為根據(jù)專家知識(shí)，考慮作戰(zhàn)資源和規(guī)則約束，給出的各作戰(zhàn)階段行動(dòng)可選策略[11]。

表1 外部事件(EE)出現(xiàn)概率Table 1 Occurrence probabilities of EE

表2 各作戰(zhàn)階段的可選策略Table 2 Alternative strategies for all phases

4.2 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證模型正確性和算法有效性、優(yōu)越性，在CPU配置為Intel(R) Core(TM) i3 2.27 GHz的計(jì)算機(jī)上，基于MATLAB R2010a進(jìn)行多組仿真實(shí)驗(yàn)。其中，實(shí)驗(yàn)1驗(yàn)證改進(jìn)Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)法的有效性；實(shí)驗(yàn)2驗(yàn)證目標(biāo)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)概率與各關(guān)鍵參數(shù)相關(guān)關(guān)系理論分析的正確性；實(shí)驗(yàn)3和4分別驗(yàn)證改進(jìn)NSGA-II算法的有效性和優(yōu)越性。

表3為根據(jù)專家知識(shí)給出的基準(zhǔn)概率(bp)，表4為根據(jù)專家知識(shí)，給出的h值和g值取值情況。

采用Kendall協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)法對(duì)h值進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，具有最高權(quán)威度專家組集合為{z1,z2,z3,z6}，生成的最終h值分別為[0.36,0.44]、[0.65, 0.72]、[-0.89,-0.78]、[-0.82,-0.77]、 [0.52,0.67]、[0.58,0.67]、[-0.69,-0.59]、[-0.65,-0.57]、[0.41,0.51]、[0.25,0.38]、[-0.84,-0.69]、[0.26,0.35]、[0.52,0.59]、 [0.51,0.62]、[0.66,0.78]、[0.20,0.31]、 [0.51,0.63]、[0.36,0.46]、[0.70,0.82]、 [0.37,0.44]、[-0.49,-0.39]、[0.37,0.47]、[0.28,0.40]、[-0.72,-0.58]、[0.23, 0.30]。

當(dāng)對(duì)g值進(jìn)行一致性檢驗(yàn)生成時(shí)，具有最高權(quán)威度專家組集合為{z1,z2,z3,z5}，生成的最終g值分別為[-0.55,-0.49]、[-0.68,-0.55]、 [0.23,0.31]、[0.44,0.57]、[-0.40,-0.31]、[-0.66,-0.59]、[0.61,0.71]、[0.42,0.50]、[-0.82,-0.70]、[-0.72,-0.64]、[0.38, 0.48]、[-0.36,-0.23]、[-0.58,-0.49]、 [-0.45,-0.35]、[-0.28,-0.19]、[-0.43,-0.37]、[-0.56,-0.48]、[-0.54,-0.47]、 [-0.56,-0.44]、[-0.33,-0.19]、[0.30, 0.37]、[-0.74,-0.63]、[-0.75,-0.68]、 [0.61,0.71]、[-0.67,-0.56]。

當(dāng)對(duì)bp值進(jìn)行一致性檢驗(yàn)生成時(shí)，具有最高權(quán)威度專家組集合為{z1,z2,z3,z5}，生成的最終bp值分別為[0.21,0.30]、[0.55,0.65]、[0.31,0.42]、[0.56,0.63]、[0.41,0.54]、[0.53,0.64]、[0.36,0.47]、[0.67,0.75]。

表3 各專家給出的基準(zhǔn)概率(bp)取值情況Table 3 Values of bp given by all experts

表4 各專家給出的h值和g值取值情況Table 4 h and g values given by all experts

圖6為期望效果實(shí)現(xiàn)概率隨外部事件出現(xiàn)概率、基準(zhǔn)概率和影響強(qiáng)度值的變化情況。從圖6可以看出，d1和d2的實(shí)現(xiàn)概率與外部事件出現(xiàn)概率成反比，與基準(zhǔn)概率和影響強(qiáng)度值成正比，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

仿真實(shí)驗(yàn)3為驗(yàn)證改進(jìn)NSGA-II算法的有效性，利用相應(yīng)算例參數(shù)，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。其中，本文算法的最大迭代次數(shù)gen=100，種群規(guī)模sizepop=30，交叉概率pc=0.9，變異概率pm=0.1。

仿真實(shí)驗(yàn)4為驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，將其與多目標(biāo)離散人工蜂群(Multi-Objective Discrete Artificial Bee Colony, MODABC)算法[17]和多目標(biāo)離散粒子群(Multi-Objective Discrete Particle

圖6 期望效果(DEs)實(shí)現(xiàn)概率隨各關(guān)鍵參數(shù)變化情況Fig.6 Change in DEs realization probabilities with each key parameter

圖7 典型Pareto最優(yōu)解Fig.7 Typical Pareto optimal solution

Swarm Optimization, MODPSO)算法[18]進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比指標(biāo)采用衡量多目標(biāo)優(yōu)化算法的覆蓋性指標(biāo)、均勻性指標(biāo)和寬廣性指標(biāo)[19]，其中，覆蓋性指標(biāo)和寬廣性指標(biāo)為效益型指標(biāo)，越大越好；均勻性指標(biāo)為成本型指標(biāo)，越小越好。對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行歸一后計(jì)算指標(biāo)值，各算法均運(yùn)行20次，取20次運(yùn)行結(jié)果平均值進(jìn)行對(duì)比。

圖8為本文算法與MODABC算法對(duì)比情況。圖9為本文算法與MODPSO算法對(duì)比情況。

從圖8可以看出，與MODABC算法相比，本文算法在覆蓋性指標(biāo)和均勻性指標(biāo)上都要更優(yōu)，在寬廣性指標(biāo)上，在大多數(shù)迭代次數(shù)下，均更優(yōu)。從圖9可以看出，與MODPSO算法相比，本文算法在覆蓋性指標(biāo)和均勻性指標(biāo)上都要更優(yōu)，在寬廣性指標(biāo)上，劣于MODPSO算法。因此，相比于其他2種對(duì)比算法，本文算法總體上較優(yōu)。

圖8 改進(jìn)NSGA-II算法與MODABC算法的對(duì)比Fig.8 Comparison between improved NSGA-II algorithm and MODABC algorithm

圖9 改進(jìn)NSGA-II算法與MODPSO算法的對(duì)比Fig.9 Comparison between improved NSGA-II algorithm and MODPSO algorithm

5 結(jié) 論

空中作戰(zhàn)COA設(shè)計(jì)過程中，存在大量不確定性，為了提高COA設(shè)計(jì)的高效性和魯棒性，需要充分考慮這種不確定性。本文針對(duì)其中的參數(shù)不確定性，基于區(qū)間優(yōu)化思想構(gòu)建問題模型，在關(guān)鍵參數(shù)確定過程中引入改進(jìn)Kendell協(xié)和系數(shù)檢驗(yàn)法進(jìn)行專家知識(shí)的一致性檢驗(yàn)，定量分析目標(biāo)節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)概率與各關(guān)鍵參數(shù)的相關(guān)關(guān)系，進(jìn)而采用改進(jìn)NSGA-II算法對(duì)模型進(jìn)行求解。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出方法是有效的，且相比其他算法，具有優(yōu)越性。本文研究對(duì)于考慮參數(shù)區(qū)間性的空中作戰(zhàn)COA設(shè)計(jì)問題具有一定參考價(jià)值，下一步，可以將事件隨機(jī)性、決策模糊性等不確定性[20-21]引入空中作戰(zhàn)COA優(yōu)選。

附錄A:

定理1若父節(jié)點(diǎn)A、C對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有促進(jìn)作用，父節(jié)點(diǎn)B對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有抑制作用，則子節(jié)點(diǎn)D與父節(jié)點(diǎn)A、C呈正相關(guān)關(guān)系。

證明取簡(jiǎn)單情形，假定父節(jié)點(diǎn)集合為{a1,b1,c1}，對(duì)于子節(jié)點(diǎn)d1，共有8種組合場(chǎng)景，包括{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}、{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}。

以父節(jié)點(diǎn)a1為例，定義只有a1狀態(tài)不同，b1和c1狀態(tài)相同的兩個(gè)場(chǎng)景，為一對(duì)場(chǎng)景對(duì)。例如，{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}即為一對(duì)場(chǎng)景對(duì)；同理，{d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}也為一對(duì)場(chǎng)景對(duì)。

對(duì)于場(chǎng)景對(duì){d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}，在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，影響強(qiáng)度值取為h(a1)>0、h(b1)≤0和h(c1)>0，分別進(jìn)行正、負(fù)影響強(qiáng)度聚合，有PI(a1,b1,c1)=1-[(1-h(a1))×(1-h(c1))]，NI(a1,b1,c1)=1-(1+h(b1))成立。類似地，在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，影響強(qiáng)度值取為g(a1)≤0、h(b1)≤0和h(c1)>0，分別進(jìn)行正、負(fù)影響強(qiáng)度聚合，則同樣地，有PI(a1,b1,c1)=1-(1-h(c1))，NI(a1,b1,c1)=1-[(1+h(b1))×(1+g(a1))]成立。

當(dāng)P(a1)=x,0≤x≤1時(shí)，有P(a1)=1-x。根據(jù)式(18)，P(d1)在上述場(chǎng)景對(duì)下的部分項(xiàng)P(d1|b1,c1)可以表示為

P(d1|b1,c1)=P(a1)×P(b1)×P(c1)×

P(d1|a1,b1,c1)+P(a1)×P(b1)×

P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)

(A1)

式中：P(d1|a1,b1,c1)和P(d1|a1,b1,c1)的計(jì)算主要根據(jù)式(14)～式(17)。

由于影響強(qiáng)度值取值范圍為[-1,1]，因此，必定有PI(a1,b1,c1)≥PI(a1,b1,c1)，NI(a1,b1,c1)≤NI(a1,b1,c1)成立。根據(jù)式(16)可知，OI與PI呈正相關(guān)關(guān)系，OI與NI呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，則有P(d1|a1,b1,c1)≥P(d1|a1,b1,c1)成立。若記S1=P(b1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，S2=P(b1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，則S1≥S2，式(A1)可簡(jiǎn)化為P(d1|b1,c1)=P(a1)×S1+P(a1)×S2。

當(dāng)P(a1)=x+Δx,Δx≥0時(shí)，有P(a1)=1-x-Δx成立，P(d1)在相應(yīng)場(chǎng)景對(duì)下的部分項(xiàng)變化量為:ΔP(d1|b1,c1)=(x+Δx)×S1+(1-x-Δx)×S2-x×S1-(1-x)×S2=Δx×(S1-S2)≥0。對(duì)于其他場(chǎng)景對(duì)，均可采用以上證明過程進(jìn)行證明，且可以拓展到更復(fù)雜情形。因此，子節(jié)點(diǎn)D與父節(jié)點(diǎn)A呈正相關(guān)關(guān)系；同樣地，可以證明，子節(jié)點(diǎn)D與父節(jié)點(diǎn)C呈正相關(guān)關(guān)系。

定理2若父節(jié)點(diǎn)A、C對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有促進(jìn)作用，父節(jié)點(diǎn)B對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有抑制作用，則子節(jié)點(diǎn)D與父節(jié)點(diǎn)B呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

證明同樣以定理1證明過程中的簡(jiǎn)單情形為例，對(duì)于場(chǎng)景對(duì){d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}，在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，影響強(qiáng)度、PI和OI取值情況與定理1中相同。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，影響強(qiáng)度值取為h(a1)>0、g(b1)>0和h(c1)>0，分別進(jìn)行正、負(fù)影響強(qiáng)度聚合，同樣地，有PI(a1,b1,c1)=1-[(1-h(a1))×(1-g(b1))×(1-h(c1))]，NI(a1,b1,c1)=0。

當(dāng)P(b1)=y,0≤y≤1時(shí)，有P(b1)=1-y。根據(jù)式(18)，P(d1)在上述場(chǎng)景對(duì)下的部分項(xiàng)P(d1|a1,c1)可以表示為

P(d1|a1,c1)=P(b1)×P(a1)×P(c1)×

P(d1|a1,b1,c1)+P(b1)×P(a1)×

P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)

(A2)

由于影響強(qiáng)度值取值范圍為[-1,1]，因此，必有PI(a1,b1,c1)≤PI(a1,b1,c1)，NI(a1,b1,c1)≥NI(a1,b1,c1)成立。根據(jù)OI與PI、NI的相關(guān)關(guān)系，則有P(d1|a1,b1,c1)≤P(d1|a1,b1,c1)成立。若記S3=P(a1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，S4=P(a1)×P(c1)×P(d1|a1,b1,c1)，則S3≤S4，式(A2)可簡(jiǎn)化為P(d1|a1,c1)=P(b1)×S3+P(b1)×S4。

當(dāng)P(b1)=y+Δy,Δy≥0時(shí)，有P(b1)=1-y-Δy成立，P(d1)在相應(yīng)場(chǎng)景對(duì)下的部分項(xiàng)變化量ΔP(d1|a1,c1)=(y+Δy)×S3+(1-y-Δy)×S4-y×S3-(1-y)×S4=Δy×(S3-S4)≤0。對(duì)于其他場(chǎng)景對(duì)，均可采用以上證明過程進(jìn)行證明，且可以拓展到更復(fù)雜情形。因此，子節(jié)點(diǎn)D與父節(jié)點(diǎn)B呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

定理3若父節(jié)點(diǎn)A、C對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有促進(jìn)作用，父節(jié)點(diǎn)B對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有抑制作用，則子節(jié)點(diǎn)D與父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度h值呈正相關(guān)關(guān)系。

證明同樣以定理1證明過程中的簡(jiǎn)單情形為例，對(duì)于場(chǎng)景對(duì){d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}，影響強(qiáng)度、PI以及OI的取值情況與定理1中相同。

首先，分析起促進(jìn)作用父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度h值對(duì)子節(jié)點(diǎn)D實(shí)現(xiàn)概率的影響。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)h(c1)增大時(shí)，則PI(a1,b1,c1)也增大，進(jìn)而導(dǎo)致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)h(c1)增大時(shí)，則PI(a1,b1,c1)也增大，同樣進(jìn)而導(dǎo)致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。因此，在該場(chǎng)景對(duì)下，根據(jù)式(18)，P(d1)隨之增大。對(duì)于其他場(chǎng)景對(duì)，均可采用以上證明過程進(jìn)行證明，且可以拓展到更復(fù)雜情形。

然后，分析起抑制作用父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度h值對(duì)子節(jié)點(diǎn)D實(shí)現(xiàn)概率的影響。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)h(b1)增大時(shí)，則NI(a1,b1,c1)減小，進(jìn)而導(dǎo)致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。類似地，在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)h(b1)增大時(shí)，則NI(a1,b1,c1)減小，進(jìn)而使OI和P(d1|a1,b1,c1)增大。因此，在該場(chǎng)景對(duì)下，根據(jù)式(18)，P(d1)隨之增大。對(duì)于其他場(chǎng)景對(duì)，均可采用以上證明過程進(jìn)行證明，且可以拓展到更復(fù)雜情形。

綜上，子節(jié)點(diǎn)與所有父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度h值呈正相關(guān)關(guān)系。

定理4若父節(jié)點(diǎn)A、C對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有促進(jìn)作用，父節(jié)點(diǎn)B對(duì)子節(jié)點(diǎn)D有抑制作用，則子節(jié)點(diǎn)D與父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度g值呈正相關(guān)關(guān)系。

證明同樣以定理1證明過程中的簡(jiǎn)單情形為例，以場(chǎng)景對(duì){d1|a1,b1,c1}和{d1|a1,b1,c1}為例。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，影響強(qiáng)度值取為g(a1)≤0、g(b1)>0和h(c1)>0，分別進(jìn)行正、負(fù)影響強(qiáng)度聚合，則有PI(a1,b1,c1)=1-[(1-g(b1))×(1-h(c1))]，NI(a1,b1,c1)=1-(1+g(a1))成立。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，影響強(qiáng)度值取為g(a1)≤0、g(b1)>0和g(c1)≤0，進(jìn)行正、負(fù)影響強(qiáng)度聚合，有PI(a1,b1,c1)=1-(1-g(b1))，NI(a1,b1,c1)=1-[(1+g(a1))×(1+g(c1))]

首先，分析起促進(jìn)作用父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度g值對(duì)子節(jié)點(diǎn)D實(shí)現(xiàn)概率的影響。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)g(a1)增大時(shí)，NI(a1,b1,c1)減小，進(jìn)而導(dǎo)致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)g(a1)增大時(shí)，NI(a1,b1,c1)減小，同樣進(jìn)一步導(dǎo)致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。因此，在該場(chǎng)景對(duì)下，根據(jù)式(18)，P(d1)隨之增大。對(duì)于其他場(chǎng)景對(duì)，均可采用以上證明過程進(jìn)行證明，且可以拓展到更復(fù)雜情形。

然后，分析起抑制作用父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度g值對(duì)子節(jié)點(diǎn)D實(shí)現(xiàn)概率的影響。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)g(a1)增大時(shí)，PI(a1,b1,c1)也增大，進(jìn)而導(dǎo)致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。在場(chǎng)景{d1|a1,b1,c1}下，當(dāng)g(a1)增大時(shí)，則PI(a1,b1,c1)隨之增大，進(jìn)而導(dǎo)致OI和P(d1|a1,b1,c1)的增大。因此，在該場(chǎng)景對(duì)下，根據(jù)式(18)，P(d1)隨之增大。對(duì)于其他場(chǎng)景對(duì)，均可采用以上證明過程進(jìn)行證明，且可以拓展到更復(fù)雜情形。

綜上，子節(jié)點(diǎn)與所有父節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度g值呈正相關(guān)關(guān)系。