王帥磊，周紹磊，代飛揚(yáng)，劉偉，閆實(shí)

（海軍航空大學(xué)，煙臺(tái)264001）

姿態(tài)協(xié)同控制是多航天器系統(tǒng)中的重要技術(shù)之一，廣泛應(yīng)用在如航天器編隊(duì)飛行等領(lǐng)域［1-4］。近年來(lái)，研究人員對(duì)這一重要問(wèn)題展開(kāi)了深入的研究。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)所有航天器的姿態(tài)和角速度均達(dá)到一致時(shí)，稱多航天器系統(tǒng)達(dá)到了姿態(tài)協(xié)同。

現(xiàn)有研究從多個(gè)方面對(duì)多航天器姿態(tài)協(xié)同控制問(wèn)題進(jìn)行了分析。對(duì)于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)的多航天器系統(tǒng)，Cai和Huang提出了一種分布式的觀測(cè)器對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并且對(duì)角速度進(jìn)行了補(bǔ)償［5］，考慮到系統(tǒng)中存在未知參數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造了分布式的自適應(yīng)算法以使誤差系統(tǒng)穩(wěn)定［6］；此外，針對(duì)外部擾動(dòng)提出了自適應(yīng)的處理方法［7］。文獻(xiàn)［8］在SO（3）模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種時(shí)變?cè)鲆鏀U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，并根據(jù)航天器之間的相對(duì)姿態(tài)構(gòu)造了基于旋轉(zhuǎn)矩陣的控制輸入。對(duì)于聯(lián)合連通拓?fù)渖系亩嗪教炱飨到y(tǒng)，Liu和Huang證明了存在一種分布式觀測(cè)器對(duì)目標(biāo)進(jìn)行估計(jì)［9］，Lu和Liu也進(jìn)行了類似的研究［10］，并且在文獻(xiàn)［9-10］中，系統(tǒng)拓?fù)涠际怯邢虻摹a等對(duì)聯(lián)合連通拓?fù)渖系念I(lǐng)導(dǎo)-跟隨系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了滑模變量和分布式的觀測(cè)器對(duì)跟隨者進(jìn)行估計(jì)［11］。對(duì)于無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的多航天器系統(tǒng)，Huang等同時(shí)考慮了執(zhí)行器故障及飽和約束，并設(shè)計(jì)了一種補(bǔ)償方法［12］。文獻(xiàn)［13］對(duì)帶有機(jī)械臂的空間機(jī)器人，設(shè)計(jì)了一種衛(wèi)星基座、姿態(tài)與機(jī)械臂一體化的控制器。文獻(xiàn)［14］對(duì)電磁航天器編隊(duì)?wèi)彝?wèn)題，構(gòu)造了包含多個(gè)影響因素的不確定系統(tǒng)，對(duì)軌道姿態(tài)進(jìn)行解耦，能夠?qū)崿F(xiàn)高精度懸停。

為了節(jié)約系統(tǒng)的通信和計(jì)算資源，降低航天器間收發(fā)信息的頻率，事件觸發(fā)機(jī)制被引入到了航天器姿態(tài)協(xié)同控制方法中［4，15-17］。在事件觸發(fā)機(jī)制下，需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的事件觸發(fā)函數(shù)，并且系統(tǒng)內(nèi)的通信交互僅在事件觸發(fā)函數(shù)被滿足時(shí)才會(huì)執(zhí)行，于是連續(xù)的系統(tǒng)通信被轉(zhuǎn)化為不連續(xù)的間斷通信，從而顯著節(jié)約了系統(tǒng)的能源和資源。在文獻(xiàn)［4］中，提出了一種分布式的事件觸發(fā)控制器以處理執(zhí)行器的故障，并同時(shí)考慮了外部擾動(dòng)。Weng和Yue在領(lǐng)導(dǎo)-跟隨結(jié)構(gòu)下，提出了一種分布式的觸發(fā)機(jī)制，能夠通過(guò)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)構(gòu)造一個(gè)凸包，并使所有跟隨者的狀態(tài)收斂到該凸包中［15］。Zhang等在無(wú)向拓?fù)渖咸岢隽艘环N依賴當(dāng)前狀態(tài)的控制律，其特別之處在于：觸發(fā)函數(shù)下一次被滿足的時(shí)刻可以根據(jù)航天器的當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)［16］。Xu等構(gòu)造了一種自適應(yīng)的滑?？刂品椒ǎ軌蛞龑?dǎo)航天器跟隨預(yù)先設(shè)計(jì)的姿態(tài)軌跡，并同時(shí)考慮了慣性不確定性及外部擾動(dòng)［17］。針對(duì)SAR衛(wèi)星，F(xiàn)u等提出了2種帶有時(shí)滯的基于終端滑模的控制律［18］。

大多數(shù)現(xiàn)有研究都致力于使多航天器的姿態(tài)收斂到某一個(gè)確定的時(shí)不變或時(shí)變的姿態(tài)。而隨著技術(shù)的發(fā)展，以及多航天器越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，在復(fù)雜的應(yīng)用場(chǎng)景中，對(duì)航天器的姿態(tài)可能有不同的需求，即要求一部分航天器保持同一姿態(tài)，另一部分航天器保持另一姿態(tài)。例如，在衛(wèi)星編隊(duì)監(jiān)控目標(biāo)時(shí)，由于它們分布在空間中的不同位置，那么可以劃分為若干個(gè)不同的分組，每個(gè)分組內(nèi)部的衛(wèi)星能夠調(diào)整自身姿態(tài)以實(shí)現(xiàn)更好的觀測(cè)。這種包含多個(gè)分組并使每個(gè)分組都達(dá)到姿態(tài)協(xié)同的情況稱為分組姿態(tài)協(xié)同。對(duì)于這種分組的多航天器系統(tǒng)，文獻(xiàn)［19］在無(wú)向拓?fù)渖弦肓朔纸M一致概念，所設(shè)計(jì)的控制輸入能夠使系統(tǒng)漸近達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同，但該研究的結(jié)論僅適用于包含2個(gè)分組的情況。文獻(xiàn)［20］進(jìn)一步考慮了切換拓?fù)涞那闆r，通過(guò)代換姿態(tài)和角速度變量，并對(duì)系統(tǒng)Laplacian矩陣進(jìn)行分解，將分組姿態(tài)協(xié)同控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)包含多個(gè)分組的多航天器系統(tǒng)構(gòu)造了控制輸入。Weng等對(duì)基于SO（3）模型的多分組系統(tǒng)進(jìn)行了分析，在該研究中，各個(gè)分組的領(lǐng)導(dǎo)者能夠達(dá)到反一致，并且每個(gè)分組內(nèi)的跟隨者都能與領(lǐng)導(dǎo)者保持一致，角速度收斂到零［21］。分組姿態(tài)協(xié)同問(wèn)題對(duì)于多航天器系統(tǒng)的應(yīng)用具有重要意義，而當(dāng)前針對(duì)該問(wèn)題的研究仍然不夠充分，這一特殊問(wèn)題可以通過(guò)引入分組一致［22-24］的概念來(lái)解決。分組一致是指：在包含若干個(gè)分組的多智能體系統(tǒng)中，每個(gè)分組內(nèi)部智能體的狀態(tài)都能達(dá)到一致，并且不同分組的一致?tīng)顟B(tài)是不同的。

由于目前相關(guān)研究仍然有限，本文致力于在分布式事件觸發(fā)機(jī)制下解決多航天器分組姿態(tài)協(xié)同控制問(wèn)題，從而減輕系統(tǒng)的通信壓力。

1 多航天器系統(tǒng)構(gòu)建

1.1 航天器姿態(tài)模型

考慮一個(gè)包含N個(gè)航天器及s個(gè)分組的系統(tǒng)。航天器按順序標(biāo)記為1，2，…，N，分組按照順序標(biāo)記為g1，g2，…，gs。每個(gè)分組內(nèi)航天器的數(shù)量為ni，并且每個(gè)航天器僅能夠唯一地被劃分到一個(gè)分組。采用修正羅德里格斯參數(shù)（Modified Rodrigues Parameters，MRP）描述航天器的姿態(tài)，以σi（t）∈R3表示航天器的姿態(tài)，并以ωi（t）∈R3表示航天器的角速度，于是航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程可以寫為

式中：ui（t）∈R3為待設(shè)計(jì)的航天器的控制輸入；矩陣J∈R3×3為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并且本文中假設(shè)所有航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均相同；算子Gi（t）定義為

式中：I3為3階單位矩陣。并定義

對(duì)任意一個(gè)三維向量x=［x1，x2，x3］T，反對(duì)稱矩陣x×表示為

對(duì)于分組gk中的航天器i，定義映射Γ（i）=gk。

1.2 系統(tǒng)無(wú)向拓?fù)?/h3>

對(duì)多航天器的無(wú)向拓?fù)洌腥缦录僭O(shè)。

假設(shè)1每個(gè)分組的內(nèi)部拓?fù)涠际沁B通的。

假設(shè)2對(duì)任意2個(gè)分組gi和gj，若這2個(gè)分組間存在邊，那么有且僅有一對(duì)節(jié)點(diǎn)k，l∈gi和另一對(duì)節(jié)點(diǎn)m，n∈gj，使得鄰接矩陣中元素akm=aln=1以及akn=alm=-1，即這2個(gè)分組滿足入度平衡［22］。

1.3 分布式事件觸發(fā)機(jī)制

分布式事件觸發(fā)機(jī)制是指：對(duì)系統(tǒng)中的每一個(gè)航天器i，都設(shè)計(jì)一個(gè)觸發(fā)函數(shù)fi（t）。若在某個(gè)時(shí)刻滿足fi（t）=0，那么航天器i將被觸發(fā)，并將其姿態(tài)和角速度信息發(fā)送給鄰居。在非觸發(fā)時(shí)刻，航天器之間不進(jìn)行通信以節(jié)省能源和資源。稱為航天器i的觸發(fā)時(shí)刻，并且該航天器所有的觸發(fā)時(shí)刻可記為序列…。在時(shí)間區(qū)間內(nèi)，控制輸入ui（t）為時(shí)變值，但僅需考慮航天器自身姿態(tài)和角速度的變化。

2 問(wèn)題描述及主要結(jié)果

2.1 控制目的

對(duì)于多航天器系統(tǒng)，分組姿態(tài)協(xié)同的定義如下。

定義1稱多航天器達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)航天器的姿態(tài)σi（t）和角速度ωi（t）滿足：

本文的目的在于：在分布式事件觸發(fā)機(jī)制下，設(shè)計(jì)一種控制輸入使多航天器達(dá)到如式（5）所定義的分組姿態(tài)協(xié)同。

2.2 控制輸入設(shè)計(jì)

由于式（1）具有較強(qiáng)的非線性，直接求解分析較為困難，為了降低分析難度，先對(duì)式（1）進(jìn)行轉(zhuǎn)換。受到文獻(xiàn)［11］的啟發(fā)，構(gòu)造輔助變量si（t）為

式中：參數(shù)μ＞0。同時(shí)可以得到

于是航天器的輔助變量誤差ei（t）為

根據(jù)輔助變量si（t）的定義可知

于是可以對(duì)航天器i設(shè)計(jì)控制輸入為

式中：參數(shù)η＞0為常數(shù)。

2.3 控制定理及分析

根據(jù)si（t）的定義可知，當(dāng)

成立時(shí)，有

成立，即當(dāng)變量si（t）達(dá)到分組一致時(shí)，等價(jià)地，多航天器能夠達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同。因此，通過(guò)分析si（t）的性質(zhì)可以等價(jià)地得到σi（t）和ωi（t）的相關(guān)結(jié)論。

在上述理論準(zhǔn)備的基礎(chǔ)上，給出分布式事件觸發(fā)機(jī)制下多航天器分組姿態(tài)控制的相關(guān)定理及分析。

定理1在分布式事件觸發(fā)機(jī)制下，若多航天器的通信拓?fù)錆M足假設(shè)1和假設(shè)2，并給定控制輸入為式（10），設(shè)計(jì)航天器的觸發(fā)函數(shù)為式（11），則在控制輸入的作用下，多航天器能夠漸近達(dá)到式（5）定義的分組姿態(tài)協(xié)同。

證明選定Lyapunov函數(shù)為

根據(jù)假設(shè)2，無(wú)向拓?fù)錆M足入度平衡，因此

于是可知

將式（18）代入式（16），V · 可以改寫為

對(duì)式（19）進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到V·為

根據(jù)輔助誤差變量ei（t）的定義，將該誤差代入式（20），可以得到

式中：

由于無(wú)向拓?fù)涞泥徑泳仃嚭蚅aplacian矩陣都是對(duì)稱矩陣，即aij=aji，因此有式（23）成立：

而式（23）意味著式（24）成立：

從而可以利用式（24）將式（22）改寫為

式中：

式中：

于是根據(jù)LaSalle不變?cè)恚?5］，多航天器系統(tǒng)的解將收斂到集合

中。而式（31）表明，當(dāng)t→∞時(shí)，總有L?I3s（t）=0成立，這意味著對(duì)于同一個(gè)分組中的航天器i和j，有si（t）=sj（t）。因此可知σi（t）=σj（t），并且有˙σi（t）=˙σj（t），即ωi（t）=ωj（t），此時(shí)多航天器達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同。證畢

注1通過(guò)分析變量si（t）的性質(zhì)可知，具有形如式（6）的動(dòng)力特性的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，從而等價(jià)地得到多航天器能夠漸近達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同的結(jié)論。在分析非線性的式（1）時(shí)，這種構(gòu)造輔助變量的方法能夠簡(jiǎn)化分析過(guò)程，降低分析難度。

在事件觸發(fā)機(jī)制下，要避免Zeno現(xiàn)象的發(fā)生。Zeno現(xiàn)象是指：某一事件在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)是無(wú)限的。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生Zeno現(xiàn)象時(shí)，說(shuō)明航天器將被無(wú)限次觸發(fā)，于是航天器間的通信是連續(xù)的，無(wú)法達(dá)到減少通信次數(shù)的目的［26］，控制輸入失效。因此，對(duì)于事件觸發(fā)機(jī)制下的控制方法，有必要分析Zeno現(xiàn)象的存在性并避免其發(fā)生。對(duì)任意一個(gè)航天器分析其是否發(fā)生Zeno現(xiàn)象，即可推廣到整個(gè)多航天器系統(tǒng)。

定理2在分布式事件觸發(fā)機(jī)制下，給定航天器的控制輸入為式（10），事件觸發(fā)函數(shù)為式（11），則系統(tǒng)內(nèi)任意一個(gè)航天器不會(huì)發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

式中：

于是可知

定義κ為

3 仿真結(jié)果與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文在分布式事件觸發(fā)機(jī)制下提出的控制輸入的有效性，構(gòu)造一個(gè)包含9個(gè)航天器及2個(gè)分組的系統(tǒng)進(jìn)行仿真。航天器按照順序標(biāo)記為1，2，…，9，并且航天器1～4組成分組g1，航天器5～9組成分組g2。多航天器的無(wú)向拓?fù)淙鐖D1所示?？梢钥闯?，該無(wú)向拓?fù)錆M足假設(shè)1和假設(shè)2。

圖1 多航天器的無(wú)向拓?fù)銯ig.1 Undirected topology of multi-spacecraft

航天器的角速度時(shí)間響應(yīng)如圖3所示。縱坐標(biāo)上角標(biāo)的意義與圖2中相同。根據(jù)圖3中的結(jié)果所示，系統(tǒng)中所有航天器的角速度最終都收斂到零，這與圖2中的姿態(tài)曲線相吻合。圖2和圖3說(shuō)明，在本文提出的控制輸入的作用下，最終多航天器達(dá)到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

圖2 航天器在3個(gè)分量上的姿態(tài)時(shí)間響應(yīng)Fig.2 Attitude time response of spacecraft on three components

圖3 航天器在3個(gè)分量上的角速度時(shí)間響應(yīng)Fig.3 Angular velocity time response of spacecraft on three components

下面對(duì)文獻(xiàn)［16］中不采用事件觸發(fā)機(jī)制的研究進(jìn)行復(fù)現(xiàn)，航天器的姿態(tài)時(shí)間響應(yīng)和角速度時(shí)間響應(yīng)分別如圖4和圖5所示。圖4和圖5中的結(jié)果顯示，在文獻(xiàn)［16］中控制輸入的作用下，多航天器也達(dá)到了靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同。

圖4 文獻(xiàn)［16］中航天器在3個(gè)分量上的姿態(tài)時(shí)間響應(yīng)Fig.4 Attitude time response of spacecraft on three components in Ref.［16］

引入分布式事件觸發(fā)機(jī)制的目的在于減少航天器間的通信次數(shù)，節(jié)約計(jì)算和通信資源。對(duì)9個(gè)航天器的觸發(fā)次數(shù)、最小時(shí)間間隔和最大時(shí)間間隔進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所得結(jié)果如表1所示。

圖5 文獻(xiàn)［16］中航天器在3個(gè)分量上的角速度時(shí)間響應(yīng)Fig.5 Angular velocity time response of spacecraft on three components in Ref.［16］

表1 觸發(fā)結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 1 Statistical triggering result

根據(jù)表1中的結(jié)果可知，盡管系統(tǒng)內(nèi)航天器的最小觸發(fā)時(shí)間間隔都較小，但仍然嚴(yán)格大于零，而最大觸發(fā)時(shí)間間隔達(dá)到了16.095 6 s。表1中的結(jié)果表明，每個(gè)航天器的觸發(fā)時(shí)間間隔與定理2是相吻合的，不會(huì)發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

圖2和圖3中對(duì)小角度初值的情況進(jìn)行了仿真，航天器的初始姿態(tài)和初始角速度數(shù)值較小，并且與2個(gè)分組最終的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度接近。下面對(duì)大角度初值的情況進(jìn)行仿真，進(jìn)一步驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的控制方法的有效性。

圖6和圖7中的仿真結(jié)果表明，在大角度初值的條件下，2個(gè)分組內(nèi)的航天器的姿態(tài)都分別達(dá)到了協(xié)同，并且所有航天器的角速度都收斂到零，因此多航天器仍然能夠達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同。分別對(duì)比圖2和圖6，以及圖3和圖7，可以看出，在大角度初值的情況下，多航天器達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同所需的時(shí)間更長(zhǎng)，并且由于初始姿態(tài)和處置角速度的值較大，2個(gè)分組的協(xié)同姿態(tài)和協(xié)同角速度間的差值也更大。

仿真結(jié)果和對(duì)比分析表明，在分布式事件觸發(fā)機(jī)制下，本文提出的控制輸入是有效的。

圖6 大角度初值條件下航天器在3個(gè)分量上的姿態(tài)時(shí)間響應(yīng)Fig.6 Attitude time response of spacecraft on three components with large initial angles

圖7 大角度初值條件下航天器在3個(gè)分量上的角速度時(shí)間響應(yīng)Fig.7 Angular velocity time response of spacecraft on three components with large initial angles

4 結(jié) 論

本文在分布式事件觸發(fā)機(jī)制下研究了多航天器分組姿態(tài)協(xié)同控制問(wèn)題。具體結(jié)論如下：

1）考慮了包含多個(gè)分組的多航天器系統(tǒng)，采用MRP描述航天器的姿態(tài)，通過(guò)構(gòu)造輔助變量，設(shè)計(jì)了分布式的控制輸入，并且控制輸入不依賴輔助變量；航天器的事件觸發(fā)函數(shù)中僅需要鄰居的輔助變量信息，因此也是分布式的。

2）假設(shè)2引入了入度平衡的概念，結(jié)合代數(shù)圖論和Lyapunov穩(wěn)定性理論說(shuō)明了建立在si（t）上的系統(tǒng)能夠漸近達(dá)到分組一致，從而等價(jià)地得到多航天器漸近達(dá)到分組姿態(tài)協(xié)同的結(jié)論，并說(shuō)明了系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生Zeno現(xiàn)象。

3）仿真結(jié)果以及與現(xiàn)有文獻(xiàn)的對(duì)比表明，本文提出的控制輸入能夠使多航天器達(dá)到靜態(tài)的分組姿態(tài)協(xié)同，并且每個(gè)航天器的最小觸發(fā)時(shí)間間隔都嚴(yán)格為正，與定理2相吻合。

由于本文考慮的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為理想狀態(tài)，后續(xù)將進(jìn)一步考慮更復(fù)雜的條件。