董新蕾，齊瑞云，*，盧山，王煥杰

（1.南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，南京211106；2.南京航空航天大學(xué) 先進(jìn)飛行器導(dǎo)航、控制與健康管理工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京211106；3.上海航天控制技術(shù)研究所，上海201109； 4.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201109）

液體燃料以其經(jīng)濟(jì)、可靠等優(yōu)勢，在航天運(yùn)載中得到了廣泛的應(yīng)用［1］。而航天器執(zhí)行的空間任務(wù)周期更長、要求更高，對液體燃料的需求量也就更多。部分充滿的液體燃料隨著航天器的機(jī)動而發(fā)生晃動，晃動的液體燃料一方面影響充液航天器的轉(zhuǎn)動慣量，另一方面對系統(tǒng)產(chǎn)生干擾力、力矩，導(dǎo)致航天器任務(wù)的執(zhí)行失敗，甚至引發(fā)航天事故［2］。所以，對液體晃動的建模及對充液航天器控制器設(shè)計的研究，十分具有工程意義。

隨著對液體晃動影響的重視，對液體晃動建模方法的研究成果也頗多。其中，等效力學(xué)模型簡單、高效，相對于其他試驗(yàn)、理論、數(shù)值仿真等研究方法，更有利于控制器的設(shè)計?，F(xiàn)有等效力學(xué)模型中，研究較為成熟且被控制系統(tǒng)設(shè)計廣泛采用的主要有單擺模型，其將晃動的液體部分等效為質(zhì)量、擺長固定的單擺，用擺角的變化描述液體的晃動行為，一旦液體晃動的幅度占充液腔體半徑的比例達(dá)到25%以上，呈現(xiàn)出大幅且非線性的特點(diǎn)，該等效模型則不再適用。此時，可用的等效力學(xué)模型主要有運(yùn)動脈動球模型［3］、多級擺模型、質(zhì)心面模型［4］等。其中，運(yùn)動脈動球模型被用在Sloshsat FLEVO（Sloshsat Facility for Liquid Experimentation and Verification On-Orbit）衛(wèi)星的控制方法研究中，不同工況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明了該模型可準(zhǔn)確地等效液體大幅晃動。

進(jìn)行充液航天器的姿態(tài)控制器設(shè)計時，主要考慮轉(zhuǎn)動慣量的不確定性及外部環(huán)境的干擾等因素，所以控制系統(tǒng)應(yīng)具有良好的自適應(yīng)性與魯棒性［5］。其研究方法主要有：①滑?？刂品椒?。其是在研究非線性系統(tǒng)時，經(jīng)常被使用的控制方法，具有魯棒性強(qiáng)、設(shè)計與實(shí)現(xiàn)簡單的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)［6］針對欠驅(qū)動系統(tǒng)，就航天器和液體晃動的狀態(tài)量設(shè)計了分層滑模面，具有鎮(zhèn)定姿態(tài)和抑制液體燃料在貯箱內(nèi)晃動的控制效果。文獻(xiàn)［7］在考慮液體大幅晃動和撓性附件振動的情況下，設(shè)計了線性滑模面，對姿態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行滑模控制，并結(jié)合自適應(yīng)算法來提高控制精度，最終實(shí)現(xiàn)了對目標(biāo)姿態(tài)的精確追蹤。文獻(xiàn)［8］將自適應(yīng)思想與終端滑模控制2種方法結(jié)合在一起，在有限時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了各狀態(tài)量的收斂，相比于一般漸近穩(wěn)定的控制方法，該方法在收斂速度上更快、精度也更高。文獻(xiàn)［9］引入輸入整成型技術(shù)，在保證控制效果的同時，有效地抑制了變量的抖震。②模糊控制方法。文獻(xiàn)［10］基于局部線性模型的加權(quán)和建立了非線性T-S模糊模型，在此基礎(chǔ)上分別設(shè)計了并行分配補(bǔ)償（Parallel Distributed Compensation，PDC）控制方法和線性二次調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）控制方法，仿真表明，PDC控制方法在控制性能和魯棒性上效果更佳。③非線性反饋控制方法。文獻(xiàn)［11-12］分別考慮液體小幅、大幅晃動的情況，基于彈簧-質(zhì)量塊模型和運(yùn)動脈動球模型，使用基于Lyapunov函數(shù)的方法，進(jìn)行反饋控制器的設(shè)計。文獻(xiàn)［13］考慮外部干擾的存在及部分未知的參數(shù)，設(shè)計了自適應(yīng)算法與非線性反饋控制方法相結(jié)合的混合控制器，獲得了較好的姿態(tài)鎮(zhèn)定效果，液體的晃動行為也逐漸平穩(wěn)。

與此同時，航天器的計算機(jī)資源有限，如果通信頻繁，不但會堵塞通信信道，也會對航天器的正常運(yùn)行、使用壽命造成惡劣的影響［14］。傳統(tǒng)的控制方法每隔固定的時間就會對信號進(jìn)行更新，但部分信號的更新是沒有必要的，這樣會造成通信的資源浪費(fèi)。而事件觸發(fā)機(jī)制只有在滿足事先設(shè)定的事件時，才會對信號進(jìn)行更新，其可以在保證控制效果的同時，顯著地降低通信頻率［15］，減輕通信負(fù)載。文獻(xiàn)［16］針對系統(tǒng)傳感器與控制器間狀態(tài)量的更新，提出了基于擾動理論的事件觸發(fā)機(jī)制，最終剛體航天器的姿態(tài)實(shí)現(xiàn)了指數(shù)型穩(wěn)定。文獻(xiàn)［17］考慮航天器系統(tǒng)存在外部干擾力矩的情況，結(jié)合反步法與逆最優(yōu)控制方法，并在控制器端引入決定控制信號更新的事件觸發(fā)機(jī)制，穩(wěn)定性證明與仿真結(jié)果都表明該方法保證了航天器系統(tǒng)所有狀態(tài)量在一定的界內(nèi)。文獻(xiàn)［18］考慮同時存在外部干擾且發(fā)生執(zhí)行器故障的情況，根據(jù)設(shè)計的事件觸發(fā)機(jī)制，提出了一種自適應(yīng)分布式協(xié)同姿態(tài)控制律，以確保航天器系統(tǒng)能夠協(xié)同追蹤上期望的姿態(tài)軌跡，在設(shè)計事件觸發(fā)機(jī)制的過程中，應(yīng)確保事件觸發(fā)間隔恒大于零，否則會看到在有限時間內(nèi)無限次事件被觸發(fā)的Zeno現(xiàn)象［19］。

本文圍繞通信資源受限、液體大幅晃動下的充液航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)展開研究。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于：①基于描述充液航天器固-液耦合特性的運(yùn)動脈動球模型，考慮液體大幅晃動產(chǎn)生的非線性干擾，采用自適應(yīng)更新與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的策略，估計干擾項(xiàng)的界并進(jìn)行補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的魯棒性。②考慮到充液航天器的通信資源有限，基于事件觸發(fā)的思想，設(shè)計了與滑模面有關(guān)的觸發(fā)閾值，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)量與滑模面之間的距離決定控制信號的更新，相比傳統(tǒng)的時間觸發(fā)機(jī)制，可有效減輕控制器與執(zhí)行器之間的通信負(fù)載，實(shí)現(xiàn)對通信資源的高效利用。③針對事件觸發(fā)與自適應(yīng)滑模的復(fù)合控制方法，設(shè)計Lyapunov函數(shù)對充液航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，證明了系統(tǒng)的狀態(tài)量將最終一致有界，而且控制輸入的更新頻率得到顯著降低，不存在Zeno現(xiàn)象，平旋機(jī)動下的仿真也驗(yàn)證了該控制策略的可行性。

1 模型描述與控制目標(biāo)

1.1 模型描述

本文用運(yùn)動脈動球模型描述充液航天器中液體的大幅晃動，將任意形狀的貯箱等效為球形貯腔，大幅晃動的液體等效為半徑不斷變化的脈動球［20］，如圖1所示。

圖1 充液航天器的模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of liquid-filled spacecraft model

在圖1中，本體坐標(biāo)系Cxyz以貯箱的幾何中心C為原點(diǎn)，相對于慣性坐標(biāo)系的角速度為Ω，平動速度為VC。航天器剛體部分的質(zhì)量為M；相對于質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣性矩陣為I。FE、TE分別為待設(shè)計的控制力、力矩；FL、TL分別為液體在貯箱內(nèi)晃動而產(chǎn)生的干擾力、力矩；rE和rL分別為FE和FL作用點(diǎn)的位置向量。任意形狀的貯箱被等效為球心在貯箱幾何中心的球形貯腔，半徑為R；其質(zhì)心的位置向量為rT。液體部分被等效為半徑R-r、質(zhì)量m、始終與貯腔保持接觸的均勻脈動球，兩者的接觸點(diǎn)為Pa。其中，r為脈動球的質(zhì)心的位置向量rS的模長，e為rS的單位向量。脈動球相對于貯箱的平動速度為VS、角速度為ωS。

下面給出充液航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)在本體坐標(biāo)系Cxyz中的動力學(xué)方程。其中，航天器剛體部分為

等效為脈動球的液體部分為

在運(yùn)動脈動球模型中，F(xiàn)L由法向力N e和摩擦力Fb組成，即

式中：ω=e×VS/r為e的轉(zhuǎn)動速度；σ為液體的表面張力；μ為液體燃料的運(yùn)動黏性系數(shù)；L=R-r為脈動球的半徑。

液體晃動的作用力矩TL的表達(dá)式為

式中：Lmin為脈動球的最小半徑，即液體的慣性張量最小時對應(yīng)的等效半徑；ωr=e·（e·ωS）為ωS沿e的分量；0≤tsr≤1為脈動球繞軸轉(zhuǎn)動和滾動轉(zhuǎn)動的權(quán)值；ρ為脈動球的密度。

本文中的“×”符號表示若a=［a1a2a3］T，則a×為a的反對稱矩陣：

本文只對充液航天器的姿態(tài)控制進(jìn)行研究，故忽略VC、V·C和式（1）的影響，對式（2）～式（9）進(jìn)行整理，獲得液體大幅晃動下的充液航天器姿態(tài)動力學(xué)方程如下：

式中：

進(jìn)一步簡化，得

式中：J為整個航天器（包括液體部分）的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，由剛體部分固有轉(zhuǎn)動慣量J0和液體晃動導(dǎo)致的時變轉(zhuǎn)動慣量ΔJ共同組成，即J=J0+ΔJ，J0=I；u=TE；d為由于液體晃動而作用在充液航天器姿態(tài)上的全部干擾力矩。

充液航天器的姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程可以表示為

1.2 控制目標(biāo)

考慮航天器實(shí)際的機(jī)動情況及下文中對控制器的研究，提出假設(shè)：

基于上述假設(shè)，針對式（13）和式（15）所描述的航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，考慮液體大幅非線性晃動，以及有限的通信資源，設(shè)計姿態(tài)控制器u，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)四元數(shù)q→［1 0 0 0］T，角速度Ω→［0 0 0］T。

2 控制器設(shè)計

圖2為本文設(shè)計的事件觸發(fā)姿態(tài)控制系統(tǒng)［15，21-22］。傳感器、控制器及執(zhí)行器通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信息融合。為了實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)通信資源的高效利用，在控制器端加入設(shè)計的事件觸發(fā)，對于傳感器測量得到的狀態(tài)量信息，在姿控模塊進(jìn)行在線計算，滿足觸發(fā)條件的控制輸入才會被傳輸?shù)綀?zhí)行器，這樣可減少控制信號傳輸對通信網(wǎng)絡(luò)的資源占用。

圖2 事件觸發(fā)機(jī)制的姿態(tài)控制系統(tǒng)框圖［15，21-22］Fig.2 Attitude control system block diagram of event-triggering mechanism［15，21-22］

首先結(jié)合控制目標(biāo)，對于單位四元數(shù)描述的姿態(tài)控制系統(tǒng)，設(shè)計滑模面為

式中：K=diag（K1，K2，K3），Ki＞0，i=1，2，3。

控制信號為

式中：v（t）為待設(shè)計的控制信號；tk指第k次觸發(fā)事件的時刻。

相比固定閾值的事件觸發(fā)機(jī)制（觸發(fā)閾值為恒定的數(shù)值，不發(fā)生改變），相對閾值的事件觸發(fā)機(jī)制（隨狀態(tài)量發(fā)生變化）可以進(jìn)一步地減小事件觸發(fā)的頻率，提高通信資源的利用率。而在滑?？刂破鞯脑O(shè)計過程中，控制輸入需要讓狀態(tài)量先收斂到滑模面上，繼而能夠收斂到平衡點(diǎn)。因此，選擇與滑模面相關(guān)的觸發(fā)閾值，既有利于控制性能的保證，又能實(shí)現(xiàn)通信資源的節(jié)約［23］。當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)量離滑模面的距離較大時，相應(yīng)地，觸發(fā)閾值也大，觸發(fā)間隔長，通信負(fù)載低；當(dāng)與滑模面的距離較小時，相應(yīng)地，觸發(fā)閾值也小，控制輸入精準(zhǔn)更新，控制精度高。故事件觸發(fā)機(jī)制為

式中：u（t）=v（tk），tk≤t＜tk+1；k1＞0；0＜α＜1；χ＞0。

對滑模面（16）求導(dǎo)，并代入式（13）和式（15）。

引入向量D，得

綜合上述不等式，可以得到

根據(jù)滑模面的定義（16）和單位四元數(shù)的性質(zhì)，得

所以

通過以上分析，基于滑?？刂婆c自適應(yīng)控制理論，設(shè)計如下控制器：

定理1針對充液航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)（13）和（15），考慮由液體晃動導(dǎo)致的轉(zhuǎn)動慣量不確定性和干擾力矩，以及有限的通信資源，在假設(shè)1、假設(shè)2的條件下，基于事件觸發(fā)機(jī)制（18），設(shè)計式（28）所示的控制律和式（29）所示的更新律，則滑模面（16）可以實(shí)現(xiàn)全局一致最終有界穩(wěn)定，從而實(shí)現(xiàn)各狀態(tài)量的追蹤誤差最終收斂在一定的界內(nèi)，并且避免Zeno現(xiàn)象的發(fā)生。

證明選取如下Lyapunov函數(shù)：

對式（30）進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到

將式（19）代入式（31），可以得到

將控制律（28）代入到式（32），可以得到

由式（43）可知，當(dāng)

將更新律（29）代入到式（34），可以得到

將觸發(fā)機(jī)制（18）代入到式（35），可以得到

定義η，0＜η＜k1（1-α），則

式中：

所以，

根據(jù)式（40），事件觸發(fā)下的自適應(yīng)滑?？刂破髂軌蚴沟谜麄€系統(tǒng)的狀態(tài)量最終一致收斂到邊界內(nèi)，其界為

基于邊界（41），定義新的Lyapunov函數(shù)：

對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，得

為證明避免Zeno現(xiàn)象，此處還需證明?k∈Z+，存在T＞0，使得tk+1-tk＞T。當(dāng)t∈［tk，tk+1）時，

式中：

對控制輸入v進(jìn)行求導(dǎo)，得

所以

故式（47）可以表示為

又因?yàn)?/p>

故ξT＞k1χ，T＞k1χ/ξ，即事件觸發(fā)間隔嚴(yán)格恒大于0，所以能夠排除Zeno現(xiàn)象的出現(xiàn)，不會在有限時間內(nèi)觸發(fā)無限次事件。證畢

3 仿真校驗(yàn)

本文以Sloshsat衛(wèi)星為仿真對象，在初始時刻繞其最大慣性主軸旋轉(zhuǎn)。在0～33 s內(nèi)施加力矩，使得其繞中間慣性主軸旋轉(zhuǎn)［20］。這種平旋機(jī)動下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)角速度較高且姿態(tài)變化較快，很容易激起液體的大幅晃動。在33 s后開始施加控制力矩，分別對自適應(yīng)滑?？刂撇呗院捅疚奶岢龅氖录|發(fā)與自適應(yīng)滑模的復(fù)合控制策略展開仿真對比。

2）脈動球的參數(shù)取值如下：m=33.5 kg，VS=［0 0 0］Tm/s，ωS=［0 0 0］Trad/s，RS=［0.1 0 0］Tm，R=0.351m，Lmin=0.22m。

2種控制方法下的充液航天器角速度、姿態(tài)四元數(shù)、控制力矩及事件觸發(fā)間隔的變化曲線分別如圖3～圖6所示。

從圖3的角速度變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，2種控制策略下的角速度變化趨勢一致，收斂相同、精度相似，約2×10-4rad/s。由于事件觸發(fā)機(jī)制的存在，角速度變化的平滑性降低。

從圖4中的姿態(tài)四元數(shù)變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，2種控制策略下，姿態(tài)四元數(shù)均在100 s左右收斂，精度約為5×10-4。

圖3 航天器的角速度變化曲線Fig.3 Curves of spacecraft angular velocities

圖4 航天器的姿態(tài)四元數(shù)變化曲線Fig.4 Curves of spacecraft attitude quaternions

圖5 航天器的控制力矩變化曲線Fig.5 Curves of spacecraft control torques

從圖5和圖6中可以看出，事件觸發(fā)與自適應(yīng)滑模的復(fù)合控制策略，只在滿足事件觸發(fā)條件的時刻更新控制信號，其他時刻控制量保持不變。在時長300 s、步長0.01 s的仿真中，控制輸入從第33 s開始更新，共計觸發(fā)事件878次，平均每0.32 s觸發(fā)一次事件，所需通信資源只有自適應(yīng)滑模控制策略的4%不到，就可實(shí)現(xiàn)對航天器姿態(tài)系統(tǒng)的有效控制。

圖6 事件觸發(fā)的時間間隔Fig.6 Event-triggering interval

4 結(jié) 論

1）充液航天器系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合、非線性的特點(diǎn)，在液體大幅晃動時更為顯著?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制與自適應(yīng)更新律相結(jié)合的策略，在液體大幅晃動時，依然能實(shí)現(xiàn)充液航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的各狀態(tài)量的一致有界性。

2）在控制器與執(zhí)行器之間引入事件觸發(fā)機(jī)制，控制信號的更新閾值與滑模面有關(guān)，兼顧對控制精度和通信資源利用率的考量。可有效減少控制輸入的更新次數(shù)，釋放更多的通信資源。

3）基于Lyapunov函數(shù)的理論分析與平旋機(jī)動下的仿真，表明本文提出的控制器既能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)各狀態(tài)量收斂至較小的界內(nèi)，也能有效地減小通信頻率，避免對通信資源的浪費(fèi)。