季浩然，黃頔

（1.武漢大學(xué) 遙感信息工程學(xué)院 宇航科學(xué)與技術(shù)研究院，武漢430072；2.國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙410073）

衛(wèi)星在軌運(yùn)行過(guò)程中，根據(jù)所執(zhí)行任務(wù)的不同會(huì)采用不同的姿態(tài)模式，如地面目標(biāo)凝視［1］、對(duì)空間目標(biāo)指向［2］、對(duì)地定向［3］、對(duì)日定向［4］等。其中，對(duì)日定向是衛(wèi)星常用的姿態(tài)控制任務(wù)模式之一［5］，其通過(guò)設(shè)定衛(wèi)星的期望姿態(tài)，使衛(wèi)星太陽(yáng)能電池陣平面充分對(duì)日以提供充足的能源。

然而，對(duì)日定向只限制了衛(wèi)星姿態(tài)的2個(gè)自由度［6］，因此，在衛(wèi)星對(duì)日定向的同時(shí)，還可以利用衛(wèi)星姿態(tài)的另一個(gè)自由度，設(shè)定適當(dāng)約束以滿足衛(wèi)星其他組件、設(shè)備或載荷對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的需求［7］。根據(jù)所附加約束的不同，對(duì)日定向又可以分為對(duì)日定向自旋穩(wěn)定、以衛(wèi)星速度方向偏差為約束的對(duì)日定向、以對(duì)空間目標(biāo)指向偏差為約束的對(duì)日定向、以對(duì)地指向偏差為約束的對(duì)日定向等［8］。

其中，以對(duì)地指向偏差為約束的對(duì)日定向模式是一種較常見(jiàn)的衛(wèi)星對(duì)日定向模式，其既能滿足衛(wèi)星對(duì)日定向的充電需求，又能保證天線、相機(jī)等重要組件具備指向地面或地表的工作條件［9-11］。

然而，傳統(tǒng)的以對(duì)地指向偏差為約束的對(duì)日定向方法［12-15］，要求衛(wèi)星期望對(duì)日軸嚴(yán)格指向太陽(yáng)方向，同時(shí)將期望對(duì)地軸置于日-地-衛(wèi)星所確定的平面內(nèi)且與衛(wèi)星-地心連線方向的夾角最小。依據(jù)這樣的傳統(tǒng)方法，在衛(wèi)星-太陽(yáng)連線和衛(wèi)星-地球連線達(dá)到極值的前后一段短時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星期望姿態(tài)會(huì)發(fā)生大幅度翻轉(zhuǎn)。甚至當(dāng)日-地-星共線時(shí)，還存在奇異現(xiàn)象。采用這種傳統(tǒng)方法，衛(wèi)星期望姿態(tài)不能平穩(wěn)變化，不利于衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的安全穩(wěn)定，亦使得姿態(tài)控制系統(tǒng)頻繁高功耗工作，對(duì)衛(wèi)星壽命產(chǎn)生損害。

為克服現(xiàn)有的同類方法將會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星期望姿態(tài)在短時(shí)間內(nèi)大幅度翻轉(zhuǎn)的奇異現(xiàn)象，本文提出一種平穩(wěn)的以對(duì)地指向偏差為約束的對(duì)日定向方法。其核心思路為：將衛(wèi)星的期望姿態(tài)設(shè)置為繞一由衛(wèi)星軌道決定的基準(zhǔn)姿態(tài)周期性地旋轉(zhuǎn)，該周期與日、地、星三者相對(duì)位置變化周期一致。首先，建立衛(wèi)星的中間姿態(tài)，使得衛(wèi)星的期望對(duì)地軸指向地心，衛(wèi)星的期望對(duì)日軸指向軌道面法向或負(fù)法向，從而使得衛(wèi)星的自由軸沿著衛(wèi)星前進(jìn)方向或其相反方向，且衛(wèi)星的期望對(duì)地軸、期望對(duì)日軸與自由軸構(gòu)成右手空間直角坐標(biāo)系。其次，將衛(wèi)星的中間姿態(tài)坐標(biāo)系沿一歐拉軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度使得期望對(duì)日軸與太陽(yáng)方向偏差減小，且保證期望對(duì)地軸與對(duì)地方向的夾角不大于約束角。本文方法大幅降低了衛(wèi)星的峰值期望角速度和峰值能耗，提升了衛(wèi)星以對(duì)地指向偏差為約束的對(duì)日定向方法的平穩(wěn)性和可靠性。

1 對(duì)日定向方法

為提供一種平穩(wěn)的衛(wèi)星以對(duì)地指向偏差為約束的對(duì)日定向方法，克服現(xiàn)有的同類方法導(dǎo)致衛(wèi)星期望姿態(tài)在短時(shí)間內(nèi)大幅度翻轉(zhuǎn)的奇異現(xiàn)象，本節(jié)分2步建立衛(wèi)星對(duì)日定向時(shí)的期望姿態(tài)，如圖1所示。

圖1 對(duì)日定向期望姿態(tài)建立步驟Fig.1 Process of establishing expected Sun-pointing attitude

1.1 建立中間姿態(tài)

首先，依據(jù)衛(wèi)星部組件布局，區(qū)分衛(wèi)星的期望對(duì)地軸、期望對(duì)日軸和自由軸，同時(shí)依據(jù)任務(wù)需求設(shè)定約束角。其次，獲取衛(wèi)星當(dāng)前軌道位置矢量、衛(wèi)星瞬時(shí)軌道面法線方向單位向量和衛(wèi)星-日心連線方向矢量，并求取衛(wèi)星-地心連線方向矢量。最后，建立衛(wèi)星的中間姿態(tài)，使得期望對(duì)地軸指向地心，期望對(duì)日軸平行于軌道面法向，從而使得自由軸沿著衛(wèi)星前進(jìn)方向或其相反方向。處于中間姿態(tài)時(shí)衛(wèi)星的姿態(tài)如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星中間姿態(tài)示意圖Fig.2 Schematic diagram of intermediate attitude of satellite

為便于描述，不妨以衛(wèi)星本體坐標(biāo)系-yb軸，即yb軸的反方向?yàn)槠谕麑?duì)日軸，以衛(wèi)星本體坐標(biāo)系z(mì)b軸為期望對(duì)地軸。

特定任務(wù)中，要求衛(wèi)星期望對(duì)地軸與衛(wèi)星-地心連線的夾角小于一個(gè)約束角η。該約束角η表示期望對(duì)地軸和衛(wèi)星-地心連線的偏差角（簡(jiǎn)稱對(duì)地偏差角）的最大允許值，為一個(gè)約束變量。為使公式簡(jiǎn)潔，本文取η=90°。

假設(shè)某時(shí)刻衛(wèi)星的軌道位置矢量為r，衛(wèi)星瞬時(shí)軌道面法線方向單位向量為n，衛(wèi)星-日心連線方向單位矢量為rs，進(jìn)一步可求衛(wèi)星-地心連線方向的單位矢量re為

將衛(wèi)星處于中間姿態(tài)時(shí)的衛(wèi)星本體坐標(biāo)系記為B0，并在以后的敘述中簡(jiǎn)稱為中間姿態(tài)B0，在B0坐標(biāo)系下，設(shè)定衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的軸與衛(wèi)星-地心連線方向單位矢量re重合，衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的軸位于軌道面負(fù)法向-n，而衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的指向衛(wèi)星的前進(jìn)方向。

中間姿態(tài)下，衛(wèi)星本體坐標(biāo)系坐標(biāo)軸在慣性坐標(biāo)系下的方向?yàn)槭街校合聵?biāo)i為在慣性坐標(biāo)系下的分量。

此時(shí)，地心慣性坐標(biāo)系I到描述中間姿態(tài)的B0坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

1.2 確定期望姿態(tài)

為縮小衛(wèi)星期望對(duì)日軸（-yb軸）與衛(wèi)星-日心連線方向的偏差角（簡(jiǎn)稱對(duì)日偏差角），將B0進(jìn)一步繞歐拉軸E旋轉(zhuǎn)ˉα角度，從而得到最終的期望姿態(tài)。記期望姿態(tài)下衛(wèi)星本體坐標(biāo)系為Bexp，下文簡(jiǎn)稱期望姿態(tài)Bexp。由中間姿態(tài)旋轉(zhuǎn)至期望姿態(tài)的過(guò)程如圖3所示。

圖3 衛(wèi)星期望姿態(tài)示意圖Fig.3 Schematic diagram of expected attitude of satellite

選取歐拉軸E，并計(jì)算歐拉軸E在B0坐標(biāo)系下的投影E0。慣性坐標(biāo)系I下歐拉軸E可由式（4）確定：

進(jìn)而可計(jì)算得到B0坐標(biāo)系下歐拉軸E的投影E0為

式中：下標(biāo)0為在B0坐標(biāo)系下的分量。

計(jì)算中間姿態(tài)下期望對(duì)日軸與衛(wèi)星-日心連線方向的夾角，并定義為對(duì)日偏差角，即本文中-yb0軸與rs的夾角為α，則

為確保Bexp姿態(tài)下軸與re的夾角（以下簡(jiǎn)稱對(duì)地偏差角）不大于給定的約束角η，一定情況下，歐拉角需小于某一旋轉(zhuǎn)約束角β。所述旋轉(zhuǎn)約束角β為當(dāng)中間姿態(tài)繞歐拉軸旋轉(zhuǎn)而導(dǎo)致期望對(duì)地軸與衛(wèi)星-地心連線的角度恰等于約束角時(shí)，中間姿態(tài)繞歐拉軸所轉(zhuǎn)過(guò)的角度。在本文中，當(dāng)與的夾角恰好等于約束角η時(shí)，B0繞歐拉軸E轉(zhuǎn)過(guò)的角度即為β。

在坐標(biāo)系B0下，λ的值由式（8）可得

根據(jù)幾何關(guān)系，旋轉(zhuǎn)約束角β可以由夾角λ和約束角η唯一確定。注意到，本文中η取為直角，運(yùn)用余弦定理，易得本文中旋轉(zhuǎn)約束角β簡(jiǎn)化為

繞歐拉軸E旋轉(zhuǎn)的歐拉角αˉ的確定原則如下：當(dāng)衛(wèi)星中間姿態(tài)繞歐拉軸進(jìn)行任意旋轉(zhuǎn)，對(duì)地偏差角均不會(huì)大于約束角時(shí)，旋轉(zhuǎn)約束角無(wú)解，此時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度取式（6）所確定的中間姿態(tài)下的對(duì)日偏差角；當(dāng)衛(wèi)星中間姿態(tài)繞歐拉軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，存在對(duì)地偏差角大于約束角的情形時(shí)，旋轉(zhuǎn)約束角有解，此時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度取中間姿態(tài)下的對(duì)日偏差角α與式（9）確定的旋轉(zhuǎn)約束角β中的較小值。

實(shí)際應(yīng)用中，約束角的取值應(yīng)綜合考慮相機(jī)視場(chǎng)角、天線波束角等約束，并利用球面三角公式對(duì)式（9）重新求解。作為對(duì)比，傳統(tǒng)方法雖然沒(méi)有約束角的概念，其實(shí)際對(duì)地偏差極大值為90°并且無(wú)法人為減小。約束角的取值可以自定義亦是本文方法的優(yōu)勢(shì)之一。

根據(jù)四元數(shù)的性質(zhì)，直接得到B0坐標(biāo)系轉(zhuǎn)至Bexp坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

由此得到由慣性坐標(biāo)系I轉(zhuǎn)換至期望姿態(tài)坐標(biāo)系Bexp的轉(zhuǎn)換矩陣為

因此，期望姿態(tài)坐標(biāo)系Bexp在慣性坐標(biāo)系I下的空間指向可以由式（13）確定。也可以說(shuō)，由慣性坐標(biāo)系I至期望姿態(tài)下衛(wèi)星本體坐標(biāo)系Bexp的轉(zhuǎn)換矩陣唯一確定了衛(wèi)星期望姿態(tài)在慣性坐標(biāo)系下的描述。

2 數(shù)值仿真

2.1 平穩(wěn)對(duì)日定向方法

依據(jù)本文所提出的對(duì)日定向方法，在J2軌道動(dòng)力學(xué)仿真條件下進(jìn)行仿真。設(shè)定航天器位于485 km高度的35°傾角LEO軌道。為充分檢驗(yàn)本文對(duì)日定向方法的有效性，將仿真場(chǎng)景時(shí)間設(shè)為2019年1月1日至2020年7月1日，共計(jì)1.5年。得到計(jì)算結(jié)果如圖4～圖9所示。

圖4為1.5年的仿真時(shí)間段內(nèi)，衛(wèi)星期望對(duì)地軸與實(shí)際衛(wèi)星-地心連線方向的夾角變化?？芍?，采用本文對(duì)日定向方法，衛(wèi)星對(duì)地偏差角被有效限制在90°約束角范圍以內(nèi)。

圖5為1.5年的仿真時(shí)間段內(nèi)，衛(wèi)星期望對(duì)日軸與實(shí)際衛(wèi)星-日心連線方向的夾角變化?？芍捎帽疚膶?duì)日定向方法，會(huì)部分犧牲衛(wèi)星對(duì)日定向的效能，即存在對(duì)日偏差角不為零的情況，衛(wèi)星對(duì)日偏差角峰值約為57°。

為進(jìn)一步考察采用本文平穩(wěn)對(duì)日定向方法后，衛(wèi)星對(duì)日定向的效能損失，截取圖5中2019年1月22日0：00～6：00的一段非零對(duì)日偏差角密集區(qū)局部放大，對(duì)日偏差角的變化規(guī)律如圖6所示。

圖4 對(duì)地偏差角在1.5年時(shí)間內(nèi)的變化規(guī)律Fig.4 Development of deviation of Earth-pointing within 1.5 years

圖5 對(duì)日偏差角在1.5年時(shí)間內(nèi)的變化規(guī)律Fig.5 Development of deviation of Sun-pointing within 1.5 years

在圖6所示仿真時(shí)段中，對(duì)日偏差角為零的時(shí)段約占整個(gè)仿真時(shí)段的55%，而對(duì)日偏差角的峰值約為54°。綜合圖5～圖6所示對(duì)日偏差角變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，采用本文以對(duì)地指向偏差為約束的衛(wèi)星平穩(wěn)對(duì)日定向方法后，衛(wèi)星對(duì)日偏差角被較好地控制，期望對(duì)日軸在多數(shù)時(shí)間能夠嚴(yán)格地對(duì)日定向。

采用本文提出的平穩(wěn)對(duì)日定向策略后，衛(wèi)星在1.5年內(nèi)的期望角速度變化如圖7～圖9所示。衛(wèi)星期望角速度平穩(wěn)變化，x方向和z方向的角速度最大值不超過(guò)0.3（°）/s，y方向的角速度穩(wěn)定在0.065（°）/s，y方向的角速度與衛(wèi)星軌道角速度保持一致。

對(duì)比圖5和圖7～圖9可以發(fā)現(xiàn)，衛(wèi)星期望角速度的變化規(guī)律與對(duì)日偏差角的變化規(guī)律同步，即當(dāng)對(duì)日偏差角的局部極值越大時(shí)，衛(wèi)星期望角速度的局部極值也越大。而當(dāng)衛(wèi)星對(duì)日偏差角在一段連續(xù)時(shí)間內(nèi)能夠保持為零時(shí)，航天器在該段區(qū)間內(nèi)的期望角速度亦保持為低值，僅需繞y方向保持低速自旋，自旋周期與軌道周期一致。

圖6 連續(xù)6小時(shí)內(nèi)對(duì)日偏差角的變化規(guī)律（2019年1月22日）Fig.6 Development of deviation of Sun-pointing within consecutive 6 hours（2019-01-22）

圖7 依據(jù)期望姿態(tài)差分得到的衛(wèi)星x軸角速度Fig.7 Angular velocity in x-axis obtained by difference of expected attitude

圖8 依據(jù)期望姿態(tài)差分得到的衛(wèi)星y軸角速度Fig.8 Angular velocity in y-axis obtained by difference of expected attitude

2.2 傳統(tǒng)對(duì)日定向方法

為了更好地說(shuō)明傳統(tǒng)對(duì)日定向方法導(dǎo)致的期望姿態(tài)短時(shí)間內(nèi)大角度翻轉(zhuǎn)的奇異現(xiàn)象及其機(jī)理，采取同樣的仿真條件，采用傳統(tǒng)的對(duì)日定向方法進(jìn)行仿真。依據(jù)傳統(tǒng)對(duì)日定向方法，設(shè)定衛(wèi)星-yb軸嚴(yán)格指向太陽(yáng)的同時(shí)，zb軸與衛(wèi)星-地心連線方向的夾角最小，zb軸位于星-地連線與對(duì)日方向共同確定的平面上。

圖10給出了1.5年的仿真時(shí)間段內(nèi)衛(wèi)星-地心連線和衛(wèi)星-日心連線的夾角往復(fù)變化?？梢钥闯?，圖中頻繁出現(xiàn)了接近零或180°的奇異區(qū)間。這種奇異區(qū)的存在，將導(dǎo)致期望姿態(tài)在短時(shí)間內(nèi)大幅度變化，從而導(dǎo)致衛(wèi)星期望角速度過(guò)大。如圖11所示，如果采用傳統(tǒng)的對(duì)日定向方法，衛(wèi)星期望角速度在奇異區(qū)出現(xiàn)突變，其峰值大于15（°）/s，不利于衛(wèi)星節(jié)能和安全防護(hù)。

圖9 依據(jù)期望姿態(tài)差分得到的衛(wèi)星z軸角速度Fig.9 Angular velocity in z-axis obtained by difference of expected attitude

圖10 衛(wèi)星-地心連線和衛(wèi)星-日心連線夾角的變化規(guī)律Fig.10 Development of included angle between the satellite-Earth vector and the satellite-sun vector

圖11 傳統(tǒng)對(duì)日定向方法在1.5年時(shí)間內(nèi)對(duì)期望姿態(tài)差分得到的角速度Fig.11 Angular velocity obtained by difference of traditional expected attitude with 1.5 years

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種衛(wèi)星平穩(wěn)對(duì)日定向方法。由于采用了中間姿態(tài)過(guò)渡，衛(wèi)星期望姿態(tài)和期望角速度得以平穩(wěn)變化，在不顯著犧牲衛(wèi)星對(duì)日定向效能的前提下，克服了衛(wèi)星期望姿態(tài)快速翻轉(zhuǎn)的奇異現(xiàn)象，并且能夠嚴(yán)格確保對(duì)地偏差角小于所設(shè)計(jì)的約束角，大幅降低了衛(wèi)星的峰值期望角速度和峰值能耗，提升了衛(wèi)星以對(duì)地指向偏差為約束的對(duì)日定向方法的平穩(wěn)性和可靠性。