丁超，魏瑞軒，周凱

（1.空軍工程大學(xué) 研究生院，西安710051； 2.空軍工程大學(xué) 航空工程學(xué)院，西安710038）

通信受限條件和復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境下，多無人機系統(tǒng)自組織協(xié)同作戰(zhàn)是應(yīng)對廣域戰(zhàn)場空間中動態(tài)任務(wù)的有效作戰(zhàn)方式［1］。而系統(tǒng)狀態(tài)的一致性是自組織協(xié)同作戰(zhàn)的基礎(chǔ)，是發(fā)揮多機系統(tǒng)集群優(yōu)勢、實現(xiàn)智能匯聚的關(guān)鍵。

近年來，眾多文獻針對多自主體系統(tǒng)一致性進行了深入研究，分別提出了若干動態(tài)和靜態(tài)一致性算法［2-6］。但是上述文獻的研究重點在于系統(tǒng)內(nèi)部控制結(jié)構(gòu)，難以針對復(fù)雜多變的外部環(huán)境，形成較為開放自主的任務(wù)完成能力。

為解決上述問題，一些學(xué)者將研究點進一步拓展，開始逐步研究分布式優(yōu)化問題，即如何在局部通信條件下，不僅實現(xiàn)全局一致性，還能針對單個系統(tǒng)不能完全感知的外部環(huán)境作出協(xié)調(diào)反應(yīng)，實現(xiàn)某些指標(biāo)的全局最優(yōu)。關(guān)于分布式優(yōu)化問題，文獻［7-10］將梯度下降算法與一致性協(xié)議結(jié)合，在離散框架下解決了相應(yīng)問題。然而文獻［7-10］所考慮的多自主體系統(tǒng)不包含動力學(xué)模型，這與實際應(yīng)用場景不符。因此，文獻［11］針對連續(xù)的動力學(xué)系統(tǒng)，提出事件驅(qū)動機制解決了對應(yīng)的優(yōu)化問題，但是決策協(xié)議中部分參數(shù)的選擇依賴于外部環(huán)境全局信息。為解決此問題，文獻［12］利用自適應(yīng)技術(shù)，分別構(gòu)造性地設(shè)計了基于邊和節(jié)點的分布式自適應(yīng)優(yōu)化協(xié)議，但無論是一致性還是最優(yōu)化都只能實現(xiàn)漸近收斂，一定程度上限制了其應(yīng)用范圍?；诖耍墨I［13-14］運用符號函數(shù)技術(shù)，保證了系統(tǒng)一致性與最優(yōu)化在有限時間內(nèi)完成，但所有局部目標(biāo)函數(shù)必須滿足類二次型（Quadratic-Like）假設(shè)。為消除該限制性條件，文獻［15］進一步采用切換策略，將有限時間收斂結(jié)果推廣到更一般的凸目標(biāo)函數(shù)。然而，應(yīng)該指出的是，文獻［15］中的收斂時間與初始條件有關(guān)且優(yōu)化時間無法顯式計算。文獻［16］進一步將具有固定時間收斂特性的雙冪次趨近律運用到分布式優(yōu)化問題當(dāng)中，消除了一致性收斂時間上界對系統(tǒng)初始狀態(tài)的依賴。但該上界仍然取決于某些全局信息及協(xié)議參數(shù)，并且系統(tǒng)最優(yōu)性無法在有限時間內(nèi)實現(xiàn)。如何在給定時間內(nèi)進行協(xié)調(diào)決策，更快地實現(xiàn)信息和智能的匯聚成為分布式優(yōu)化領(lǐng)域亟需解決的難點。

為解決給定時間內(nèi)多無人機系統(tǒng)的分布式最優(yōu)集結(jié)問題，本文提出了一種具有時變增益的分布式優(yōu)化協(xié)議。通過建立時域映射，并基于原有限時域給定時間穩(wěn)定性與轉(zhuǎn)換后無限時域漸近穩(wěn)定性的等價關(guān)系，在轉(zhuǎn)換時域證明了分布式協(xié)議的有效性。與目前常規(guī)的基于冪次趨近律的有限和固定時間方法相比，本文收斂時間能夠被任意規(guī)定，有效增強了面向任務(wù)的能力。此外，時變增益的使用還消除了傳統(tǒng)方法增益設(shè)計的限制性條件，避免了常數(shù)增益和自適應(yīng)增益設(shè)計方法中需要一定全局先驗知識以及復(fù)雜度增加的問題。仿真結(jié)果驗證了本文給定時間分布式優(yōu)化協(xié)議的正確性和有效性。

1 問題描述

1.1 通信拓撲

在假設(shè)1條件下，每架無人機僅能獲取自身及其鄰居的局部信息，但同時也保證了多無人機系統(tǒng)中不存在完全孤立的個體，這使得群體中每名成員的信息可通過間接方式實現(xiàn)融合。對于無向連通圖，有如下引理：

1.2 任務(wù)建模

假定在某次任務(wù)中，N架無人機在分布式通信條件下分別由不同初始位置起飛，從不同方向集結(jié)到任務(wù)區(qū)域。在整個集結(jié)過程中，需要綜合考慮我方支援補給、敵方探測雷達、防空導(dǎo)彈威脅等約束條件，實時動態(tài)地規(guī)劃每架無人機的飛行航跡，并要求無人機群集結(jié)完畢時所在位置全局最優(yōu)。本文約定每架無人機能夠依據(jù)自身設(shè)備與知識得到態(tài)勢判斷函數(shù)fi（xi）：Rn→R，并進一步計算出當(dāng)前梯度信息Δfi（xi）：Rn→Rn，xi為無人機i的位置，fi（xi）越小越好。此外，戰(zhàn)場環(huán)境瞬息萬變，戰(zhàn)機稍縱即逝，為了不打亂既定作戰(zhàn)計劃，保證整個任務(wù)鏈順利進行，要求無人機群必須在給定時間T內(nèi)完成集結(jié)。任務(wù)可用數(shù)學(xué)語言描述為

為了保證目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解存在，給出如下凸優(yōu)化假設(shè)：

假設(shè)2對于任意i=1，2，…，N，fi（xi）二階可微且Δ2fi（xi）為正定矩陣。

對于可微凸函數(shù)f（s）而言，假設(shè)3是一個相當(dāng)寬泛的條件，它比一般的Lipschitz連續(xù)性條件更弱。假設(shè)4則保證了全局梯度的變化率有限，符合實際情況。為便于分析，介紹如下引理：

1.3 決策模型

若將無人機看做質(zhì)點，其三維運動學(xué)模型可表示為［19］

式中：［x，y，h］T為無人機的位置向量；v為無人機速度大小；ψ和θ分別為無人機的航向角和俯仰角。

可以看出，若忽略飛控系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)過程，無人機的三軸速度都可以通過v、ψ和θ合適的指令進行相應(yīng)配置。由于本文旨在研究如何通過實時在線分布式?jīng)Q策實現(xiàn)智能匯聚，僅涉及到空間內(nèi)三軸速度指令決策，故決策系統(tǒng)的一般表達式即為

式中：xi（t）∈Rn為無人機的狀態(tài)，若僅考慮三軸位置，則n=3，為體現(xiàn)本文方法的可擴展性，仍記為未定整數(shù)n；ui（t）∈Rn為決策指令輸入，ui（t）只能使用自身和從鄰居處獲取的信息。

實際的決策系統(tǒng)多采用離散化的方式逐步確定下一時刻位置指令。注意到當(dāng)采樣時間Δt較小時，可將微分方程（4）轉(zhuǎn)化為如下差分方程進行離散化決策：

式中：j∈N為采樣次數(shù)；N為自然數(shù)集合。

2 主要結(jié)果

2.1 時域映射

借鑒文獻［20］提出的時域映射方法，本節(jié)將系統(tǒng)（4）的給定時間分布式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為時變系統(tǒng)（9）的漸近優(yōu)化問題，相比于通常的固定時間冪次趨近律方法，簡化了分析與設(shè)計流程。

令多無人機系統(tǒng)集結(jié)時間的上界為T，當(dāng)t∈［0，T）時，考慮利用如下的時域坐標(biāo)映射將有限時域t擴張到無限時域τ。

其逆變換記為

顯然有ω（τ）：［0，+∞）→［0，T）。式（7）左右兩邊對τ求導(dǎo)可得

式中：κ（τ）為時變系數(shù)。

當(dāng)t∈［0，T）時，式（4）兩邊同時乘以式（8）可得

式中：τ∈［0，+∞）。系統(tǒng)（9）即為原系統(tǒng)（4）在時域τ內(nèi)的動力學(xué)表達式。

注1時域映射（6）及其逆變換（7）建立了有限域t和無限域τ之間的雙射，這意味著想要解決原系統(tǒng)（4）的給定時間控制問題，只需要在無限域τ上實現(xiàn)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)（9）的漸近控制即可。對于轉(zhuǎn)換后的時變系統(tǒng)（9），κ（τ）可視為系統(tǒng)的時變控制系數(shù)。因此，為了對系統(tǒng)（9）進行漸近控制，決策指令必須包含增益項1/κ（τ）來補償時變控制因子κ（τ）的效能損失，而指令的有界性通過乘以更快趨于0的狀態(tài)量來保證。

2.2 決策協(xié)議

為解決式（1）和式（4）所述給定時間分布式優(yōu)化問題，直接給出時域t內(nèi)的分布式協(xié)議如下：

由此可見，當(dāng)代泰國雖然政權(quán)更迭頻繁，但對文化的產(chǎn)業(yè)化培育和國際推廣卻給以持續(xù)的重視。數(shù)十年來，泰國形成了文化部、觀光與體育部、工業(yè)部、外交部、政府公共關(guān)系部等多部門共同參與，王室、政府、企業(yè)相配合的文化推廣體系；文化產(chǎn)業(yè)已成為泰國創(chuàng)造經(jīng)濟收益和塑造“微笑國度”形象的重要名片。目前泰國已成功主辦了四次亞運會，在亞洲各國中居首位。2017年，泰國接待的國際游客創(chuàng)下了3538萬人次的新紀(jì)錄；[28]其中僅曼谷就可吸引2327萬人次的國際游客，在世界城市中名列第二。[29]而截至2018年，泰國已連續(xù)四年被彭博社評為“全球最幸福的國家”。

從而當(dāng)αi（t）達成一致性時，式（11）表明其可實現(xiàn)對梯度平均值的無偏估計。這種引入輔助變量的設(shè)計思想類似于文獻［15，21］。但本文使用了時域映射方法，與上述文獻相比，既避免了使用不連續(xù)的符號函數(shù)技術(shù)，又不需要進行控制增益的選擇。

對于給定時間分布式協(xié)議（10），有如下定理成立。為使內(nèi)容結(jié)構(gòu)清晰、便于理解，其證明過程分為一致性與最優(yōu)性分析放在2.3節(jié)和2.4節(jié)。

2.3 一致性分析

利用式（6）～式（8）建立的時域t和無限域τ之間的映射關(guān)系，不難得到分布式協(xié)議（10）在無限域τ內(nèi)的等價表達式：

本節(jié)研究αi和βi的給定時間一致性，聯(lián)立式（9）和式（12）可得

進而考慮如下Lyapunov函數(shù)：

式中：常數(shù)ε＞0。對式（15）沿式（14）對τ求導(dǎo)，并注意到L?In和H都是對稱矩陣，有

考慮到假設(shè)2以及引理1，對稱矩陣H和L?In分別為正定和半正定的。可證明（L?In）H 為半正定矩陣，則

式中：μij∈R。則有

注意到

2.4 最優(yōu)性分析

考慮如下Lyapunov函數(shù)：

對式（26）兩邊積分可得

式中：ο（·）表示高階無窮小?？紤]當(dāng)τ→+∞時的情形，此時x*→PX（x*），根據(jù)式（28）和假設(shè)2，存在常數(shù)C′＞0使得

將式（29）代入式（25）可得

式中：λ?2N-1C′T1-k。對式（30）兩邊在（τs0，τ）上積分并整理可得

考慮到假設(shè)3成立，記

根據(jù)式（24）和式（33）可知，當(dāng)τ→+∞時必滿足：

將式（31）代入式（34），并運用夾逼定理可得

綜合式（35）和2.3節(jié)中的結(jié)果可知

這表明決策協(xié)議（10）是非奇異的。

3 仿真驗證

為驗證本文的主要結(jié)論，考慮由5架無人機組成的無人機群，仿真中涉及到的時間、位置和速度單位分別為m in、km和km/min。它們之間的通信拓撲構(gòu)成無向連通圖，對應(yīng)的Laplacian矩陣為

為使仿真效果直觀，考慮多無人機系統(tǒng)在二維平面內(nèi)的分布式優(yōu)化問題，從而n=2。給定集結(jié)時間為T=5m in，為方便我方5個基地支援補給，假設(shè)每架無人機的態(tài)勢判斷函數(shù)fi（xi）：R2→R分別為

顯然，式（37）和式（38）所述問題滿足假設(shè)1～假設(shè)4。每架無人機的初始位置依次取為（-2，4）km，（-2，0）km，（0，-2）km，（4，2）km，（2，4）km。仿真結(jié)果如圖1～圖5所示。

從圖1和圖2可以看出，所有無人機均在給定時間T=5m in內(nèi)集結(jié)完畢，最終集結(jié)地點坐標(biāo)約為（1，0.74）km，通過對優(yōu)化函數(shù)分析計算可驗證上述坐標(biāo)確為全局最小值點，這表明多無人機系統(tǒng)在給定時間內(nèi)完成了分布式最優(yōu)集結(jié)。從圖3和圖4可知，所有無人機決策指令輸入保持全局有界，且終值趨于零，表明了本文方法的可用性。圖5繪制了整個集結(jié)過程中無人機群的航跡示意圖以及全局優(yōu)化函數(shù)等高線，航跡曲線光滑平穩(wěn)。集結(jié)過程當(dāng)中，隨著信息的分布式流通，各無人機不斷調(diào)整修正自身航跡，直至在最優(yōu)點集結(jié)完畢。

圖1 無人機狀態(tài)響應(yīng)xi1Fig.1 State response xi1 of UAVs

圖2 無人機狀態(tài)響應(yīng)xi2Fig.2 State response xi2 of UAVs

圖3 無人機決策指令ui1Fig.3 Decision command ui1 of UAVs

圖4 無人機決策指令ui2Fig.4 Decision command ui2 of UAVs

圖5 無人機群航跡與全局優(yōu)化函數(shù)等高線Fig.5 Flight path of UAV swarm and contour of global optimization function

4 結(jié)束語

本文研究了基于時域映射技術(shù)的多無人機系統(tǒng)給定時間分布式最優(yōu)集結(jié)問題。所設(shè)計的帶時變增益的給定時間分布式優(yōu)化協(xié)議包括2個部分，第1個部分即輔助變量αi（t）和βi（t）的分布式動力學(xué)，可針對全局目標(biāo)函數(shù)梯度進行實時估計；第2個部分即分布式?jīng)Q策指令ui（t），它又包括一致性輸入以及梯度修正2個部分，通過系數(shù)k∈（1，2）使其相互協(xié)調(diào)。

注意到，本文結(jié)果只分析了決策指令的有界性，而對其上界沒有定量估計，下一步可研究輸入受限條件下的給定時間分布式優(yōu)化問題。