劉海龍 徐輝 傅海倫T

摘? ?要

在數(shù)學(xué)素養(yǎng)逐漸成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與測評核心目標(biāo)的背景下，辨析了結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的特征，給出了結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題在近年高考全國卷的表現(xiàn)，并結(jié)合結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)測評效能評析，進(jìn)而提出解決結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的教學(xué)策略和建議。在數(shù)學(xué)測評中合理設(shè)計運(yùn)用結(jié)構(gòu)不良問題，能夠誘導(dǎo)出反映學(xué)生數(shù)學(xué)知能水平的關(guān)鍵行為表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)教學(xué)和測評實現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向的可行和有效途徑。

關(guān)鍵詞

高考? 結(jié)構(gòu)不良問題? 問題解決模式? 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

2019年12月，教育部考試中心正式發(fā)布了“一體四層四翼”的高考評價體系，在高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上提出了高考考查的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)——理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化[1]，完善了中學(xué)數(shù)學(xué)教育評價體系的關(guān)鍵一環(huán)。近年來，在課程標(biāo)準(zhǔn)與高考評價體系的指引下，高考命題以素養(yǎng)為導(dǎo)向[2]，創(chuàng)新運(yùn)用了多種新題型，結(jié)構(gòu)不良問題是其中重要的一類[3]。

一、結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的特征

對于特定的學(xué)習(xí)者而言，結(jié)構(gòu)良好問題與結(jié)構(gòu)不良問題是屬性相互對立的兩類問題，前者是問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、解決問題的模式（算子）三者都清晰明確的問題，而后者則是上述三種要素至少有一個沒有明確界定的問題[4]。

有關(guān)結(jié)構(gòu)良好的問題，常見于我們的學(xué)科課程之中，例如求解一元二次方程x2-x-1=0。這個問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)以及解決問題的模式對于初中學(xué)生來說都是明確的，學(xué)生只要掌握必需的知識，運(yùn)用一定的操作程序即可求得正確的答案，問題解決過程和答案都是穩(wěn)定的。而有關(guān)結(jié)構(gòu)不良問題，常源于實際生活，而且學(xué)生在未來生活中遇到的問題多數(shù)是結(jié)構(gòu)不良的，例如“病毒的傳播機(jī)制問題”。要解決這個問題，需要掌握一定的數(shù)學(xué)分析、微分方程、概率、統(tǒng)計等知識技能，在大量的醫(yī)學(xué)和社會學(xué)調(diào)查的基礎(chǔ)上，提出合理的病毒傳播的數(shù)學(xué)模型假設(shè)，在解釋和運(yùn)用模型過程中，評估所建構(gòu)的模型對實際情況的估計和推斷的準(zhǔn)確性[5]，并不斷對模型進(jìn)行調(diào)整，以求得到對未來病毒傳播的更加準(zhǔn)確的預(yù)判。結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題的特征見表1。

對于解決結(jié)構(gòu)不良的數(shù)學(xué)問題，需要重構(gòu)問題給出的信息，對問題進(jìn)行充分的表征和分析，探尋問題解決的路徑，樹立評價意識，要隨時對解題路徑的設(shè)計規(guī)劃、解題操作、最終效果進(jìn)行評估。在這個過程中，學(xué)生既是一名問題解決方案的設(shè)計者，也是一個問題解決的操作者。應(yīng)用場景多元、思考方式多元、解決方法多元、結(jié)論多元、評價多元，決定了合理運(yùn)用結(jié)構(gòu)不良問題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決模式的學(xué)習(xí)、認(rèn)知與元認(rèn)知能力提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升、創(chuàng)造性才能的培養(yǎng)都是十分有利的。特別是在大規(guī)模數(shù)學(xué)考試中運(yùn)用的結(jié)構(gòu)不良問題，能發(fā)揮出許多結(jié)構(gòu)良好問題所不具備的優(yōu)勢，更為深入地評價學(xué)生在問題解決過程中的判斷能力、思辨能力、創(chuàng)新能力、探究能力，促進(jìn)學(xué)生形成應(yīng)對未來的生活和挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題在高考全國卷中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)考試測評中設(shè)計和運(yùn)用的結(jié)構(gòu)不良問題，首先，綜合考慮考試與測量評價目標(biāo)的要求。問題必須在課程標(biāo)準(zhǔn)、考試評價體系所確定的框架內(nèi)設(shè)計開發(fā)，以測量評價學(xué)生數(shù)學(xué)能力為目的，在知識、技能、素養(yǎng)、價值觀等各維度均有明確的測量目標(biāo)，對于數(shù)學(xué)教學(xué)具有啟示和導(dǎo)向的價值。其次，創(chuàng)設(shè)的問題需要貼近學(xué)生的社會認(rèn)知，與學(xué)生的學(xué)科知能素養(yǎng)水平相符，能讓多數(shù)學(xué)生在一定時間內(nèi)完成或部分完成試題，并可以通過考生的作答來判斷和鑒別考生在數(shù)學(xué)知識、技能、素養(yǎng)上的差異。為使結(jié)構(gòu)不良問題在數(shù)學(xué)考試中起到較好的測評效用，問題的規(guī)模不能太大，要控制問題發(fā)散的程度，可在問題初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和問題解決模式這三個要素中，局部加入不確定性，使問題呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良的屬性，以滿足在有限時間內(nèi)實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)水平考查的要求。

1.初始狀態(tài)和最終狀態(tài)不明晰的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題

結(jié)構(gòu)不良問題可以采取條件開放或結(jié)論開放的形式構(gòu)建，為問題的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)呈現(xiàn)不確定性。例如，2020年新高考全國卷第17題：

試題設(shè)計了三個開放性的可選擇的條件，導(dǎo)致問題的結(jié)論同樣是開放的。學(xué)生可以比較容易地初步確定問題解決的方案，那就是先從問題已固化的條件出發(fā)，進(jìn)一步挖掘信息，初步化歸條件，然后結(jié)合已有的知識和經(jīng)驗，觀察已知條件與待選條件之間是否存在有利的聯(lián)結(jié)，進(jìn)而解出三角形，或者判定三角形不存在。這種方案的選擇大概率源于學(xué)生平日注重提升解題效率、尋求最優(yōu)化的解題方法的訓(xùn)練，因為大多數(shù)學(xué)生潛意識里會認(rèn)為，不同的條件可能會對應(yīng)不同的計算難度和計算量，通過解出三角形得到有解的結(jié)論會要比判定三角形無解來說更為有利。

正弦、余弦定理的運(yùn)用模式和化歸，是解決這個問題的首要的必備知識和關(guān)鍵能力。首先，已固化的條件sinA= sinB是兩個角的關(guān)系，而未固化的條件中則有兩個邊邊關(guān)系、一個邊角關(guān)系可選擇，所以，通過運(yùn)用正弦定理將兩個角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系a= b，是學(xué)生容易想到的操作。得到這個關(guān)系后，最容易觀察到的就是可以結(jié)合條件③c=b，得到a=c= b，從而初步判斷此三角形是B=120°，A=C=30°的等腰三角形。而此后可以通過判斷sinA≠ sinB與題設(shè)矛盾而得到三角形不存在的結(jié)論，也會有相當(dāng)多的學(xué)生在后續(xù)解三角形過程中發(fā)現(xiàn)方程無解，才得以證明三角形并不存在。實際上，問題結(jié)合條件③后，只給出了等腰三角形的腰和底邊的比例以及底角，假如符合條件的三角形存在的話，將會是無數(shù)個相似的三角形，也并不能求出的c值。

當(dāng)然，此問題的解決模式遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述幾種，但實際上各種模式之間沒有優(yōu)劣之分，只是體現(xiàn)了不同學(xué)生的思維特征和習(xí)慣的差異，涉及的計算量和思維含量相近，不論選擇什么路徑解決問題對學(xué)生來說都是公平的。

這道典型的結(jié)構(gòu)不良試題，立意于素養(yǎng)導(dǎo)向，立足于對必備知識和關(guān)鍵能力的考查，體現(xiàn)了方程思想和化歸思想的運(yùn)用，實現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的統(tǒng)一。試題通過構(gòu)造不明晰的問題初始狀態(tài)和最終狀態(tài)，增強(qiáng)但又合理限制了試題的開放性，為學(xué)生的作答提供了充分的反應(yīng)空間，體現(xiàn)了探究性和問題解決模式的自主建構(gòu)，是傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)良好的問題較難實現(xiàn)的?？忌粌H僅要解決問題，還要設(shè)計解決問題的方案和路徑，預(yù)設(shè)各種可能性并思考應(yīng)對的方法，并隨著問題解決的推進(jìn)，時刻評估解題操作成功的可能性。

2.問題解決模式不明晰的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題

高考試題在創(chuàng)制時，問題的初始狀態(tài)雖然以學(xué)生熟悉的內(nèi)容為基礎(chǔ)，但常立足于知識交匯，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新。當(dāng)知識的聯(lián)結(jié)和解題模式超出學(xué)生既有的經(jīng)驗時，解決問題的操作模式就會變得模糊和不確定，需要學(xué)生創(chuàng)造性地建構(gòu)解題路徑，探尋解題的方法。例如，2020全國新課標(biāo)I卷（理科）第12題：

若2a+log2a=4b+2log4b，則

A.a>2b? ? ?B.a<2b? ? ?C.a>b2? ? D.a

問題給出的條件方程和目標(biāo)狀態(tài)都是明確的，但顯然不可能通過解方程或賦值法找到答案，問題的解決模式需要進(jìn)一步探尋。學(xué)生比較容易想到的是將指數(shù)式和對數(shù)式分離，并且調(diào)整指數(shù)式和對數(shù)式的底數(shù)進(jìn)行化歸，從而找到問題解決的契機(jī)。即由條件得2a-22b=log2b-log2a=log2（b/a），（a>0，b>0）。經(jīng)此操作，既在等式左側(cè)構(gòu)造出了與A、B選項相關(guān)的差式，又可以進(jìn)一步通過對數(shù)運(yùn)算化簡等式右側(cè)。此時，問題解決的模式已經(jīng)明晰起來，即要想比較兩個指數(shù)式的大小，實際上就是要討論a與b的大小關(guān)系：

（1）當(dāng)a>b時，log2（b/a）<0，則b

（2）當(dāng)a0，則a>2b，矛盾;

（3）當(dāng)a=b時，log2（b/a）=0，則a=b=0，矛盾。綜上，a<2b。

這個問題，是以指、對數(shù)運(yùn)算和指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等必備知識為基，以化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想為引，構(gòu)造的問題解決模式不明晰的結(jié)構(gòu)不良問題，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，對學(xué)生的理性思維和數(shù)學(xué)探索能力提出了較高的要求。

這個問題的解決過程，凸顯了遷移運(yùn)用和創(chuàng)新建構(gòu)問題解決模式的重要性。當(dāng)學(xué)生自身的認(rèn)知和經(jīng)驗中不存在解決此類問題的模式，或沒有發(fā)現(xiàn)自己掌握的模式能夠解決這個問題的時候，樸素的化歸思想會最先發(fā)揮作用，學(xué)生常對問題初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，拉近二者之間的距離。在這之后，學(xué)生或者能觀察探究到某種關(guān)系，然后發(fā)現(xiàn)新的問題和已經(jīng)掌握的操作模式是相同的，從而實現(xiàn)方法的遷移，并最終解決問題;也可能設(shè)計的路徑無法解決問題，則需要重新進(jìn)行轉(zhuǎn)化以建構(gòu)新的操作模式。如果學(xué)生能將掌握的概念、性質(zhì)、方法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，能夠為問題解決建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，或者順利實現(xiàn)了方法的遷移運(yùn)用，也就意味著學(xué)生具備了突破結(jié)構(gòu)不良問題的核心能力，反映出學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和隨機(jī)應(yīng)變的能力。

3.綜合性的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題

綜合性的結(jié)構(gòu)不良問題，常來源于現(xiàn)實生活情境，問題的信息、解決模式和最終結(jié)論都具有不同程度的開放性和不確定性。例如2019年理科數(shù)學(xué)全國I卷第4題：

古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（ -1）/2≈0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是（ -1）/2。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（? ? ）。

A.165cm? ? B.175cm? ? C.185cm? ? D.190cm

題目使用了語言敘述的方式給出了包括人體部位的長度、比例等關(guān)聯(lián)復(fù)雜的信息，這種信息呈現(xiàn)的方式顯然是不夠直觀的，不利于問題的分析和解決。從以往的經(jīng)驗看，審題時反復(fù)閱讀文本，并進(jìn)行劃線標(biāo)記等單純的強(qiáng)化記憶的操作并不能有效幫助學(xué)生理解題意。而數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)較好的學(xué)生，通常能很快地與試題信息展開互動，對信息進(jìn)行選擇、重構(gòu)和解釋，進(jìn)而將信息表征為可以直接用于問題解決的、直觀且便于操作的形式，比如圖形和圖表。

有圖1作支撐，試題條件的深層次的不良結(jié)構(gòu)也會隨之顯現(xiàn)，即長度測量的定義不一致。面對這種不確定性，學(xué)生容易陷入建立方程模型求值的思維定式而產(chǎn)生困惑：“頭頂至咽喉的長度”是否等于“頭頂至脖子下端長度”，“肚臍至足底的長度”是否等于“腿長”，所給的條件是否是冗余的等等。而能否綜合不一致的定義、雙重條件、模糊的設(shè)問表述等復(fù)雜情況，利用條件中的“不相等”關(guān)系，建立不等式模型，則是找到解題路徑的關(guān)鍵。這個建模的過程既是對學(xué)生的數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的考驗，也是對學(xué)生的意志品質(zhì)、心理素質(zhì)與臨場應(yīng)變能力的考驗。

在解模過程中需要不斷評估和調(diào)整操作方案：是否需要兩個不等式都要解？如果只解一個就能做出判斷的話，選擇先解哪個更簡便？考慮黃金分割比的根式和數(shù)字形式中哪一種更有利于運(yùn)算？考慮是否可能通過估算來簡化運(yùn)算，必須使用0.618嗎？使用0.62或使用0.6進(jìn)行估算，所得到的數(shù)值是否會影響到答案的選擇？此過程需要學(xué)生預(yù)設(shè)解運(yùn)算過程中可能會遇到的問題，在運(yùn)算前思考，在運(yùn)算中評估和調(diào)整，以獲得更加優(yōu)化的解決方案，對學(xué)生的元認(rèn)知水平提出了考驗。

“維納斯”一題綜合體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良問題的特征，它的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)是模糊的，解決問題所涉及的原理和方法也并不容易確定，隨著分析的推進(jìn)，需要不斷做出新的評估和選擇，對學(xué)生的意志力和隨機(jī)應(yīng)變能力提出了較高的要求。因此，試題才能夠綜合體現(xiàn)理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化的高考素養(yǎng)考查目標(biāo)，全方位考查學(xué)生的信息加工重構(gòu)能力、問題表征能力、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、解題策略監(jiān)控與調(diào)整能力等復(fù)雜的認(rèn)知與元認(rèn)知能力[7]，凸顯數(shù)學(xué)測評的素養(yǎng)導(dǎo)向。

三、解決結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的教學(xué)邏輯

1.構(gòu)建對結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題的正確認(rèn)知

設(shè)計并運(yùn)用結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問題，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、辨析概念、構(gòu)建聯(lián)結(jié)和假設(shè)驗證等解決問題的能力[8]，對于面向素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)與測評是一種必然。因而，教師亟需充分了解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題的特征，在課堂教學(xué)、考試測評、研究性學(xué)習(xí)等不同場景中嘗試開發(fā)和運(yùn)用結(jié)構(gòu)不良問題，分析評價結(jié)構(gòu)不良問題對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的效用，為學(xué)生提供更為靈活的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐機(jī)會，在促使學(xué)生從一個被動的信息加工者變成一個主動的問題解決者的同時[9]，促成自身的數(shù)學(xué)教學(xué)價值觀從單純關(guān)注學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)向關(guān)注核心素養(yǎng)提升轉(zhuǎn)變。

2.重視必備知識、關(guān)鍵能力的教學(xué)

結(jié)構(gòu)不良的數(shù)學(xué)問題并不是脫離知識和能力框架的問題，而是以落實數(shù)學(xué)基本概念和方法的掌握為目標(biāo)設(shè)計的、具有創(chuàng)新結(jié)構(gòu)的問題。結(jié)構(gòu)不良問題的解決不存在捷徑，學(xué)生只有掌握了扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和熟練的數(shù)學(xué)技能，知識、能力和核心素養(yǎng)才能有機(jī)協(xié)同地發(fā)揮作用，不同知識、方法之間才能產(chǎn)生新的綜合性的聯(lián)結(jié)，促進(jìn)問題解決能力的形成和提升。所以，教師的教學(xué)應(yīng)以提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為引導(dǎo)，耐心幫助和鼓勵學(xué)生落實對基礎(chǔ)知識的理解和基本技能的訓(xùn)練，逐步積累問題解決經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生解決實際問題的能力。

3.幫助學(xué)生建構(gòu)自主探究解決問題的空間

為了讓學(xué)生真正形成有助于應(yīng)對未來生活的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師應(yīng)借助結(jié)構(gòu)不良問題的教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)自主探究解決問題的空間。在學(xué)生尚未獲取應(yīng)對結(jié)構(gòu)不良問題的經(jīng)驗之前，教師的任務(wù)是為學(xué)生構(gòu)建好最近發(fā)展區(qū)，將學(xué)生解決問題所需要的必備知識和關(guān)鍵能力提升到位。這些預(yù)備性的知識技能和方法作為解決問題的支架，在學(xué)生開始嘗試解決結(jié)構(gòu)不良問題時會起到關(guān)鍵作用。但隨著學(xué)生解決問題的經(jīng)驗越來越豐富，教師就應(yīng)該嘗試減少教學(xué)過程中的干預(yù)，從一開始的啟發(fā)式教學(xué)，轉(zhuǎn)向逐步放手的項目式教學(xué)。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計問題解決的方案，大膽地將知識準(zhǔn)備、信息的處理加工、問題的重構(gòu)與表征、問題目標(biāo)的確定、知識間的聯(lián)結(jié)、方法的類比與遷移、解題策略的評價、解題操作的監(jiān)控等學(xué)習(xí)任務(wù)交由學(xué)生完成。在這個過程中，教師要給學(xué)生提供有必要的支撐，而非無原則的鋪墊，要幫助學(xué)生認(rèn)識解決問題過程存在障礙的原因，引導(dǎo)學(xué)生自主監(jiān)控、評價、和調(diào)整。只有在此種能夠更加靈活地進(jìn)行辨析、建構(gòu)、遷移運(yùn)用的學(xué)習(xí)空間里，學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維能力才能形成。當(dāng)學(xué)生脫離了既有的模式和經(jīng)驗之后，面對新情境新問題，仍然可以運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和方法，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)問題、表征問題和求解問題，則標(biāo)志著數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最終形成。

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】