王盼伊 顧思漪 張璟 劉嘉麗 袁婧

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

方偉

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234；上海市星系和宇宙學(xué)半解析研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200234)

向心力和向心加速度是高中物理教學(xué)的一大重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)于向心力概念一直很難理解，在對(duì)物體進(jìn)行受力分析時(shí)，往往還外加一個(gè)向心力[1].該知識(shí)點(diǎn)前承牛頓第二定律，后引圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)應(yīng)用，并為萬有引力這一概念做鋪墊.但這一知識(shí)點(diǎn)在高中課本上僅做了簡(jiǎn)單的分析及公式推導(dǎo).在教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，教師往往無法做課堂演示實(shí)驗(yàn)，DIS實(shí)驗(yàn)盡管能做相關(guān)工作，但其普及性不高，集成性卻過高，使得學(xué)生的參與感不強(qiáng)，因而大大降低了學(xué)生參與向心加速度實(shí)驗(yàn)的積極性，且不利于學(xué)生對(duì)向心加速度這一概念的充分理解.另一方面，隨著科技和我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，智能手機(jī)已越來越普及，且其集成了各種微型傳感器，精確度和靈敏度都很高，若教師能帶領(lǐng)學(xué)生開發(fā)自制教具，利用集成了各種傳感器的智能手機(jī)，并輔以Tracker和Phyphox等軟件[2]，將可實(shí)現(xiàn)對(duì)向心加速度的定量探究和驗(yàn)證，其教育意義將不可小覷.偉大的物理學(xué)家麥克斯韋也曾說過：“實(shí)驗(yàn)的教育價(jià)值，往往與儀器的復(fù)雜性成反比.學(xué)生用自制儀器，雖然經(jīng)常出毛病，但他們卻會(huì)比用仔細(xì)調(diào)整好的儀器，學(xué)到更多的東西”[3].

在本文的第一部分，闡述了本教具的實(shí)驗(yàn)構(gòu)想和實(shí)驗(yàn)原理的理論推導(dǎo)，并在第二部分詳細(xì)講解了教具的制作過程.在第三部分，我們利用自制教具進(jìn)行了基于控制變量的定量探究實(shí)驗(yàn)，研究了向心加速度ac與圓周運(yùn)動(dòng)半徑r和角速度ω(周期T)的關(guān)系，并在第四部分進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)的誤差分析.最后指出該實(shí)驗(yàn)通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，可以作為高中學(xué)生的探究性或驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)及課外科創(chuàng)活動(dòng)，還提供了測(cè)量當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊囊环N新方法.整個(gè)自制教具的制作和實(shí)驗(yàn)探究過程具有較強(qiáng)的教育啟示意義.

1 教具構(gòu)想和實(shí)驗(yàn)原理

本文的教具構(gòu)想和實(shí)驗(yàn)原理為：利用可調(diào)速電動(dòng)機(jī)制作教具，讓智能手機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)繞桿做擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)(圖1)，此時(shí)手機(jī)在水平面內(nèi)即做勻速圓周運(yùn)動(dòng).由圖1受力分析易得手機(jī)所受合力F合=mgtanθ，此力在水平面內(nèi)，即是提供手機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，因而向心加速度大小為

ac=gtanθ

(1)

另一方面，質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式為F向=mω2r，因而有

ac=ω2r

(2)

式(1)和式(2)在理論上應(yīng)該相等.利用本文所述自制教具(見后述圖2)，手機(jī)上裝載的Phyphox軟件可直接測(cè)得手機(jī)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω和向心加速度ac，而Tracker軟件可測(cè)到手機(jī)繞桿做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)懸線與豎直方向的夾角θ，以及手機(jī)在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r.有了ac,θ,ω,r的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，即可在誤差允許范圍之內(nèi)，驗(yàn)證或者探究向心加速度表達(dá)式.

圖1 圓錐擺運(yùn)動(dòng)的受力分析

2 向心力實(shí)驗(yàn)的教具制作

圖2所示為可用Tracker軟件和智能手機(jī)軟件Phyphox驗(yàn)證向心加速度公式的教具實(shí)物圖.

圖2 教具實(shí)物圖

教具主要是由一個(gè)可調(diào)速的電動(dòng)機(jī)、智能手機(jī)、多股細(xì)銅絲、鋼管支架和不銹鋼底座(購于五金店)組成，其中可調(diào)速的電動(dòng)機(jī)是由一個(gè)低速旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)(200 r/min、24 V電壓、36.5 mm直徑、單電機(jī))，一個(gè)直流電機(jī)調(diào)速器(CCM5D數(shù)顯PWM微型直流減速電動(dòng)機(jī)調(diào)速控制器)和一個(gè)直流開關(guān)電源所組成，將電動(dòng)機(jī)嵌入一個(gè)內(nèi)徑與電動(dòng)機(jī)直徑相同的鋼管中，并將鋼管和一個(gè)不銹鋼底座進(jìn)行焊接，鋼管的長(zhǎng)度盡量長(zhǎng)，多股細(xì)銅絲要足夠長(zhǎng)，以避免手機(jī)自身長(zhǎng)度帶來的誤差.此外，由于原電動(dòng)機(jī)自帶的法蘭螺母過于小，在手機(jī)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生繞線的現(xiàn)象，故我們?cè)诜ㄌm螺母的基礎(chǔ)上焊接了多個(gè)法蘭片(圖3)，使整個(gè)轉(zhuǎn)盤大于電動(dòng)機(jī)的直徑，解決了繞線問題.另外，懸掛手機(jī)的懸線L可用軟硬適中的多股細(xì)銅絲替代棉質(zhì)繩(圖4)，這將有效解決手機(jī)在旋轉(zhuǎn)過程中的自轉(zhuǎn)問題.

圖3 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)盤

圖4 多股細(xì)銅絲

本實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)合理，簡(jiǎn)單易做，成本較低，操作簡(jiǎn)便，方便攜帶.通過巧用智能手機(jī)軟件，使向心加速度、角速度等物理量的測(cè)量變得便利，實(shí)驗(yàn)誤差做到了最大化的控制.該教具可作為課堂演示教具，將理論概念可視化，為物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供新思路.同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生通過智能手機(jī)進(jìn)行物理學(xué)習(xí)的興趣，變沉溺手機(jī)的低頭族為利用手機(jī)學(xué)習(xí)的陽光族.

3 向心加速度實(shí)驗(yàn)定量探究

現(xiàn)利用本文介紹的自制教具來驗(yàn)證向心加速度的公式，即定量探究向心加速度ac與圓周運(yùn)動(dòng)半徑r和角速度ω兩者之間的關(guān)系.在實(shí)驗(yàn)中我們利用控制變量法，即改變r(jià)和ω中的一個(gè)變量，保持另一個(gè)變量不變.利用手機(jī)Phyphox軟件直接測(cè)量得出手機(jī)的角速度ω和向心加速度ac，利用視頻分析軟件Tracker測(cè)量出圓周運(yùn)動(dòng)半徑r和懸線與豎直方向的夾角θ，通過多次實(shí)驗(yàn)，得出相關(guān)關(guān)系.以下是向心加速度實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)及結(jié)果分析.

(1)保持角速度ω不變，通過改變線長(zhǎng)L從而改變圓周運(yùn)動(dòng)半徑r，改變8次線長(zhǎng)L，得出向心加速度ac與圓周運(yùn)動(dòng)半徑r的關(guān)系(數(shù)據(jù)見表1，關(guān)系圖見圖5).

表1 保持角速度ω不變時(shí)改變線長(zhǎng)L的測(cè)量數(shù)據(jù)

圖5 向心加速度ac與圓周運(yùn)動(dòng)半徑r的線性關(guān)系

(2)保持圓周運(yùn)動(dòng)半徑r不變，通過改變電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速來改變角速度ω，改變5次角速度ω，得出向心加速度ac與角速度ω的關(guān)系(數(shù)據(jù)見表2，關(guān)系圖見圖6).

需要注意的是，本實(shí)驗(yàn)中的轉(zhuǎn)速ω和圓周運(yùn)動(dòng)半徑r,由于和調(diào)速電動(dòng)機(jī)、懸掛物質(zhì)量以及線長(zhǎng)有關(guān)，在實(shí)驗(yàn)中無法做到嚴(yán)格的控制變量，只能做到近似不變，從表1和表2中數(shù)據(jù)即可看出.

表2 保持圓周運(yùn)動(dòng)半徑r不變時(shí)改變角速度ω的測(cè)量數(shù)據(jù)

圖6 向心加速度ac與角速度ω2的線性關(guān)系

說明：表1及表2中的ac1為Phyphox軟件直接測(cè)量值，ac2為通過向心加速度公式(式2)ac2=ω2r由測(cè)量量ω,r計(jì)算出的值，ac3為物體所受合力根據(jù)牛頓第二定律(式1)ac3=gtanθ,由測(cè)量量θ計(jì)算出的值，誤差1計(jì)算的是ac1與ac2之間的誤差，誤差2計(jì)算的是ac3與ac2之間的誤差.

由圖5、圖6可知，向心加速度ac在ω一定時(shí)與圓周運(yùn)動(dòng)半徑r成正比，當(dāng)r一定時(shí)與角速度的平方ω2成正比.這與理論式ac=ω2r所呈現(xiàn)的關(guān)系非常好的吻合.需要指出的是，本實(shí)驗(yàn)在誤差范圍內(nèi)分別驗(yàn)證了ac1=ac2和ac3=ac2，但其物理內(nèi)涵并不一樣.

(1)ac1=ac2：驗(yàn)證了向心加速度的表達(dá)式ac=ω2r，即向心加速度ac與r,ω2成正比.

(2)ac3=ac2：即驗(yàn)證了gtanθ=ω2r，將等式兩邊同乘質(zhì)量m，即可得到結(jié)論：

手機(jī)在水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，所受合力大小等于向心加速度大小與質(zhì)量的積，即合力提供了向心力，從而說明向心力并不是如重力、電場(chǎng)力一樣的某種性質(zhì)的力，而只是一種效果力，從而厘清學(xué)生頭腦中關(guān)于向心力的錯(cuò)誤概念.

4 實(shí)驗(yàn)誤差分析

由于本實(shí)驗(yàn)的各個(gè)測(cè)量量都可直接測(cè)得，所以我們的數(shù)據(jù)處理對(duì)比了向心加速度的直接測(cè)量值即ac1和利用向心加速度公式計(jì)算得出的ac2，平均誤差控制在0.587%，即本裝置作為定量驗(yàn)證向心加速度公式的演示實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)效果會(huì)相當(dāng)好.同時(shí)，我們也計(jì)算了ac3與ac2之間的誤差，即由測(cè)量量θ計(jì)算出的向心加速度ac3和同樣利用向心加速度公式計(jì)算得出的ac2之間的誤差，平均誤差控制在0.891%，也在合理范圍之內(nèi)，但后者誤差稍大，分析其原因在于ac1為Phyphox直接測(cè)量值，而ac3是由視頻分析軟件Tracker測(cè)量的θ值而計(jì)算得到的.Tracker除了軟件本身的系統(tǒng)誤差外，還會(huì)引入視頻錄制過程中的人為誤差.本實(shí)驗(yàn)的誤差主要集中于以下幾點(diǎn)：

(1)手機(jī)系統(tǒng)自帶誤差.本實(shí)驗(yàn)使用的是iPhone 8手機(jī).由于手機(jī)版本不同，芯片制造商不同，最終的測(cè)量精確程度也會(huì)有所不同[4].利用手機(jī)Phyphox軟件我們測(cè)量的量是向心加速度ac和角速度ω，通過陀螺儀測(cè)量角速度ω，并通過加速度計(jì)得到向心加速度ac.比如iPhone 8的陀螺儀標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.003 3 rad/s，加速度計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.009 8 m/s2，而華為P20的陀螺儀標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.000 41 rad/s，加速度計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.004 1m/s2，所以每一種型號(hào)的手機(jī)，由于芯片不同，所帶來的誤差也會(huì)有所不同.

(2)Tracker軟件誤差.利用Tracker軟件測(cè)量圓周運(yùn)動(dòng)半徑r和懸線與豎直方向的夾角θ時(shí)，測(cè)量的畫面是人工選取的，且?guī)首畲罂蛇_(dá)80幀/秒，所以在選取畫面的時(shí)候也會(huì)有一定的誤差.此外，拍攝角度是否正向也會(huì)對(duì)r和θ的測(cè)量造成誤差.

(3)調(diào)速器誤差.直流電機(jī)調(diào)速器無法維持在一個(gè)固定值，會(huì)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)浮動(dòng)，所以產(chǎn)生一定的誤差.

(4)圓周運(yùn)動(dòng)半徑誤差.由于每個(gè)手機(jī)的陀螺儀等芯片的位置會(huì)有所不同，故我們將桿到手機(jī)中心的距離近似定義為圓周運(yùn)動(dòng)的半徑.

以上為本實(shí)驗(yàn)的主要誤差，由于在實(shí)驗(yàn)中較為細(xì)致，本實(shí)驗(yàn)的最大誤差也只在2.1%左右，對(duì)于利用自制教具來進(jìn)行的普通物理實(shí)驗(yàn)，已較為難得.

5 小結(jié)與教學(xué)啟示

就在本文工作開展之際，筆者發(fā)現(xiàn)江偉欣等人基于定性探究實(shí)驗(yàn)的原理，設(shè)計(jì)并制作了一個(gè)定量的向心力演示裝置[5]，通過電機(jī)帶動(dòng)鉤碼做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用替代思想將壓力傳感器測(cè)得的壓力代替拉力，從而探究影響勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的因素.該教具制作精美，原理簡(jiǎn)單，實(shí)驗(yàn)時(shí)很容易控制變量，能很好地幫助學(xué)生理解向心力概念.不過該教具制作工藝相對(duì)復(fù)雜，且用壓力傳感器測(cè)到的壓力來替代拉力，不夠直觀.相比而言，本文介紹的教具制作簡(jiǎn)單，成本較低，且巧妙利用圓錐擺運(yùn)動(dòng)，通過簡(jiǎn)單受力分析即可直接得到向心力(向心加速度)大小，無需由壓力來替代拉力，物理圖像更為清晰、直觀.不過由于式(1)和式(2)中的質(zhì)量被約去，本教具僅可探究向心加速度ac與角速度ω和半徑r之間存在的定量關(guān)系，不能探究Fc與質(zhì)量m之間的定量關(guān)系.

高中課堂無法對(duì)向心加速度的理論部分有過多解釋，DIS實(shí)驗(yàn)也只是對(duì)向心力公式做一個(gè)驗(yàn)證性的實(shí)驗(yàn)，而無法向?qū)W生們直觀展示向心加速度這一物理量，且在做向心力實(shí)驗(yàn)時(shí)，DIS實(shí)驗(yàn)會(huì)由計(jì)算機(jī)直接計(jì)算給出向心力Fc的大小，缺乏讓學(xué)生自主計(jì)算研究的過程.在本實(shí)驗(yàn)中，角速度ω和向心加速度ac可直觀顯示在智能手機(jī)軟件Phyphox的測(cè)量界面上.通過轉(zhuǎn)動(dòng)調(diào)速器旋鈕，學(xué)生可以明顯觀察到手機(jī)旋轉(zhuǎn)速度的變化，結(jié)合手機(jī)界面數(shù)據(jù)的變化，可以讓學(xué)生直接觀察到向心加速度和角速度的實(shí)時(shí)變化過程.

除驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)外，本實(shí)驗(yàn)也可以設(shè)計(jì)成探究向心加速度ac與r和ω之間關(guān)系的探究性實(shí)驗(yàn).在實(shí)驗(yàn)前，教師需先引導(dǎo)學(xué)生定性發(fā)現(xiàn)向心加速度可能與哪些物理量有關(guān)，待確定后，再利用控制變量法研究.與此同時(shí)，教師還可以假設(shè)向心加速度ac與圓周運(yùn)動(dòng)半徑r和角速度ω的關(guān)系為

ac=ωαrβ

利用量綱分析法求出α=2，β=1，配合實(shí)驗(yàn)探究，與量綱分析結(jié)果比較，會(huì)極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的積極性，提高學(xué)生探究實(shí)驗(yàn)的參與度，增強(qiáng)學(xué)生自我探索的興趣.

在文本的數(shù)據(jù)處理和誤差分析時(shí)，曾簡(jiǎn)單地取重力加速度g=9.8 m/s2，但當(dāng)我們查閱上海當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葦?shù)據(jù)并將g取為9.796 4 m/s2之后，發(fā)現(xiàn)整體誤差均有了較大幅度的減少，這一事實(shí)啟發(fā)我們，除驗(yàn)證或探究向心加速度公式外，本教具還可以提供測(cè)量當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊男路椒ǎ捎迷谡n外學(xué)生科技創(chuàng)新活動(dòng)中.

最后，本實(shí)驗(yàn)裝置的構(gòu)造和組合搭建并不復(fù)雜，學(xué)生可在課下以小組形式自主完成，自行深入探究向心加速度公式，可鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力和協(xié)作能力，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).