莫曉慶,孫祥凱

(重慶工商大學 經(jīng)濟社會應用統(tǒng)計重慶市重點實驗室,數(shù)學與統(tǒng)計學院,重慶 400067)

設T為非空無限指標集,fi:n→(i=1,2,…,m)和gt:n→(t∈T)是局部Lipschitz函數(shù),考慮下列半無限多目標優(yōu)化問題：

半無限多目標優(yōu)化問題(MP)在數(shù)學物理、工程設計、經(jīng)濟管理、合作博弈等領域應用廣泛,目前已取得許多研究成果[1-5]. 但在處理實際問題時,由于測量等因素的影響,很難保證問題(MP)的目標函數(shù)或約束函數(shù)中所含數(shù)據(jù)的精確性. 因此,含有不確定性信息的多目標優(yōu)化問題研究得到廣泛關注. Chuong[6]借助變分分析工具和廣義凸性假設,研究了非光滑魯棒多目標優(yōu)化問題Pareto有效解的最優(yōu)性條件和對偶性定理; Fakhar等[7-8]借助一類極限次微分和一些合適的廣義凸性假設條件,研究了一類約束函數(shù)帶有不確定信息的多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件、對偶性定理及鞍點定理; Lee等[9]借助共軛函數(shù)的上圖技巧通過引入一類新的閉性條件,刻畫了不確定半無限多目標優(yōu)化問題的魯棒最優(yōu)性條件和Wolfe型魯棒對偶性；Chen等[10]借助一類約束標量化方法,刻畫了不確定多目標優(yōu)化問題的有效解及弱有效解的魯棒最優(yōu)性條件；Sun等[11]借助一類標量化方法和廣義凸性假設,刻畫了一類非光滑非凸多目標優(yōu)化問題的魯棒逼近Pareto有效解的充分最優(yōu)性條件、Wolfe型魯棒對偶性及魯棒鞍點定理. 但上述研究主要針對不確定多目標優(yōu)化問題的魯棒有效解展開,而針對含有不確定參數(shù)的半無限多目標優(yōu)化問題的魯棒逼近擬Pareto弱有效解的研究尚未見文獻報道.

考慮問題(MP)的不確定參數(shù)模型:

其中:ui∈Ui(i=1,2,…,m)和vt∈Vt(t∈T)為不確定參數(shù),Ui?m(i=1,2,…,m)和Vt?q(t∈T)為不確定集合;fi:n×m→(i=1,2,…,m)和gt:n×q→(t∈T)為局部Lipschitz函數(shù). 本文若無特殊說明,記

本文借助魯棒優(yōu)化方法刻畫問題(UMP)的魯棒逼近擬Pareto弱有效解的必要和充分最優(yōu)性條件. 首先引入問題(UMP)的魯棒對應模型:

然后通過引入一類新的廣義凸性假設條件并借助文獻[12]引入的魯棒型次微分約束規(guī)格分別刻畫問題(UMP)的魯棒逼近擬Pareto弱有效解的必要和充分最優(yōu)性條件,所得結果推廣并改進了已有文獻的結果.

1 預備知識

(T)∶={μT=(μt)t∈T|μt=0,t∈T,僅有有限個μt≠0};

設φ:n→為實值函數(shù),若對任意的x∈n,存在正數(shù)L及x的開鄰域N(x),使得對任意的y,z∈N(x),均有|φ(y)-φ(z)|≤L‖y-z‖,則稱函數(shù)φ為局部Lipschitz函數(shù). 對任意的d∈n,局部Lipschitz函數(shù)φ在x∈n處單邊方向導數(shù)定義為

φ在x∈n處關于方向d∈n的Clarke方向導數(shù)定義為

若對任意的d∈n,φ′(x,d)存在,且φ′(x,d)=φc(x,d),則稱φ在x∈n處為正則的.φ在x∈n處的Clarke次微分?cφ(x)定義為

?cφ(x)∶={ξ∈n|φc(x,d)≥〈ξ,d〉,?d∈n}.

顯然,若φ為凸函數(shù),則Clarke次微分?cφ(x)退化為經(jīng)典的凸次微分,即

關于Lipschitz函數(shù)的其他概念和性質可參見文獻[13].

定義1[13]設D?n是非空子集,x∈D,則集合D在x處Clarke法錐定義為

Nc(D,x)∶={ξ∈n|〈ξ,v〉≤0,?v∈TD(x)},

注1[13]顯然,若D?n是非空凸子集,x∈D,則Clarke法錐Nc(D,x)退化為凸分析中經(jīng)典的法錐N(D,x),即N(D,x)∶={ξ∈n|〈ξ,y-x〉≤0,?y∈D}.

命題1[13]設D?n是非空子集,x∈D. 若φ:n→在x處是局部Lipschitz的,且φ在x∈D處取得最小值,則0∈?cφ(x)+Nc(D,x).

命題2[13]若函數(shù)φi:n→(i=1,2,…,m)在n處是局部Lipschitz的,則

命題3[13]若函數(shù)φi:n→(i=1,2,…,m)在n處是局部Lipschitz的,則函數(shù)在n處是局部Lipschitz的,且

定義2問題(UMP)的魯棒可行集定義為F∶={x∈n|gt(x,vt)≤0,vt∈Vt,t∈T}.

注2若不確定集Ui(i=1,2,…,m)和Vt(t∈T)均為單點集,則問題(UMP)的魯棒可行集退化為問題(MP)的可行集,即F0∶={x∈n|gt(x)≤0,t∈T}.

1) 若不存在x∈F,使得

2) 若不存在x∈F,使得

注31) 若定義3中2)的不確定集合Ui(i=1,2,…,m)為單點集,且T為有限集,則問題(UMP)的魯棒Pareto弱有效解退化為文獻[7]中定義1.1的魯棒弱有效解.

2) 若問題(UMP)的目標函數(shù)為實值函數(shù),即m=1,則其魯棒ε-擬Pareto弱有效解退化為文獻[12]中單目標半無限優(yōu)化問題(P)的魯棒ε-擬最優(yōu)解.

3) 類似地,本文也可引入問題(UMP)的其他魯棒逼近擬Pareto有效解,如魯棒逼近擬Pareto真有效解. 因為其他類型的魯棒有效解可類似處理,故本文僅研究問題(UMP)的魯棒ε-擬Pareto弱有效解.

2 魯棒ε-擬Pareto弱有效解的必要最優(yōu)性條件

參考文獻[12]引入的一類魯棒型次微分約束規(guī)格及合理的假設條件,下面建立問題(UMP)的魯棒ε-擬Pareto弱有效解的必要最優(yōu)性條件.

不失一般性,本文假設問題(UMP)的目標函數(shù)fi:n×m→(i=1,2,…,m)滿足如下假設條件[14]:

(H1) 對任意的(x,ui)∈n×Ui(i=1,2,…,m),fi(x,ui)是上半連續(xù)的;

(H2) 對任意的ui∈Ui(i=1,2,…,m),函數(shù)x∈nfi(x,ui)是局部Lipschitz的,并且是正則的;

命題4[14]設函數(shù)fi:n×m→(i=1,2,…,m)滿足假設條件(H1)～(H3),Ui(i=1,2,…,m)是m上的緊凸集,且fi(x,·)在Ui上是凹函數(shù). 則對任意的x∈n,有

為簡單,記λ∶=(λ1,λ2,…,λm)∈m.

(1)

(2)

證明: 對任意的x∈F,記函數(shù)

從而

(3)

(4)

(5)

又由命題4可知

(6)

定理1刻畫了問題(UMP)的魯棒ε-擬Pareto弱有效解的必要條件.

若ε=(0,0,…,0),則有如下關于問題(UMP)的魯棒Pareto弱有效解的必要最優(yōu)性條件.

(7)

(8)

3 廣義凸性假設與充分逼近最優(yōu)性條件

下面借助一類新的廣義凸性假設條件,給出問題(UMP)的魯棒ε-擬Pareto弱有效解的充分最優(yōu)性條件. 為簡單,記f∶=(f1,f2,…,fm),g∶=(g1,g2,…,gt).

受文獻[7-8]啟發(fā),先引入下列ε-偽擬廣義凸性的假設條件.

下述定理給出了問題(UMP)的魯棒ε-擬Pareto弱有效解的一類充分最優(yōu)性條件.

(9)

(10)

(11)

從而

若ε=(0,0,…,0),則有如下關于問題(UMP)的魯棒Pareto弱有效解的充分最優(yōu)性條件.

綜上所述,本文從魯棒優(yōu)化的角度出發(fā),借助一類新的魯棒型次微分約束規(guī)格和廣義凸性假設,研究了一類目標函數(shù)和約束函數(shù)均帶有不確定信息的非凸非光滑半無限多目標魯棒逼近擬Pareto弱有效解的最優(yōu)性條件. 所得結果可為解決實際問題中不確定優(yōu)化模型提供一定的理論參考.