王東曉,雷騰飛,毛北行

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,鄭州 450015；2. 齊魯理工學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,濟(jì)南 250200)

目前,混沌同步已引起人們廣泛關(guān)注[1-2],隨著分?jǐn)?shù)階微分建模方法的發(fā)展及滑模方法的引入,分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模控制研究已取得了較多成果[3-4],其中不確定項(xiàng)和外部擾動在實(shí)際系統(tǒng)中大量存在,如文獻(xiàn)[5-6]分別用自適應(yīng)滑模和終端滑模方法研究了不確定分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen混沌系統(tǒng)及Duffling混沌系統(tǒng)的同步問題；文獻(xiàn)[7]研究了分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步問題；文獻(xiàn)[8]研究了不確定分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的適應(yīng)轉(zhuǎn)移滑模同步問題；文獻(xiàn)[9]用兩種方法研究了不確定Newton-Leipnik分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)滑模同步；文獻(xiàn)[10]基于滑模控制研究了分?jǐn)?shù)階不確定超混沌金融系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)[11]研究了Bao超混沌分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的比例積分滑模同步. 由于Sprott混沌系統(tǒng)代表一大類非線性混沌系統(tǒng),且應(yīng)用廣泛,因此已引起人們廣泛關(guān)注. 如文獻(xiàn)[12]研究了Sprott-Ⅰ混沌系統(tǒng)的動力學(xué)解析問題; 文獻(xiàn)[13-14]研究了二維Sprott系統(tǒng)的分析、控制和同步問題; 文獻(xiàn)[15]研究了Sprott-O含參系統(tǒng)的延遲反饋同步; 文獻(xiàn)[16]研究了Sprott-D系統(tǒng)的H∞同步; 文獻(xiàn)[17]研究了分?jǐn)?shù)階Sprott-C系統(tǒng)的適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)[18]研究了Sprott-F系統(tǒng)的混沌反控制. 但關(guān)于不確定分?jǐn)?shù)階Sprott-F混沌系統(tǒng)滑模同步的研究目前文獻(xiàn)報(bào)道較少,基于此,本文研究分?jǐn)?shù)階具有不確定項(xiàng)和外部擾動Sprott-F混沌系統(tǒng)適應(yīng)滑模同步,通過構(gòu)造合適的分?jǐn)?shù)階滑模面和控制律及適應(yīng)規(guī)則,得到不確定分?jǐn)?shù)階Sprott-F混沌系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的兩個充分條件.

1 主要結(jié)果

定義1[19]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

分?jǐn)?shù)階Sprott-F混沌系統(tǒng)為

(1)

當(dāng)b=0.5,q=0.95時,系統(tǒng)(1)的吸引子如圖1所示.

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng),設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(2)

其中Δf(y)為系統(tǒng)的不確定項(xiàng),y=(y1,y2,y3),d(t)為有界的外部擾動,u(t)為控制器. 由于系統(tǒng)存在不確定項(xiàng)和外部擾動項(xiàng),因此系統(tǒng)不是混沌態(tài). 定義ei=yi-xi,可得

(3)

加上不確定項(xiàng)和擾動后,系統(tǒng)階數(shù)變化下的動力學(xué)行為如圖2所示.

圖2 階數(shù)變化下的動力學(xué)行為Fig.2 Dynamic behavior under change of order

假設(shè)1|Δf(y)|≤m,|d(t)|≤n,其中未知參數(shù)m,n>0.

引理1[19]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù),則對?t≥t0,有

(4)

適應(yīng)規(guī)則為

(5)

從而得到分?jǐn)?shù)階微分方程

(6)

對式(6)利用Laplace變換,并記E2(s)=L(e2(t)),可得

利用Laplace終值定理得

不在滑模面上時,構(gòu)造函數(shù)

(7)

由引理1,求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)得

考慮整數(shù)階Sprott-F混沌系統(tǒng)

(8)

以系統(tǒng)(8)為主系統(tǒng),設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(9)

其中Δf(y)為系統(tǒng)的不確定項(xiàng),y=(y1,y2,y3),d(t)為有界的外部擾動,u(t)為控制器,定義ei=yi-xi,可得

(10)

(11)

適應(yīng)規(guī)則為

(12)

不在滑模面上時,構(gòu)造函數(shù)(7)，由引理1,求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)得

2 數(shù)值仿真

用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真. 參數(shù)分別為

b=0.5,q=0.95, Δf(y)=0.5cos(2πy3),d(t)=0.6sin(t),

初始值設(shè)為

(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.1,0.2,0.1),η=1,k=3.

加上不確定項(xiàng)和擾動后,系統(tǒng)階數(shù)變化下的動力學(xué)行為如圖2所示. 由圖2可見,加入控制器后,一段時間后系統(tǒng)呈分岔特性,當(dāng)q>0.95時,定理1和定理2的系統(tǒng)誤差曲線分別如圖3和圖4所示.

圖3 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 Systematic error curves in theorem 1

圖4 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.4 Systematic error curves in theorem 2

圖5 定理1中加入控制器后的變化曲線Fig.5 Change curve after adding controllers in theorem 1

圖6 定理2中加入控制器后的變化曲線Fig.6 Change curve after adding controllers in theorem 2

由圖3和圖4可見,誤差動態(tài)系統(tǒng)在初始時相差較大,且距原點(diǎn)較遠(yuǎn),一段時間后逐漸趨近于坐標(biāo)原點(diǎn),表明分?jǐn)?shù)階Sprott混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得了滑模同步. 在定理1和定理2中加入控制器后的變化曲線分別如圖5和圖6所示. 由圖5和圖6可見,當(dāng)初始時刻未加入控制器時,控制輸入量為零,加入控制器后,控制量隨時間的增加而發(fā)生變化,當(dāng)系統(tǒng)取得滑模同步時,系統(tǒng)的控制量穩(wěn)定為常數(shù)值. 定理1和定理2的滑模函數(shù)變化曲線分別如圖7和圖8所示. 由圖7和圖8可見,一段時間后滑模面趨近于坐標(biāo)原點(diǎn),系統(tǒng)狀態(tài)可被驅(qū)動到原點(diǎn)并沿滑模面移動到坐標(biāo)原點(diǎn),從而達(dá)到滑模動態(tài)控制的理想效果. 定理1選取分?jǐn)?shù)階滑模面,定理2選取整數(shù)階滑模面,定理2是定理1的特例. 該研究結(jié)果表明,定理1的結(jié)論可推廣到整數(shù)階系統(tǒng),因此對定理2也適用. 與用全息的動態(tài)誤差函數(shù)作為滑模面相比,本文用半截誤差函數(shù)作為滑模面,因而滑模面的形式更簡單,用控制輸入的方式較易將誤差動態(tài)系統(tǒng)驅(qū)動到滑模面,在滑模趨近階段可沿滑模面快速趨近于坐標(biāo)原點(diǎn),從而達(dá)到對分?jǐn)?shù)階Sprott混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步控制的目的.

圖7 定理1中滑模函數(shù)的變化曲線Fig.7 Change curve of sliding mode function in theorem 1

圖8 定理2中滑模函數(shù)的變化曲線Fig.8 Change curve of sliding mode function in theorem 2

綜上,本文研究了具有不確定項(xiàng)和外部擾動分?jǐn)?shù)階Sprott-F混沌系統(tǒng)的適應(yīng)滑模同步,通過構(gòu)造合適的滑模面,得到不確定分?jǐn)?shù)階Sprott-F混沌系統(tǒng)取得適應(yīng)滑模同步的兩個充分條件. 研究表明,不確定Sprott-F混沌系統(tǒng)在一定假設(shè)下是適應(yīng)滑模同步的,并將分?jǐn)?shù)階的研究結(jié)論推廣到整數(shù)階.