李遠(yuǎn)飛,郭連紅,曾 鵬

(廣東財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣州 511300)

1 引言與預(yù)備知識

考慮如下單波動方程：

(1)

(2)

函數(shù)h(ut)滿足

h(ut)ut≥0.

(3)

本文將函數(shù)ρ分為以下兩種情形討論：

目前,關(guān)于偏微分方程解的衰減性研究已得到廣泛關(guān)注[4-8]. 通常首先假設(shè)在柱體的無限端解趨于零或者趨于一個瞬態(tài)層流的先驗(yàn)假設(shè),再利用能量估計的方法研究解空間的二擇性. 但這種先驗(yàn)假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中并不一定能得到充分滿足. 因此,人們提出了Phragmén-Lindel?f型二擇一研究,其不必假設(shè)方程組的解在無限端趨于零或趨于瞬態(tài)層流,而是證明調(diào)和函數(shù)隨與有限端距離的增大或者呈指數(shù)(多項式)增長或者呈指數(shù)(多項式)衰減. 該方面的研究目前已有許多成果[9-20],包括擬線性和非線性問題[3,9-10]、Stoke方程[11-12]、淺水波方程[13]以及線性方程[14-15]等. 文獻(xiàn)[16]將Phragmén-Lindel?f型二擇一研究推廣到了3種不同的無界區(qū)域上; 文獻(xiàn)[1]研究了一類偏微分方程在一個球體外部區(qū)域上的空間二擇性,證明了方程的解隨球體的半徑或者無限增長或者無限衰減,并通過設(shè)置參數(shù)證明了所得衰減率比文獻(xiàn)中已有的其他結(jié)果更快.

受上述研究啟發(fā),本文首先在一個半無窮的柱體上考慮方程(1),其中方程的解在柱體的側(cè)面上滿足零邊界條件. 與文獻(xiàn)[3,12]不同,本文考慮ρ的兩種不同情形,在每種情形下分別證明解的衰減率更快. 其次,本文將在半無窮柱體上所得結(jié)果推廣到球體的外部區(qū)域上. 顯然,本文模型比文獻(xiàn)[1]的模型更復(fù)雜. 因此,文獻(xiàn)[1]的方法并不能直接應(yīng)用到本文中. 最后,本文討論一類非線性彈性方程解的漸近性質(zhì).

2 柱體上的漸近性質(zhì)

考慮方程(1)在半無窮柱體R上的漸近性質(zhì),這種區(qū)域是大多數(shù)研究者關(guān)注的情形[3,11]. 柱體R的母線平行于x3坐標(biāo)軸,即

R={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3>0},

其中D是x1Ox2平面上的有界單連通區(qū)域,具有光滑的邊界?D. 令D(z)表示柱體R在x3=z處的截面,即

D(z)={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3=z>0}.

方程(1)的初邊值條件為

其中T是一個大于零的常數(shù)，g是一個大于零的已知函數(shù).

下面討論在情形1)和情形2)下系統(tǒng)(1)-(4)-(5)-(6)的空間二擇性,即證明方程的解隨空間變量或者呈指數(shù)式增長或者呈指數(shù)式衰減. 解的指數(shù)式增長也稱為解的空間blow-up,即解隨空間變量趨近于無窮變得無界. 本文先定義一個能量表達(dá)式,然后利用微分不等式推出一個關(guān)于該能量表達(dá)式的一階微分不等式,從而得到解的二擇一結(jié)果. 計算：

(7)

其中0≤z0≤z,ω是一個大于零的任意常數(shù). 若定義

(8)

則在式(7)中利用散度定理可得

其中式(9)利用了式(2)及

(10)

對式(9)求導(dǎo),可得

(12)

2.1 情形1)下的漸近性質(zhì)

利用情形1)的條件和算術(shù)幾何平均不等式,由式(12)可得

下面對式(13)分兩種情形進(jìn)行分析.

情形① ?z0≥0,使得E(z0)≥0.

即

(14)

對式(14)從z0到z積分,可得

(15)

再結(jié)合式(9)和式(15),可得

情形② 對?z≥0,都有E(z)<0.

此時,由式(12)可得

即

(17)

對式(17)從0到z積分,可得

綜上可得：

定理1設(shè)函數(shù)ρ滿足情形1)及式(2)和式(3),則:

1) 如果存在z0≥0,使得E(z0,t)非負(fù),則問題(1)-(4)-(5)-(6)不存在解;

2) 設(shè)u為問題(1)-(4)-(5)-(6)在一個半無窮柱體R上的解,如果對任意的z≥0,均有E(z,t)<0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)的解u隨空間變量呈指數(shù)式衰減,且滿足式(18).

2.2 情形2)下的漸近性質(zhì)

如果ρ滿足情形2)的條件,此時,重新計算可得

將式(19)代入式(12),可得

(20)

顯然,式(20)與式(13)類似. 因此,采取類似分析可得如下結(jié)果.

定理2設(shè)函數(shù)ρ滿足情形2)及式(2)和式(3). 則:

1) 如果存在z0≥0,使得E(z0,t)≥0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)不存在解;

2) 設(shè)u為問題(1)-(4)-(5)-(6)在一個半無窮柱體R上的解,如果對任意的z≥0,均有E(z,t)<0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)的解u隨空間變量呈指數(shù)式衰減. 即或者

成立,或者

成立.

3 球體外部區(qū)域上的漸近性

受文獻(xiàn)[1]啟發(fā),下面考慮一個球體的外部區(qū)域,表示為

令B(r)是以r為半徑的球面,表示為

方程(1)的初邊值條件為

3.1 情形1)下的漸近性質(zhì)

先建立一個能量表達(dá)式

(24)

其中x=(x1,x2,x3). 令r0為一個大于零的常數(shù),滿足r>r0≥R0. 下面對E(r,t)從r0到r積分,利用散度定理、式(2),(3)及問題(1)-(22)-(23),可得

從而

再利用情形1)的條件、H?lder不等式和Young不等式,可得

類似2.1的分析,可得:

定理3設(shè)u為問題(1)-(22)-(23)在Ω上的解,其中函數(shù)ρ滿足情形1)且式(2)和式(3)成立. 如果?r0≥R0,使得E(r0,t)≥0,則

如果對?r≥R0,均有E(r,t)<0,則問題(1)-(22)-(23)的解u隨半徑呈指數(shù)式衰減,即

3.2 情形2)條件下的漸近性質(zhì)

假設(shè)ρ滿足情形2)的條件. 此時,重新計算式(27)可得

對式(28)用類似2.2的分析,可得:

定理4設(shè)u為問題(1)-(4)-(5)-(6)在Ω上的解,其中函數(shù)ρ滿足情形2)及式(2)和式(3). 如果?r0≥R0,使得E(r0,t)≥0,則

如果對?r≥R0,均有E(r,t)<0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)的解u隨半徑呈指數(shù)式衰減,即

注1注意到文獻(xiàn)[16]將柱體上的二擇一研究推廣到了二維錐形區(qū)域上,文獻(xiàn)[21-22]研究了三維錐形區(qū)域的情形,定義的無界區(qū)域?yàn)?/p>

Ωa={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3>a>0},

其中D(x3)是一個有界的依賴于x3的單連通平面區(qū)域,且平行于坐標(biāo)平面x1Ox2. 例如,

由于Ωa的橫截面與x3=z相關(guān),而Poincaré不等式中的系數(shù)與界面D(x3)的面積和周長相關(guān),所以文獻(xiàn)[16,21-22]根據(jù)界面柱體舒張的情形考慮了幾種無界區(qū)域,得到了解的空間二擇性. 由于本文并未使用Poincaré不等式,所以定理1～定理4對區(qū)域Ωa均成立.

4 非線性彈性系統(tǒng)

下面考慮非線性彈性系統(tǒng):

(29)

其中a,b是非負(fù)函數(shù)且a∈C1,b∈L∞,f和h分別滿足式(2)和式(3),k0>0.g是可積函數(shù)且滿足

(30)

其中a∞=‖a(x)‖L∞.

文獻(xiàn)[23]證明了方程(29)在一個有界區(qū)域上解隨時間變量的一致衰減性; 文獻(xiàn)[24-25]研究了方程(29)的幾種特例,主要關(guān)注了解的適定性及關(guān)于時間變量的衰減性. 本文將上述結(jié)果推廣到半無窮柱體區(qū)域和球面外部區(qū)域上.

4.1 半無窮柱體上的漸近性

在區(qū)域R×[0,T]上考慮方程(29),方程(29)滿足初邊值條件(4)-(5)-(6). 首先定義輔助函數(shù)

利用散度定理和方程(29)-(4)-(5)-(6),可得

由式(32)可得

利用Young不等式和H?lder不等式,可得

將式(34)和式(35)代入式(33),再利用式(30)可得

或

利用式(36)、H?lder不等式和Young不等式,可得

(38)

將式(38)和式(39)代入式(31),可得

(40)

對式(40)進(jìn)行分析,可得下列Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理5設(shè)u為問題(29)-(4)-(5)-(6)在R上的解,其中式(30)成立. 如果?z0≥0,使得E(z0,t)≥0,則

如果對?z≥0,均有E(z,t)<0,則問題(29)-(4)-(5)-(6)的解u隨空間變量呈指數(shù)式衰減,即成立

4.2 球體外部區(qū)域上的漸近性

假設(shè)方程(29)滿足初邊值條件(22)-(23). 首先,定義函數(shù)

類似4.1的計算,可得:

定理6設(shè)u為問題(29)-(22)-(23)在Ω上的解,其中式(30)成立. 如果?r0≥R0,使得E(r0,t)≥0,則

如果對?r≥R0,均有E(r,t)<0,則問題(29)-(22)-(23)的解u隨空間變量呈指數(shù)式衰減,即成立

注2由于定理1～定理6中的解增長或衰減率都包含參數(shù)ω,而ω是一個大于零的任意常數(shù). 因此,只要取ω足夠大,則本文所得的衰減率比文獻(xiàn)[2,5-6,20]中的衰減率更快.

注3本文所研究的模型更一般,因此本文的結(jié)果可向更簡單的模型推廣. 例如,波動方程[25]

utt-Δu+b(x)h(ut)=0

和彈性波動方程[26]

注4在衰減的情形下,要使衰減估計有意義,還需推導(dǎo)-E(0,t),-G(0,t),-E(R0,t)和-G(R0,t)的上界. 參照文獻(xiàn)[7,14-15,18,20]中的全能量估計方法即可完成-E(0,t),-G(0,t)的上界估計.

5 -E(R0,t)和-G(R0,t)的上界估計

下面在衰減的情形下推導(dǎo)-E(R0,t)的上界. 由式(24)可得

(41)

對式(26)從R0到∞積分,可得

設(shè)輔助函數(shù)

其中σ是一個大于零的常數(shù). 顯然S和u在x=R0上具有相同的邊界條件. 在式(41)中利用散度定理、方程(1)和初邊值條件(4)-(5)-(6),可得

利用H?lder不等式和Young不等式,可得

(44)

(45)

為控制式(43)的最后兩項,需對h(ut)和f(u)做進(jìn)一步假設(shè). 設(shè)

于是

(46)

(47)

將式(44)～(47)代入式(43),再利用式(42)可得

由式(48)可得

于是證明了-E(R0,t)可由已知數(shù)據(jù)項控制.

注5同理可完成-G(R0,t)的上界估計. 能量表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)由式(36)和式(37)定義,所以對-G(R0,t)的上界估計稍繁瑣.

綜上所述,本文用能量估計的方法研究了單波動方程在一個半無窮柱體和球體外部區(qū)域上的二擇性. 通過設(shè)置一個大于零的參數(shù),證明了本文取得的衰減或增長率比已有文獻(xiàn)中的結(jié)果更快.