毛北行，王東曉

（鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學學院，河南鄭州450015）

混沌系統(tǒng)的同步控制廣受關注［1-4］。近年來，針對分數(shù)階混沌同步問題的研究不斷深入，并取得了一系列研究成果［5-9］。例如，文獻［10］研究了超混沌分數(shù)階Bao 系統(tǒng)的反饋同步；文獻［11］研究了一類分數(shù)階不確定Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步控制；文獻［12］基于比例積分滑模方法研究了分數(shù)階不確定超混沌Bao 系統(tǒng)的同步。在實際應用中，模型的不確定性、被控對象的結構變化、測量誤差以及外部擾動等均會影響系統(tǒng)的性能，因此，須考慮這些因素造成的影響。例如，文獻［13］研究了具有有界外擾和不確定項的分數(shù)階超混沌金融系統(tǒng)滑模同步的4種方法。R?ssler 混沌系統(tǒng)的同步亦廣受關注。例如，文獻［14］研究了基于back-stepping 方法對超混沌R?ssler 系統(tǒng)的控制與同步；文獻［15］研究了雙時滯R?ssler 系統(tǒng)的分支分析與混沌控制；文獻［16］研究了基于曲率指數(shù)的耦合混沌系統(tǒng)的完全同步分析。受上述結論啟發(fā)，筆者利用自適應滑模控制方法，研究了帶有模型不確定性和外擾的R?ssler混沌系統(tǒng)的同步問題，得到分數(shù)階不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)取得適應滑模同步的充分條件，所得結論說明不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)在一定條件下取得了自適應滑模同步。最后，用數(shù)值仿真實驗對結論進行了檢驗。

1 主要結果

定義1[17]Caputo 分數(shù)階導數(shù)定義為

以分數(shù)階R?ssle 混沌系統(tǒng)

為主系統(tǒng)，當a=0.2，b=0.2，c=5.0，q=0.92 時，系統(tǒng)的時域波形圖和相平面圖分別如圖1 和圖2 所示。

圖1 系統(tǒng)的時域波形圖Fig.1 Time domain of the system

圖2 系統(tǒng)的相平面圖Fig.2 Phase plane of the system

從系統(tǒng)為

其中，不確定項Δf(y)，y=[x1，y1，z1]T，d(t)為外擾，u(t)為控制器。定義

得到誤差方程：

假設1假設不確定項Δf(y)和外部擾動d(t)有界，即存在未知參數(shù)m，n＞0，使得

引理1[18]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù)，則有

引理2[18]設其中，y1(t)，y2(t)∈R 具有連續(xù)一階導數(shù)，若存在常數(shù)k＞0，使 得有界，且其中，Eα，1(·)表 示 雙 參 數(shù)Mittag-Leffler 函 數(shù)，則y1(t)具Mittag-Leffler 穩(wěn)定且

定理1在假設1 條件下，設計滑模面s=設計控制器

其中，?分別為m，n的估計值，η＞0。則式（1）和式（2）適應滑模同步。

證明滑模面上由式（3）第1 個方程，得?(e2+e3)=ke2。

進一步得到e3=?(k+1)e2，對式（3）第2 個方程兩邊同求q階微分，得到因 為所 以利 用 Laplace 變 換 ，記E2(s)=L(e2(t))，則有

由Laplace 終值定理，有

由 于e3=?(k+1)e2?e3→0，且e2→0 ?，將 其 代 入 式（3）第2 個 方 程，有=e1+ae2?e1→0。

所以，定義的滑模面具有穩(wěn)定性。

下證滑模面的可達性。

由引理2，有s→0。

以整數(shù)階R?ssle 混沌系統(tǒng)

為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)為

定義

得誤差方程

引 理3（Barbalat’s）[19]若 函 數(shù)f(t) 在[0，+∞)上一致連續(xù)，且廣義積分存在，則其中，f(t)為一致連續(xù)函數(shù)。

定理2在假設1 條件下，設計滑模面s=設計控制器

其中，?分別為m，n的估計值，η＞0。則式（4）和式（5）適應滑模同步。

證 明滑 模 面 上即?(e2+e3)=?ρe2，進一步得到e3=(ρ?1)e2，對式（6）第2 個 方 程 求 一 階 微 分，得 到因為所 以以e2(t)為變量，則其特征值由于ρ＜0，所以又由于混沌系統(tǒng)軌跡有界，所以|e2(t)|必有界，從而必 有C1=0。 否 則，若C1≠0 ?e2無 界，易 得由 于e3=(ρ?1)e2?e3→0， 將代入式（6）第2 個方程，得到e1→0。

所以，定義的滑模面具有穩(wěn)定性。

下證滑模面的可達性。

證畢！

2 數(shù)值仿真

以MATLAB 仿真程序對上述系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，選取初始值及系統(tǒng)參數(shù)為

在定理2 中，設計滑模面

在定理1 中，設計適應律

在定理2 中，設計控制器

在定理2 中，設計適應律

定理1 和定理2 的誤差分別如圖3 和圖4 所示，由圖3 和圖4 知，初始時刻誤差相差較大，距離原點較遠，隨著時間的推移，誤差逐漸趨于一致，趨向坐標原點，表明系統(tǒng)取得了滑模同步。

圖3 定理1 的誤差Fig.3 Errors in theorem 1

圖4 定理2 的誤差Fig4 Errors in theorem 2

3 結 論

研究了具有模型不確定性和有界外部擾動的分數(shù)階不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步問題。通過構造適當?shù)幕Ｃ?、控制器和適應律，得到分數(shù)階不確定R?ssler 混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步的充分條件。本文方法不僅適用于分數(shù)階混沌系統(tǒng)，而且可平推至整數(shù)階系統(tǒng)。