冀占江，時偉

（1.梧州學(xué)院大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院，廣西 梧州 543002；2.梧州學(xué)院 廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 梧州 543002；3.梧州職業(yè)學(xué)院，廣西 梧州 543002）

0 引 言

跟蹤性在動力系統(tǒng)中扮演著十分重要的角色，具有重要的理論意義和極高的應(yīng)用價值，既是動力系統(tǒng)中的重要概念，也是最重要的動力學(xué)性質(zhì)之一，還與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和混沌有密切聯(lián)系。近年來，許多學(xué)者對跟蹤性進(jìn)行了深入研究，得到諸多有意義的成果［1-9］。例如，文獻(xiàn)［1］證明了具有平均跟蹤性且極小點(diǎn)稠密的映射是syndetic 傳遞和弱混合，文獻(xiàn)［2］指出-平均跟蹤蘊(yùn)含鏈傳遞，文獻(xiàn)［3］給出乘積空間中f×g具有極限跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)f和g具有極限跟蹤性，文獻(xiàn)［4］給出f具有強(qiáng)跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)fn具有強(qiáng)跟蹤性。隨著對跟蹤性研究的深入，先后引入了新的跟蹤性，例如-跟蹤性［10］、遍歷跟蹤性［11］、族Γ-跟蹤性［12］等，但這些成果均是在單個映射迭代下得到的，從群作用的角度看，均屬整數(shù)加群Z作用下度量空間中的動力學(xué)性質(zhì)。

隨著動力系統(tǒng)的不斷發(fā)展，部分學(xué)者開始在一般群作用下的度量空間中研究自映射的動力學(xué)性質(zhì)，部分成果參見文獻(xiàn)［13-16］。例如，文獻(xiàn)［13］在拓?fù)淙鹤饔孟碌哪鏄O限空間中，給出移位映射σ具有G-跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)映射f具有G-跟蹤性。文獻(xiàn)［14］給出度量G-空間中G-跟蹤性是拓?fù)涔曹棽蛔冃?。受以上研究思路的啟發(fā)，本文首先給出拓?fù)淙鹤饔孟露攘靠臻g中強(qiáng)G-跟蹤性的概念，利用拓?fù)涔曹椇陀成涞男再|(zhì)，證得：（1）若f1拓?fù)銰-共軛于f2，則f1具有強(qiáng)G-跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)f2具有強(qiáng)G-跟蹤性；（2）對任意的n∈N+，映射f具有強(qiáng)G-跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)fn具有強(qiáng)G-跟蹤性。同時，給出一個強(qiáng)G-跟蹤性不同于G-跟蹤性的例子，以說明本文結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［14］的結(jié)果，具有一定的研究價值。

1 基本概念及記號

定義1［14］設(shè)X是度量空間，G是拓?fù)淙?。若映射φ：G×X→X滿足

（i）對任意的x∈X，有φ(e，x)=x，其中，e為G的單位元；

（ii）對任意的x∈X以及g1，g2∈G，有

則稱(X，G，φ)是度量G-空間，簡稱X是度量G-空間。為便于書寫，通常將φ(g，x)簡寫為gx。

定 義2［14］設(shè)(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連 續(xù)，δ＞0，{xi}i≥0是X中 的 序 列。若 對 任 意 的i≥0，存 在ti∈G，使 得d(ti f(xi)，xi+1)＜δ，則 稱{xi}i≥0是f的(G，δ)偽軌。

定 義3［14］設(shè)(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續(xù)，ε＞0，y∈X，{xi}i≥0是X中的序列。若對任意的i≥0，存在ti∈G，使得d(fi(y)，ti xi)＜ε，則稱y(G，ε)跟蹤{xi}i≥0。

定 義4［14］設(shè)(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續(xù)。若對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得當(dāng){xi}i≥0是X中f的(G，δ)偽軌時，存在y∈X，y(G，ε)跟蹤{xi}i≥0，則稱f具有G-跟蹤性。

定 義5［14］設(shè)(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續(xù)，ε＞0，y∈X，{xi}i≥0是X中的序列。若存在t∈G，對 任 意 的i≥0，有d(ti fi(y)，xi)＜ε，則 稱y(G，ε)強(qiáng)跟蹤{xi}i≥0。

定 義6［14］設(shè)(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續(xù)。若對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得當(dāng){xi}i≥0是X中f的(G，δ)偽軌時，存在y∈X，y(G，ε)強(qiáng)跟蹤{xi}i≥0，則稱f具有強(qiáng)G-跟蹤性。

注后續(xù)例子說明具有強(qiáng)G-跟蹤性必具有G-跟蹤性，反之不成立。

定義715］設(shè)X，Y是度量G-空間，f：X→Y連續(xù)，如 果 對 任 意 的g∈G，x∈X，存 在h∈G，有f(gx)=hf(x)，則稱f是偽等價映射。

定義8［16］設(shè)X，Y是度量G-空間，f：X→Y連續(xù)，如果對任意的g∈G，x∈X，有f(gx)=gf(x)，則稱f是等價映射。

定義9［16］設(shè)X，Y是度量G-空間，f1：X→X連續(xù)，f2：Y→Y連 續(xù)，如 果 存 在 同 胚 偽 等 價 映 射h：X→Y，使得h?f1=f2?h，則稱f1拓?fù)銰-共軛于f2，此時，h是拓?fù)銰-共軛映射。

2 引 理

引理1設(shè)X和Y是度量G-空間，f1：X→X連續(xù)，f2：Y→Y連續(xù)，m∈N+，若h：X→Y是關(guān)于f1和f2的拓?fù)銰-共軛映射，則有

證明由定義9 易得，此證略。

3 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X，d1)和(Y，d2)是緊致度量G-空間，f1：X→X連續(xù)，f2：Y→Y連續(xù)，若h：X→Y是關(guān)于f1和f2的拓?fù)銰-共軛映射，且h：X→Y等價，則f1具有強(qiáng)G-跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)f2具有強(qiáng)G-跟蹤性。

證明設(shè)f1具有強(qiáng)G-跟蹤性。由h一致連續(xù)知，對任意的ε＞0，存在0 ＜ε0＜ε，當(dāng)d1(x1，x2)＜ε0時，有

由f1具有強(qiáng)G-跟蹤性知，當(dāng)ε0＞0 時，存在0 ＜ε1＜ε0，使 得 當(dāng){xi}i≥0是X中f1的(G，ε1)偽 軌 時，存 在x∈X，p∈G，當(dāng)i≥0 時，有

由h?1一 致 連 續(xù) 知，對ε1＞0，存 在0 ＜ε2＜ε1，當(dāng)d2(x1，x2)＜ε2時，有

設(shè){yi}i≥0是f2的(G，ε2)偽軌，則當(dāng)i≥0 時，存在gi∈G，使得d2(gi f2(yi)，yi+1)＜ε2。由式（3）和h?1等價知，對任意的i≥0，有

由引理1 知，

由式（2）知，存在x∈X，p∈G，當(dāng)i≥0 時，有

由式（1）知，

由引理1 和h等價知，對任意的i≥0，有

因此，f2具有強(qiáng)G-跟蹤性。

設(shè)f2具有強(qiáng)G-跟蹤性。由h?1一致連續(xù)知，對任 意 的η＞0，存 在0 ＜η0＜η，當(dāng)d2(x1，x2)＜η0時，有

由f2具 有 強(qiáng)G- 跟 蹤 性 知，對η0＞0，存 在0 ＜η1＜η0，使得 當(dāng){yi}i≥0是Y中f2的(G，η1)偽軌時，存在y∈Y，l∈G，當(dāng)i≥0 時，有

由h一 致 連 續(xù) 知，對η1＞0，存 在0 ＜η2＜η1，當(dāng)d1(x1，x2)＜η2時，有

設(shè){xi}i≥0是f1的(G，η2)-偽軌，則對任意的i≥0，存在si∈G，使得

由式（6）和h等價知，對任意的i≥0，有

由引理1 知，

由式（5）知，存在y∈Y，l∈G，當(dāng)i≥0 時，有

由式（4）知，

由引理1 和h等價知，

因此，f1具有強(qiáng)G-跟蹤性。

定理2設(shè)(X，d) 是 緊 致 度 量G- 空 間，f：X→X等價，對任意的n≥1，f具有強(qiáng)G-跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)fn具有強(qiáng)G-跟蹤性。

證明充分性。設(shè)f具有強(qiáng)G-跟蹤性。當(dāng)n=1 時，結(jié)論顯然成立。

下證當(dāng)n＞1 時也成立。

由f具有強(qiáng)G-跟蹤性知，對任意的ε＞0，存在δ＞0，使 得 當(dāng)是f的(G，δ)偽 軌 時，存 在z∈X，z(G，ε) 強(qiáng) 跟 蹤是fn的(G，δ) 偽 軌 ， 構(gòu) 造xin+j=fj(yi)，i≥0，0 ≤j≤n?1。則是f的(G，δ)偽軌。故存在x∈X，g∈G，當(dāng)m≥0 時，有

特別地，當(dāng)i≥0 時，有

即

故fn具有強(qiáng)G-跟蹤性。

必要性。結(jié)論顯然成立。

4 具有G-跟蹤性不具有強(qiáng)G-跟蹤性例子

取拓?fù)淙篏=Z2={0，1}，定義

定義f：X→X如下：

解易知(X，d)是緊致度量G-空間，f：X→X是等價的。

首先，證明f具有G-跟蹤性。

對任意的η＞0，取m足夠大且滿足，取設(shè)是f的(G，δ)偽軌，則存在gi∈G，當(dāng)i≥0 時，有

（i）若存在k∈N，使得

由d(gk f(xk)，xk+1)＜δ知 ，xk+1=gk f(xk) 且

以此類推，當(dāng)i≥k時，有

若k=0，由f：X→X等價知，

若k≥1，由d(gk?1f(xk?1)，xk)＜δ知，xk=gk?1f(xk?1)且

以 此 類 推，當(dāng)i≤k時，有xi=gi?1f(xi?1)且故 當(dāng)i≥1 時，有xi=gi?1f(xi?1)。由f：X→X等價知，

因 此，有d(gi gi?1???g0fi(x0)，xi)=0 ＜ε，此 時f具有G-跟蹤性。

（ii）對任意的i∈N，有

然后，證明f不具有強(qiáng)G-跟蹤性。

若g=0，當(dāng)i≥1 時，有

特別地，當(dāng)i=2 時，有

故

則有

事實(shí)上，當(dāng)i=3 時，有得f3(x)＞矛盾。

若g=1，當(dāng)i≥1 時，有

特別地，當(dāng)i=6 時，有

事實(shí)上，當(dāng)i=7 時，有

5 總 結(jié)

在度量G-空間中給出了強(qiáng)G-跟蹤性的概念，利用拓?fù)涔曹椇陀成涞男再|(zhì)，得到度量G-空間中強(qiáng)G-跟蹤性是拓?fù)涔曹棽蛔冃院陀成涞蛔冃?，所得結(jié)論較好。最后通過例子說明強(qiáng)G-跟蹤性與G-跟蹤性的概念不同，推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［14］的結(jié)果，為跟蹤性在實(shí)際生活中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)和科學(xué)基礎(chǔ)。