熊海超，葛仁余，張佳宸，夏 雨，盧港偉

(安徽工程大學 建筑工程學院，安徽 蕪湖 241000)

振動通常由兩部分組成，一是按結構自振頻率振動，二是按荷載頻率振動。由于在實際振動過程中存在著阻尼力，故按自振頻率振動的部分將逐漸消失，只剩下按荷載頻率振動的部分。一般兩種振動同時存在的階段為“過渡階段”，后來只按荷載頻率振動的階段為“平穩(wěn)階段”，而實際問題中“平穩(wěn)階段”的振動較為重要。

Hasheminejad等基于線彈性理論研究了簡支梁在移動荷載作用下的瞬態(tài)彈性動力響應的半解析解；Fan等提出了基于復正態(tài)模態(tài)分析的粘彈性邊界支座梁受迫振動的分析方法，分析了粘彈性支座對梁受迫振動響應的影響；Wielentejczyk等研究了簡諧荷載作用下粘彈性梁的幾何非線性穩(wěn)態(tài)振動問題以及其穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性；Simsek等研究了功能梯度簡支梁在集中移動諧波荷載作用下的自由振動和強迫振動，分析了梁的材料分布、移動諧波荷載速度和激勵頻率對梁動力響應的影響；Khalili等運用瑞利-里茲(Rayleigh-Ritz)法和微分求積(DQM)法研究了功能梯度梁在移動荷載作用下的強迫振動，以及材料特性和運動荷載慣量對動力響應的影響；Yang等運用無網格邊界積分方程法研究了功能梯度梁在諧波荷載和瞬態(tài)荷載作用下的強迫振動問題；Han等運用格林函數單元法研究了具有阻尼效應的簡諧荷載作用下軸向功能梯度非均勻梁穩(wěn)態(tài)動力響應的解析解，分析了解的阻尼效應和對稱性質。

在工程實際中，當遇到受彎構件承受諧振荷載的情況，這時一般總是將結構及其構件的設計避開共振區(qū)。當避開共振區(qū)時，在穩(wěn)態(tài)諧振動過程中即簡諧振動進入”平穩(wěn)階段”，所有的荷載、變形、內力、支反力和慣性力均按同一簡諧規(guī)律變化，即同時達到各自的最大值。此時，受彎構件的穩(wěn)態(tài)諧振動的位移和內力幅值可以直接得出，而不必將振型分解，這樣的計算偏于安全，并大大簡化了問題的求解。Sun采用積分變換法研究了彈性地基梁在簡諧線荷載作用下的閉合撓度響應，得到其穩(wěn)態(tài)響應的顯示表達式，給出了不同載荷頻率和速度組合時的閉合撓度；Luo等研究了彈性支承的Timoshenko梁在簡諧線荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應，給出了其相應的閉合解；Kargarnovin等研究了非線性黏彈性地基支承的無限長梁在簡諧運動荷載作用下的響應，參數化分析了加載速度和激勵頻率對梁響應的影響；Seong等研究了彈性地基上受簡諧荷載作用的剪力梁柱的振動和屈曲，分析了梁的剪切變形和軸向壓縮對穩(wěn)態(tài)響應的影響，給出了預測臨界速度、臨界頻率和軸向屈曲力的表達式。

文章運用微分求積法研究了有限長變截面Timoshenko梁上作用簡諧線動荷載的梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動響應問題?；赥imoshenko梁理論建立了變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動控制方程組，將變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動響應的計算轉化為一組含有復變系數線性常微分方程組的兩點邊值問題，運用微分求積法求解，可獲得梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動的位移與內力幅值，同時可以獲得相應梁的時程曲線。針對地基梁復變系數微分方程所得的復數解，能夠很好地反映地基阻尼對梁橫向穩(wěn)態(tài)振動時梁位移與內力的衰減，且文中方法對梁截面的幾何輪廓形狀無需任何限制條件，便于工程應用。

1 Timoshenko梁基本理論

黏彈性地基變截面Timoshenko梁的力學模型如圖1所示。為研究(黏)彈性地基梁的橫向穩(wěn)態(tài)諧振動，建立(黏)彈性地基上一長度為

l

的彈性變截面Timoshenko梁模型，其截面面積沿軸向任意連續(xù)變化，

x

是從梁的左端起點沿軸線方向的坐標。梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動時，假設梁僅在

x

-

w

平面內變形，且梁的截面位移屬于小變形范疇，忽略梁軸向變形的影響。設任意

x

處截面中性軸上的位移，撓度為

w

(

x

,

t

)，截面轉角為

φ

(

x

,

t

)；材料的彈性模量為

E

、質量密度為

ρ

、剪切模量為

G

、泊松比為

ν

、梁截面的剪切修正系數為

κ

，均為常量；梁截面面積為

A

(

x

)，截面轉動慣量為

I

(

x

)，均為關于

x

的函數，設

A

(

x

)=

A

h

(

x

)，

I

(

x

)=

I

h

(

x

)，其中

h

(

x

)、

h

(

x

)為關于

x

的連續(xù)可微函數，

A

、

I

分別對應于左端邊界

x

=0位置處梁截面面積與截面慣性矩。由圖1可知，

M

(

x

,

t

)、

V

(

x

,

t

)、

P

分別為

x

處梁橫截面上的彎矩、豎向力與水平向恒定力，

P

>0表示

P

為軸向壓力，

P

<0表示

P

為軸向拉力；

φ

、

γ

、

α

分別表示梁微元橫截面轉角(由純彎矩引起的中性軸的轉角)、由純剪力引起的中性軸的剪切角、由彎矩和剪力共同作用引起的中性軸的實際轉角，均為關于

x

、

t

的函數；

f

(

x

,

t

)表示由橫向振動引起的單位長度梁上的橫向慣性力，

m

(

x

,

t

)表示由橫向振動引起的單位長度梁上的轉動慣性力矩，均為關于

x

、

t

的函數；

q

(

x

,

t

)=

F

(

x

)

e

為梁承受的諧振線荷載，其中

F

(

x

)為激振力幅值，

ω

為激振荷載頻率；

kw

、

cw

、

gw

分別表示黏彈性地基的彈性系數、阻尼系數與剪切系數。

圖1 黏彈性地基變截面Timoshenko梁的力學模型

由圖1b可知，Timoshenko梁微元段變形存在幾何關系：

(1)

Q

(

x

,

t

)為梁在

x

位置處橫截面上的剪力，梁微元變形后，橫截面上的豎向力

V

(

x

,

t

)與剪力

Q

(

x

,

t

)及水平力

P

存在以下關系：

(2)

圖1a中，

P

(

x

,

t

)表示三參數Pasternak黏彈性地基對單位長度梁段的地基反力，其方程可表示為：

(3)

由圖1a、圖1b、圖1c可知，根據梁微元變形的平衡條件，結合式(1)、式(2)、式(3)得到Timoshenko梁穩(wěn)態(tài)諧振動控制微分方程組如下：

(4)

考慮梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動時，所有荷載、變形、內力、支反力和慣性力等均按荷載激勵頻率振動的規(guī)律變化，并同時達到各自的最大值?？稍O：

w

(

x

,

t

)=

W

(

x

)

e

,

φ

(

x

,

t

)=

Φ

(

x

)

e

,

q

(

x

,

t

)=

Q

e

,

(5)

將式(5)代入式(4)，并引入下列無量綱參數，得到梁穩(wěn)態(tài)諧振動控制方程組的無量綱形式如式(6)所示。

(6)

式中，

r

是影響梁橫截面轉動慣量的無量綱回轉半徑，當左端截面一定時，其值可反映梁長細比的大?。?p>s

是反映梁剪切變形的無量綱參數；

Ω

是外部激勵荷載的無量綱角頻率。

為方便方法的描述，引入下列系數參量代入式(6)，得到式(7)。

(7)

將區(qū)間

ξ

∈[0,1]離散為

n

段，0=

ξ

,

ξ

,

ξ

,

ξ

-1,

ξ

=1，共

n

+1個節(jié)點。采用標記C、H和F分別表示固支、簡支和自由三種梁的端部支承形式，如C-H表示梁兩端的支承形式為左端固支、右端簡支。因此梁穩(wěn)態(tài)諧振動的各類邊界條件為：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

至此，變截面Timoshenko梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動響應問題轉化為求解滿足相應邊界條件式(8)的復變系數常微分方程組式(7)的兩點邊值問題，文中采用微分求積法。

2 微分求積法基本原理

研究采用非均勻等比數列節(jié)點離散模型對區(qū)間

ξ

∈[0,1]進行節(jié)點間距變步長設置，如圖2所示，具體節(jié)點離散公式為：

(9)

式中，

q

和

q

為調整非均勻等比數列節(jié)點劃分密度的公比，可根據計算精度需要進行調整。這種在梁兩端支座附近區(qū)域布置較多的細密非均勻節(jié)點，無論從數學角度還是力學角度，對于微分求積法的計算精度都非常有利。

圖2 變截面梁的節(jié)點離散模型

考慮一維函數

U

(

ξ

)、Ф(

ξ

)在區(qū)間

ξ

∈[0,1]上可微，區(qū)間離散為

n

段，0=

ξ

,

ξ

,

ξ

,

ξ

-1,

ξ

=1，共

n

+1個節(jié)點，即

n

+1個節(jié)點上函數的導函數值可用

n

+1個節(jié)點對應函數值的加權線性求和來近似表示。將函數

U

(

ξ

)、Ф(

ξ

)及其相應的導數值用其各節(jié)點的函數值進行拉格朗日(Lagrange)插值表示，即

(10)

式中，

l

(

ξ

)為拉格朗日插值多項式，其具體形式為：

(11)

由式(10)，分別對函數

U

(

ξ

)、Ф(

ξ

)求一階導數，得到：

(12)

將式(12)中的

ξ

離散化，從而有：

(13)

依此類推，可得：

(14)

(15)

將式(13)用向量形式表達，得到：

(16)

()(

ξ

)={

U

()(

ξ

),

U

()(

ξ

),…,

U

()(

ξ

)},(

ξ

)={

U

(

ξ

),

U

(

ξ

),…,

U

(

ξ

)},()(

ξ

)={

Φ

()(

ξ

),

Φ

()(

ξ

),…,

Φ

()(

ξ

)},(

ξ

)={

Φ

(

ξ

),

Φ

(

ξ

),…,

Φ

(

ξ

)},

由于微分關系

(17)

因此，各階導數的加權系數矩陣之間的關系為：

(18)

將式(7)離散，并用向量形式表示，其中微分方程組中的變系數寫成對角陣形式，即

=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)},=

diag

{

g

(

ξ

),

g

(

ξ

),…,

g

(

ξ

)}。

從而得到梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動控制方程組的向量矩陣形式：

(19)

根據復系數代數方程組的表達形式，將式(19)分解為：

(20)

式中，矩陣、分別表示矩陣的實部與虛部，矩陣、、的實部與虛部均同理表示；向量、分別表示向量的實部與虛部；由此可知，兩未知向量解的形式為：=+

i

、=+

i

。

不失一般性，以懸臂梁(C-F)情況為例進行邊界條件討論，則其相應的邊界條件的向量形式為：

(21)

將邊界條件式(21)代入式(20)中，并替換相應的第0行和

n

行，獲得梁穩(wěn)態(tài)諧振動控制方程的復系數代數方程組的向量矩陣形式。

(22)

為便于編程計算，式(22)進一步簡化為：

(+

i

)=+

i

,

(23)

解向量形式為：

至此，式(23)為含有2

n

+2個未知復數向量(,)的復系數線性代數方程組，通過復系數方程組的全選主元高斯(Gauss)消去法可直接求出復數解向量(,)，即為相應梁穩(wěn)態(tài)諧振動離散化后各點的無量綱撓度

U

(

ξ

)和截面轉角Ф(

ξ

)的幅值。根據Timoshenko梁理論，結合基本參量單位，可進一步計算獲得梁各節(jié)點的內力幅值。

3 數值算例與討論

表1 一端固支、一端簡支Euler梁穩(wěn)態(tài)諧振動的位移與內力

算例

2

黏彈性地基上Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動響應?？紤]黏彈性地基約束的影響，梁段區(qū)間劃分點數

n

=30，公比

q

=1.2時，運用微分求積法求解式(7)和式(8d)，對黏彈性地基上Timoshenko懸臂梁(C-F)橫向穩(wěn)態(tài)諧振動響應進行研究，這里取均布荷載幅值

Q

=100 kN/m，軸向荷載

P

=-40×40 MN，其他具體參數參照文獻[17]確定取值范圍。算例主要分析了無量綱地基彈性系數

k

、無量綱地基剪切系數

g

及無量綱地基阻尼系數

b

對梁位移和內力幅值的影響。地基彈性系數對Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內力幅值的影響如圖3所示。由圖3可知，無量綱地基彈性系數

k

對C-F梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動時地基梁位移與內力的影響。由圖3a、圖3b、圖3c、圖3d計算結果可知，地基梁的撓度、轉角、彎矩和剪力幅值隨著無量綱地基彈性系數

k

的增大而減小。剪切系數對Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內力幅值的影響如圖4所示。由圖4可知，無量綱地基剪切系數

g

對C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動時梁位移與內力的影響。由圖4a、圖4b、圖4c、圖4d計算結果可知，地基梁的撓度、轉角、彎矩和剪力幅值隨著無量綱地基剪切系數

g

的增大而增大。

圖3 地基彈性系數對Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內力幅值的影響

圖4 剪切系數對Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內力幅值的影響

阻尼系數對Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內力幅值的影響如圖5所示。由圖5可知，無量綱地基阻尼系數

b

對C-F地基梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動時梁位移與內力的影響。由圖5a、圖5b、圖5c、圖5d、圖5e、圖5f、圖5g、圖5h計算結果可知，地基梁的撓度、轉角、彎矩和剪力幅值實數部分隨著無量綱地基阻尼系數

b

的增大而減小，撓度、轉角、彎矩和剪力幅值的虛數部分隨著無量綱地基阻尼系數

b

的增大而增大。綜上，地基彈性系數

k

、剪切系數

g

及阻尼系數

b

對黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內力幅值的影響比較明顯，不可忽略。

圖5 阻尼系數對Timoshenko懸臂梁(C-F)位移和內力幅值的影響

4 結論

研究基于Timoshenko梁理論，將有限長變截面梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動響應的計算轉化為求解一組含有復變系數常微分方程組的兩點邊值問題，運用微分求積法求解該復變系數常微分方程組，從而獲得梁橫向穩(wěn)態(tài)諧振動時的位移與內力。研究主要結論如下：由微分求積法獲得的Euler梁穩(wěn)態(tài)諧振動的位移及內力計算值與精確解、已有文獻的計算結果吻合，說明了微分求積法分析梁穩(wěn)態(tài)諧振動問題的有效性和精確性。數值計算結果表明，地基彈性系數

k

、剪切系數

g

及阻尼系數

b

對黏彈性地基上Timoshenko梁位移和內力幅值的影響比較明顯。具體表現(xiàn)為：梁的位移和內力隨地基彈性系數

k

的增大而減小、隨地基剪切系數

g

的增大而增大、隨地基阻尼系數

b

的增大而減小。研究方法具有通用性和適應性強的特點，可以推廣到抗彎剛度和單位長度質量連續(xù)變化的功能梯度材料Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)諧振動的研究中，具有一定的工程應用價值。