胡 悅，胡良劍

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

近年來(lái)，傳染病數(shù)學(xué)模型的研究得到了廣泛關(guān)注，這些研究為傳染病的預(yù)測(cè)和控制提供了理論依據(jù)。2020年8月，新加坡遇到史上最嚴(yán)重的登革熱疫情，我國(guó)廣西和廣東等省份也出現(xiàn)了相關(guān)病例。登革熱、流行性乙型腦炎、瘧疾、絲蟲病和黃熱病等危害性很強(qiáng)的傳染病是由一類蚊蟲傳播的自然疫源性疾病，稱為蚊媒傳染病。噴灑農(nóng)藥等方式并不能有效地阻止這類傳染病，過(guò)量使用還會(huì)導(dǎo)致環(huán)境污染、生態(tài)破壞等后果。于是人們研究出一種新型的控制策略來(lái)阻斷這類蚊蟲傳播疾病，即利用沃爾巴克氏菌入侵這類蚊蟲。這種細(xì)菌的繁殖方式屬于母系遺傳，并且通過(guò)驅(qū)動(dòng)細(xì)胞質(zhì)不親和性這一特有的細(xì)菌繁殖機(jī)制(Cytoplasmic Incompatibility,簡(jiǎn)稱CI機(jī)制)入侵蚊蟲種群，就可以獲得一種較為理想的病毒傳播特性。這種特性會(huì)導(dǎo)致未受沃爾巴克氏菌感染的雌性蚊蟲和受感染的雄性蚊蟲交配產(chǎn)生的胚胎死亡，因此蚊蟲的數(shù)量會(huì)大大降低，從而達(dá)到減少蚊媒傳染病傳播的目的。在此期間，受沃爾巴克氏菌感染的雌性蚊蟲數(shù)量則不受任何影響，這樣便保證了沃爾巴克氏菌入侵蚊蟲種群的優(yōu)勢(shì)，使得蚊媒傳染病能夠獲得有效的控制，以有利于人類健康和社會(huì)穩(wěn)定。

一些學(xué)者對(duì)沃爾巴克氏菌影響下的蚊蟲種群模型進(jìn)行了深入的研究。Fine對(duì)庫(kù)蚊細(xì)胞質(zhì)不相容的種群動(dòng)態(tài)進(jìn)行研究分析，指出了雄性的攜帶者和雌性的非攜帶者之間有不親和性，僅僅通過(guò)母體遺傳特征，蚊蟲就能夠在一個(gè)種群中傳播寄生蟲和傳染病。Huang等考慮了一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散模型，該模型是在下列沃爾巴克氏菌影響下的確定性蚊蟲種群模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)的：

(1)

迄今大部分研究都是在蚊蟲生活環(huán)境不變的假設(shè)下，討論蚊蟲種群的變化情況。事實(shí)上，蚊蟲種群生活環(huán)境處于一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，總是會(huì)受到環(huán)境噪聲的影響。在溫度、降雨或者人為因素等影響下，蚊蟲種群的出生率會(huì)隨之波動(dòng)。有一些學(xué)者對(duì)隨機(jī)環(huán)境下的種群進(jìn)行了研究。目前絕大部分的研究都是在將常數(shù)參數(shù)

a

和

b

替換為

a

(

t

)和

b

(

t

),其他參數(shù)

c

、

m

保持不變的條件下進(jìn)行的。Hu等分別考慮了環(huán)境條件在兩個(gè)亞體系和多個(gè)亞體系之間的切換，把原本固定的參數(shù)變成隨時(shí)間等因素變化的量，最后估計(jì)了沃爾巴克氏固定的閾值釋放水平，并定義了疾病傳播的警報(bào)期，以衡量蚊蟲傳播疾病的風(fēng)險(xiǎn)。

(2)

式中，

B

(

t

)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。由于噪聲項(xiàng)

B

(

t

)的影響, 式(2)的狀態(tài)成為擴(kuò)散過(guò)程,因此研究式(1)的常微分方程理論不再適用于式(2),需要運(yùn)用隨機(jī)分析理論來(lái)進(jìn)行研究。

1 全局正解的存在唯一性

為了保證方程的現(xiàn)實(shí)意義，首先需要驗(yàn)證系統(tǒng)(2)全局正解的存在唯一性。顯然模型的系數(shù)是局部李普希茲連續(xù)的，但不滿足線性增長(zhǎng)條件，所以普通的存在唯一性定理就不能適用于此系統(tǒng)，研究將通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來(lái)進(jìn)行證明。

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

V

(

x

,

y

)=

x

-ln

x

+

y

-ln

y

,

根據(jù)伊藤公式得

由

得

EV

(

x

(

T

∧

τ

),

y

(

T

∧

τ

))≤

V

(

x

(0),

y

(0))+

QT

,

因此可以得到

當(dāng)

k

→∞時(shí),

V

(

x

(0),

y

(0))+

QT

≥∞，這與

V

(

x

(0),

y

(0))+

QT

<∞矛盾，因此

τ

=∞

a

.

s

。

定理得證。

2 滅絕性

在研究種群的動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，滅絕性和持久性是兩個(gè)重要的系統(tǒng)特性。本節(jié)先討論系統(tǒng)的滅絕性。在探究滅絕性的過(guò)程中，基本再生數(shù)是系統(tǒng)的一個(gè)閾值，當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，種群便會(huì)隨著時(shí)間的推移而滅絕。

證明

利用伊藤公式，

兩邊同時(shí)從0到

t

積分

當(dāng)

t

→∞時(shí)，

x

(

t

)指數(shù)趨向于0。證畢。

3 持久性

本節(jié)研究系統(tǒng)的持久性。 在證明持久性之前，先介紹引理1，證明見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。

引理

1 設(shè)

N

(

t

)是下列方程具有初值

N

>0的解，

dN

(

t

)=

N

(

t

)[

α

-

βN

(

t

)]

dt

+

γN

(

t

)

dB

(

t

)，若2

α

>

γ

，則

并且

注：該引理給出了隨機(jī)Logistic單種群模型的基本特性，其他復(fù)雜的隨機(jī)種群模型的研究可借鑒該系統(tǒng)的性質(zhì)作進(jìn)一步探討。

即蚊蟲的總數(shù)是隨機(jī)平均持久的。

證明

由于

dx

(

t

)=

x

[

a

-

c

(

x

+

y

)]

dt

+

σxdB

(

t

)≤

x

(

a

-

cx

)

dt

+

σxdB

(

t

),令

x

(

t

)是方程

dx

=

x

(

a

-

cx

)

dt

+

σx

dB

(

t

)

的解,根據(jù)引理1有

顯然

(3)

令

y

(

t

)是方程

dy

=

y

(

b

-

my

)

dt

(4)

的解,那么

由式(3)、式(4)得

dx

(

t

)=

x

[

a

-

c

(

x

+

y

)]

dt

+

σxdB

(

t

)≥

x

(

a

-

cx

-

cy

)

dt

+

σxdB

(

t

)。令

x

(

t

)是方程

dx

(

t

)=

x

[

a

-

cx

-

cy

)

dt

+

σx

dB

(

t

)

的解,那么根據(jù)文獻(xiàn)[18]，

(5)

從而可設(shè)

根據(jù)伊藤公式得到

兩邊從0到

t

積分

整理后有

以及

兩式相加有

其中,

從而

結(jié)合式(5)可知

那么，

根據(jù)大數(shù)定律，

結(jié)合比較定理可知

因此有

由

以及大數(shù)定律得到

定理得證。

4 數(shù)值例子

為了證明以上的理論結(jié)果，利用Euler-Maruyama的方法來(lái)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。研究取初值

x

(0)=

y

(0)=0.5，即受感染蚊蟲和未受感染的蚊蟲數(shù)量各占一半。在系統(tǒng)(2)中設(shè)0≤

t

≤100，時(shí)間步長(zhǎng)取1，

a

=0.1,

b

=0.2,

c

=0.3,

m

=0.4。

σ

=0.9時(shí)動(dòng)力學(xué)行為如圖1所示。

σ

=0.05時(shí)動(dòng)力學(xué)行為如圖2所示。圖1、圖2中的實(shí)線代表受感染蚊蟲數(shù)量，虛線代表未受感染蚊蟲數(shù)量。圖1中的參數(shù)滿足定理2的條件R=(2

a

/

σ

)<1，數(shù)值結(jié)果說(shuō)明,噪聲干擾足夠大時(shí)，受感染蚊蟲會(huì)隨著時(shí)間趨于滅絕，而未受感染的蚊蟲則不會(huì)滅絕；圖2參數(shù)不滿足定理2的條件，可見(jiàn)噪聲干擾較小時(shí)，受感染的蚊蟲不會(huì)滅絕。系統(tǒng)的持久性如圖3所示。圖3中曲線代表蚊蟲總和，這里

a

=0.7，

σ

=0.4。由圖3可知，基本再生數(shù)R足夠大時(shí)，隨著時(shí)間的變化，蚊蟲總數(shù)長(zhǎng)期平均值會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)正值的趨勢(shì)。

圖1 σ=0.9時(shí)動(dòng)力學(xué)行為 圖2 σ=0.05時(shí)動(dòng)力學(xué)行為

圖3 系統(tǒng)的持久性

5 結(jié)論

進(jìn)一步，可以探討模型(2)數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性。還可以考慮將模型的其他參數(shù)，如未受感染的蚊蟲出生率的隨機(jī)擾動(dòng)，研究其全局正解的存在唯一性、滅絕性以及持久性等。