王 琪，薛亞奎

（中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051）

媒介傳染病是一種重要的傳染病，是由受感染的節(jié)肢動(dòng)物傳播的疾病，如蚊子、扁虱等。一個(gè)世紀(jì)以前就有證據(jù)表明，吸血節(jié)肢動(dòng)物能夠向人類(lèi)以及動(dòng)物和人類(lèi)之間傳播特定類(lèi)型的病毒、細(xì)菌、原生動(dòng)物和蠕蟲(chóng)。自那時(shí)以來(lái)，有大量媒介傳播疾病爆發(fā)的報(bào)告，如瘧疾、登革熱、南美錐蟲(chóng)病和利什曼病，根據(jù)世界衛(wèi)生組織（WHO）的數(shù)據(jù)，媒介傳播疾病占所有傳染病病例的17% 以上，每年導(dǎo)致超過(guò)100萬(wàn)人死亡［1］，媒介傳染病嚴(yán)重威脅著人類(lèi)的健康。因此針對(duì)媒介傳染病，很多數(shù)學(xué)工作者通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理論分析和定量研究［2-7］。文獻(xiàn)［8］對(duì)于蟲(chóng)媒傳染病SEIR模型進(jìn)行了分析和模擬，文獻(xiàn)［9］介紹了在埃及伊蚊的Zika病毒的垂直傳染，表明了垂直傳染可能提供了一個(gè)潛在的機(jī)制，病毒會(huì)在惡劣的條件下生存。

了解人類(lèi)行為及社會(huì)反映對(duì)傳染病傳播的影響是加強(qiáng)控制工作的關(guān)鍵。疾病發(fā)生率在傳播過(guò)程中其重要作用，在大部分動(dòng)力學(xué)模型中使用的是雙線性發(fā)生率βSI，而當(dāng)越來(lái)越多的染病病例被媒體報(bào)道后，人們的防護(hù)意識(shí)會(huì)增強(qiáng)，使得實(shí)際染病者數(shù)量降低。在文獻(xiàn)［10-15］中使用非單調(diào)發(fā)生函數(shù)模擬了這種現(xiàn)象。因而本文綜合考慮了一類(lèi)具有心理效應(yīng)及垂直傳播的媒介傳染病SEIRS模型，由于心理效應(yīng)的影響，染病媒介與易感人群之間采用發(fā)生率

1 動(dòng)力學(xué)模型

本文把疾病流行區(qū)域或國(guó)家的總?cè)丝诜譃橐赘蓄?lèi)、潛伏類(lèi)、染病類(lèi)、移出類(lèi)等4類(lèi)，分別用SH（t）、EH（t）、IH（t）、RH（t）表示t時(shí)刻的易感類(lèi)、潛伏類(lèi)、染病類(lèi)、移出類(lèi)的人口數(shù)量。假設(shè)染病類(lèi)的后代以p的概率具有先天免疫，則以（1-p）的概率進(jìn)入潛伏類(lèi)，用NH（t）表示t時(shí)刻的總?cè)藬?shù)，則NH（t）=SH（t）+EH（t）+IH（t）+RH（t）。將媒介分為易感和感染等2類(lèi)，分別用SV（t），IV（t）表示t時(shí)刻的易感類(lèi)和感染類(lèi)媒介的數(shù)量，用NV（t）表示t時(shí)刻的媒介總數(shù)，則NV（t）=SV（t）+IV（t）。建立模型如下：

式中：假設(shè)不考慮因病死亡，媒介的出生和死亡率相等均用d表示，人口的出生和死亡率系數(shù)相等均用μ表示；β1表示人的心理對(duì)疾病的感染強(qiáng)度；表示當(dāng)染病人群的數(shù)量達(dá)到一定數(shù)量后，易感者行為改變的心理效應(yīng)；β2表示染病類(lèi)人群對(duì)易感媒介的感染率；β3表示潛伏類(lèi)人群對(duì)易感媒介的感染率；ε表示潛伏者發(fā)病成染病者的概率；γ表示染病者的康復(fù)率；δ表示移出者再次感染的概率。

不妨令：NH（t）=SH（t）+EH（t）+IH（t）+RH（t）=NH0，NV（t）=SV（t）+IV（t）=NV0，設(shè)：

則有：

進(jìn)一步，模型（1）可以化簡(jiǎn)為：

為方便討論，記θ1=μ+ε，θ2=μ+γ，θ3=μ（1-p），θ4=μ+δ，α1=αN2H0，a=β1NV0，b=β2NH0，c=β3NH0，顯然：Ω=｛（Sh，Eh，Ih，Iv）∈R4+：0≤Sh+Eh+Ih≤1，0≤Iv≤1｝是模型（2）的一個(gè)正向不變集，下面將在集合Ω中研究模型（2）的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

2 基本再生數(shù)及平衡點(diǎn)的存在性

2.1 基本再生數(shù)及無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性

易知模型（2）總存在無(wú)病平衡點(diǎn)E0=（1，0，0，0），根據(jù)下一代矩陣法，求得基本再生數(shù)R0的表達(dá)式為：

顯然θ1θ2-εθ3=μ2+εγ+μγ+μεp＞0。

2.2 地方病平衡點(diǎn)的存在性

為了得到模型的地方病平衡點(diǎn)E*=（S*h，E*h，I*h，I*v），令模型（2）方程的右端為0，并將S*h，E*h，I*h，I*v分別代入方程得到：

得到：

代入方程（4），有：

式中：a1=-α1（bε+cθ2）（θ1θ2-εθ3）θ4；a2=-α1dε（θ1θ2-εθ3）θ4；a3=-（bε+cθ2）（θ1θ2-εθ3）θ4-a（bε+cθ2）（θ1θ2+δθ2+δε）；a4=εa（bε+cθ2）θ4-dε（θ1θ2-εθ3）θ4。

則

當(dāng)Ih＞0時(shí)，F(xiàn)′（Ih）＜0，即F（Ih）＜F（0），因此，當(dāng)R0＞1時(shí)，有F（0）＞0，則方程（8）有唯一正根I*h，模型（2）存在唯一的正平衡點(diǎn)E*=（S*h，E*h，I*h，I*v）。

定理1模型（2）一定存在無(wú)病平衡點(diǎn)E0，當(dāng)R0＞1時(shí)，存在唯一地方病平衡點(diǎn)E*。

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

3.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2對(duì)于模型（2），當(dāng)R0＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明模型（2）在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為：

對(duì)J（E0）進(jìn)行初等保號(hào)變換，有：

則J（E0）的特征方程對(duì)應(yīng)的特征根為：

當(dāng)R0＜1時(shí)，d（R20-1）＜0，即特征方程的所有特征根均有負(fù)實(shí)部。

因此，R0＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

計(jì)算：

當(dāng)R0＜1時(shí)，V·≤0，當(dāng)且僅當(dāng)Eh=Ih=0或Iv=Ih=0時(shí)，V·=0，由LaSalle不變集原理可知，E0在可行域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

3.2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理3對(duì)于模型（2），當(dāng)R0＞1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明模型（2）在地方病平衡點(diǎn)E*處的Jacobian矩陣為：

對(duì)J（E*）進(jìn)行初等保號(hào)變換，有：

其中，

記

可得C＜0，E＜0，J（E*）特征方程對(duì)應(yīng)的特征根為：

即特征方程所有的特征根均有負(fù)實(shí)部，因此模型（2）的地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。證畢。

4 數(shù)值模擬

平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性模擬結(jié)果如圖1所示。圖1（a）中取參數(shù)μ=0.3，β1=0.072，p=0.37，β2=0.052，β3=0.023，γ=0.05，δ=0.05，ε=0.63，α=0.1，d=0.02。此時(shí)，R0=0.1193＜1，可以看出當(dāng)R0＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。圖1（b）中取參數(shù)μ=0.3，β1=0.62，p=0.37，β2=0.52，β3=0.32，γ=0.05，δ=0.5，ε=0.63，α=0.7，d=0.7。此時(shí)，R0=1.2776＞1，可以看出當(dāng)R0＞1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

心理效應(yīng)、媒介死亡率、染病媒介與易感人群的接觸率對(duì)染病者的影響如圖2所示。通過(guò)數(shù)值模擬說(shuō)明了，心理效應(yīng)對(duì)模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性并不會(huì)產(chǎn)生影響，但如果疾病流行，考慮心理效應(yīng)會(huì)影響染病者的數(shù)量。并且得到當(dāng)參數(shù)α和d增加或者β1減小時(shí)，染病者的數(shù)量會(huì)減少，選取“《中國(guó)疾病預(yù)防控制中心》全國(guó)法定傳染病疫情概況”中2013年1月—10月全國(guó)甲型H1N1流感染病者的比例［16］，本文中繪制了染病者比例折線圖，可以看出通過(guò)媒體、政府等各方面的宣傳干預(yù)，人們預(yù)防疾病的意識(shí)增強(qiáng)，逐漸形成心理暗示后，染病者人數(shù)明顯下降。從文獻(xiàn)［17］中容易得到滅蚊行動(dòng)對(duì)登革熱疫情產(chǎn)生重要影響。以2013年中國(guó)大陸爆發(fā)的甲型H7N9禽流感為例，發(fā)病數(shù)最多的3個(gè)省份強(qiáng)制關(guān)閉了一些城市的大型活禽市場(chǎng)，盡管距離關(guān)閉活禽市場(chǎng)尚不足2個(gè)潛伏期，但新發(fā)病例報(bào)告數(shù)已出現(xiàn)大幅下降［18］。

圖1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性模擬

圖2 心理效應(yīng)、媒介死亡率、染病媒介與易感人群的接觸率對(duì)染病者的影響

5 結(jié)論

研究了一類(lèi)具有心理效應(yīng)的媒介傳染病，得到?jīng)Q定疾病是否流行的閾值R0，通過(guò)LaSalle不變集原理及構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，得到當(dāng)R0＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0＞1時(shí)，得到唯一的地方病平衡點(diǎn)，并證明它在可行域內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的，通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。結(jié)果表明，考慮公眾的心理并不會(huì)影響平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，但如果疾病流行，會(huì)影響染病者的數(shù)量。本文通過(guò)理論分析及數(shù)值模擬證明了，縮短媒介的壽命、增強(qiáng)人們對(duì)疾病的信息接收以及減少易感人群與染病媒介的接觸等方法，都對(duì)疾病的控制有所幫助。