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        (2+1)維非線性演化方程的顯示解

        2021-03-22 09:21:06劉小平
        關(guān)鍵詞:解和孤子有理

        劉小平

        (電子科技大學(xué)中山學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院,廣東 中山 528406)

        尋求物理、數(shù)學(xué)上有重要意義方程的顯示解一直是熱門話題,現(xiàn)已形成許多成熟的方法,比如Hirota直接法[1-5]、穿衣方法[6-12]、Riemam-theta 函數(shù)與直接法相結(jié)合的方法[13-16]。其中,Hirota直接法提供了一個(gè)強(qiáng)有力的獲得非線性演化方程的方法。此方法主要以Hirota雙線性公式為基礎(chǔ),一旦建立該方程的雙線性形式,就可以得到該方程的孤子解、奇異解、有理周期解。

        本研究采用Hirota雙線性方法,討論如下(2+1)維非線性演化方程的顯示解,包括孤子解、奇異解、有理周期解:

        (1)

        本研究利用規(guī)范變換和Hirota雙線性算子的特性,得到方程(1)的雙線性形式,再利用Hirota直接法得到方程(1)的孤子解和奇異解,最后借助新的變換求出方程的有理周期解。

        1 (2+1)維非線性方程的雙線性形式

        首先,引入雙線性算子D:

        當(dāng)算子D作用在指數(shù)函數(shù)上時(shí)有更好的特性:

        式中:ξj=kjx+wjt+ljy+ri,i=1,2。

        更一般的情況:G(Dx,Dt,Dy)eξ1eξ2=G(k1-k2,w1-w2,l1-l2)eξ1+ξ2。令

        u=2(lnf)xx,

        (2)

        把公式(2)代入方程(1)可得

        (3)

        對(duì)式(3)兩邊關(guān)于x積分一次,并取積分常數(shù)為0,可得

        -4·2(lnf)xt+3(2 lnf)yy+2(lnf)xxxx+3[(2(lnf)xx]2=0。

        (4)

        (5)

        2 (2+1)維非線性方程的孤子解和奇異解

        本部分利用雙線性方法構(gòu)造方程(5)的解,進(jìn)而獲得方程(1)的解。利用文獻(xiàn)[1]提出的擾動(dòng)法:

        f=1+εf1+ε2f2+ε3f3+L,

        式中:ε是小參數(shù)。

        2.1 孤子解

        2.1.1單孤子解

        f=1+eη1。

        利用式(2)得

        (6)

        2.1.2二孤子解

        式中:

        (7)

        利用式(2)可得二孤子解

        (8)

        類似地,可以得出N-孤子解。

        2.2 奇異解

        2.2.1單奇異解

        令f=1-eη1,可以得到單奇異解

        (9)

        2.2.2二奇異解

        令f=1-eη1+η2+C12eη1+η2,利用式(2)可得二奇異解

        (10)

        3 有理周期解

        f(x,y,t)=e-η1+Acosη2+Beη1,ηi=kix+wit+liy+ri,i=1,2。

        (11)

        把式(11)代入式(5)比較e-η1、eη1、cosη2、sinη2,使得系數(shù)為0,可得

        把上述結(jié)果代入式(11),可得以下兩種情況,不妨記為f1、f2:

        借助變換(2)可得原方程(1)的解為

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