時倩倩,劉法貴

(華北水利水電大學 數學與統(tǒng)計學院，河南 鄭州 450046)

近年來，相變理論中相場模型的相關研究備受矚目。由于其數學內涵的豐富性及復雜程度，加上其在材料科學中的應用，故相場模型的研究無論是在理論上還是在實際上都有意義。相場理論的基本模型有4種：Cahn-Allen方程、Cahn-Hillard方程、Penrose-Fife系統(tǒng)、Cagnalp系統(tǒng)。其中，Cahn-Allen方程為

ut-uxx+u3-u=0。

(1)

隨著科學技術的不斷發(fā)展，人們采用直接積分法[1]、試探函數法[1-2]、齊次平衡法[3]、簡單方程法[4]、(G′/G)-展開法[5]、廣義雙曲正切-余切法[6]等成功求解了不同類型的非線性偏微分方程。文獻[5]應用(G′/G)展開法求出了Cahn-Allen方程的精確解,所得結果包含周期解和孤波解。文獻[6]使用廣義雙曲正切-余切法對分數階Cahn-Allen方程進行了研究，求出了非線性分數階Cahn-Allen方程的行波解。

本研究使用試探函數法和齊次平衡法來求方程(1)的精確解,得到其扭狀孤立波解。通過引入試探函數，將其代入原方程獲得關于參數的一組方程，由于求解過程相對煩瑣，故需要借助Mathematica軟件。

1 試探函數法求精確解

引入函數變換

u(x，t)=φ(ξ)，ξ=x-ct，

(2)

式中：c為波速。由式(1)、(2)，經計算得

-cφ′-φ″+φ3-φ=0。

(3)

假設方程(3)具有如下形式的解:

(4)

式中：a、A、B為待定常數。由式(4)直接計算可得

(5)

(6)

將式(4)、(5)、(6)代入方程(3)，可得

-cAa(y+y2)-Aa2(y-y2)+A3y3+3A2B(y2+y3)+3AB2y(1+y)2-
Ay(1+y)2+(B3-B)(1+y)3=0，

(7)

式中：y=expaξ。由1、y、y2、y3的線性無關性，得到關于參數a、A、B的代數方程組：

(8)

對方程組(8)求解,得

于是，求得方程(3)的精確解為

(9)

(10)

2 齊次平衡法求精確解

為使方程(1)中的最高階導數項和非線性項部分平衡，假設方程(1)具有如下形式的解：

u=fx(φ)+r。

(11)

下面將確定函數f(φ)和φ(x，t)，以及常數r，使式(11)滿足方程(1)。將式(11)代入方程(1)的左邊，得

(12)

f′3-f?=0。

(13)

該方程有解

(14)

從而得

(15)

利用式(13)，得

(16)

在式(16)中置f″、f′的系數和常數項為0，可得φ和r滿足方程組

(17)

和

r3-r=0。

(18)

從式(18)中解出

r=1，r=-1，r=0。

(19)

取r=1，則方程組(17)變?yōu)?/p>

(20)

假設

φ=1+exp(kx+αt)，

(21)

式中：k和c為待定常數。將式(21)代入(20)，可知待定系數k和c滿足

(22)

求解式(22)，得到

(23)

將式(21)、(23)及r=1代入式(11)中，可得

(24)

取r=-1，類似討論，可得方程(1)的另一個孤立波解

(25)

取r=0，可同樣得到式(24)、(25)。

由定理1和定理2可以看出，雖用不同的方法，仍得到了具有相同函數形式的扭狀孤立波解。

3 定性分析

令x=φ(ξ)、y=φ′(ξ)，則式(3)等價于

(26)

方程(26)有3個奇點O(0，0)、A(1，0)和B(-1，0)。對于奇點O,注意到方程(26)對應的線性系統(tǒng)特征根滿足λ2+cλ+1=0。因此，當c<0時，O是不穩(wěn)定的奇點，而當c>0時，O是穩(wěn)定的奇點。對于奇點A、B,注意到方程(26)對應的線性系統(tǒng)特征根滿足λ2+cλ-2=0。因此，A、B是不穩(wěn)定的奇點。

對于方程(26)，由于Px+Qy=-c，故由Bendixson判據，可以斷定如下結論成立:

定理3當c≠0時，方程(13)在全平面上不存在閉軌線，即此時方程(1)不存在鐘狀的孤立波解和周期行波解。

4 結語

本研究運用試探函數法、齊次平衡法求解Cahn-Allen方程，得到了具有相同形式的扭狀孤立波解。并且，進行定性分析得到當c≠0時，方程(1)不存在鐘狀的孤立波解和周期行波解。由此可見，試探函數法和齊次平衡法是求解非線性發(fā)展方程的有效方法。