崔恩華 劉愛琴

摘? 要：根據歷史發(fā)生原理，從學生的角度選取數學史上幾個關鍵的函數概念，研究它們定義的緣由，以及它們之間的聯(lián)系，從本源上對高中函數概念和學生的困惑進行深入探討，從而分析出學生困惑的原因，并給出函數概念生成的教學建議和思路，幫助學生解決困惑，真正理解函數的本質.

關鍵詞：函數;變量;對應;集合

一、引言

函數是中學數學的核心概念，函數概念形成的過程是曲折且漫長的，是數學家認識不斷深化的智慧結晶，更體現(xiàn)了一種數學精神. 數學是研究現(xiàn)實中數量關系和空間形式的科學，而函數研究的是兩個變量之間的數量關系，主要價值在于找出數量規(guī)律，從而揭示和把握事物之間的運動變化規(guī)律. 然而，沒有數量規(guī)律的對應關系為什么也是函數呢？函數為什么是單值對應而不是多值對應？高中函數為什么要建立在集合上，與初中函數有什么區(qū)別？這些問題始終困擾著很多學生，僅僅研究初中和高中教材中函數概念的區(qū)別與聯(lián)系，或者只是羅列數學史上不同時期的函數定義無法解決學生的困惑. 基于學生在數學學習中的思維過程及困惑與數學史上數學家的思維過程及困惑具有相似性，根據HPM中的歷史發(fā)生原理，本文從學生的角度選取數學史上關于函數的幾個關鍵定義，深入研究其定義的緣由及定義之間的聯(lián)系，從而分析出學生困惑的原因，并以此為依據設計出函數概念生成的教學思路，使學生真正理解函數的概念.

二、函數概念的本源性分析

1. 什么是對應

函數起源于科學的數學化，伽利略主張用實驗和數學的方法去研究自然規(guī)律，他在研究靜止物體自由落體運動時，通過實驗獲得時間[t]和對應下落距離[s]的兩組數據，兩組數據中每對[s]和[t]的數據都服從同一個規(guī)律，即[s=kt2，] 進而揭示出自由落體定律，這也是研究函數的主要價值和初衷. 函數就是研究兩個變量之間的數量關系，這種關系通常用解析式表示. 歐拉在《無窮小分析引論》中給出函數的定義：變量的函數就是變量和常量用某種方式聯(lián)合在一起的解析式. 這種解析式也包括無窮項的級數，另外，函數又分為單值函數和多值函數. 在學習高中函數概念時，學生通常無法準確說出初中函數的定義，但是能熟練地舉出函數的例子. 例如，一次函數、反比例函數、二次函數等. 然而，從未舉出甚至不愿接納沒有解析式的圖象和表格所表示的函數，這些都說明了學生對函數概念的認知起點是解析式，從函數研究的主要價值和學生學習函數的經驗來說，學生更愿意接受函數是解析式.

當兩個變量對應的兩組數據之間沒有規(guī)律時，無法用解析式表示，預示著兩個變量之間可能沒有依賴關系，那么，此時這兩個變量之間的數量關系是不是函數呢？因為研究兩個無關的變量是件毫無意義的事情，而且沒有解析式的函數是無法研究的，所以當時的數學家稱它為假函數. 另外，一個解析式被稱為一個函數，所以分段函數被看成多個函數，這在當時都是很自然的事情. 歐拉研究弦振動時也遇到了類似的問題，因為初始弦的形狀是任意的，歐拉意識到應該改變函數的定義，于是他在《微分學原理》中給出函數的另一個定義：如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后者變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量就是后面變量的函數. 歐拉提到“在[xy]平面上隨手畫一條曲線就是表示[y]與[x]的函數關系”. 雖然歐拉改變函數定義的做法是對的，但是沒有說服力，因為當時普遍認為函數就是解析式，如果把隨手畫的一條曲線能用一個解析式表達出來，那么可以承認它是函數，但是當時對任意形狀的初始弦能否用三角級數表示存在爭議. 以往高中函數概念的教學通常給出解析式、圖象、表格這三種問題情境，采取概念形成的方式，即從同類事物的不同例證中抽象出共同的關鍵屬性，然而這三種情境在學生眼里并不是同類事物，因為解析式作為關鍵屬性把數量關系分成有無規(guī)律的兩類，這也是學生不愿承認沒有解析式的對應關系是函數的原因. 只要把隨手畫的一條曲線能用一個解析式表達出來，學生自然愿意接受它是函數，所以此處適合采取概念同化的教學方式，而解析式就是概念同化的固著點.

如果函數是一種對應，那么傅里葉展開式是不是對于任意函數都成立呢？答案是否定的，狄利克雷給出了它成立的一個充分條件，并給出反例：狄利克雷函數[Dx=1，當x為有理數，0，當x為無理數.] 狄利克雷函數是無法用解析式表示的，它也沒有傅里葉展開式，它驗證了函數的本質是一種對應而不是解析式. 狄利克雷給出了現(xiàn)在常用的函數定義：如果對于給定區(qū)間上的每一個[x]的值有唯一的一個[y]的值同它對應，那么[y]就是[x]的一個函數.

因此，初中和高中的函數定義本質上是相同的，不同的是初中的函數定義是變量對應說，高中的函數定義是集合對應說，高中函數定義更嚴謹些. 高中函數概念的教學通常給出解析式、圖象、表格這三種問題情境，然后提問學生這三種情境中所對應的關系是否為函數，再引導學生利用集合對應的方式來體會函數是對應的本質. 然而，初中函數的學習并沒有使學生突破變量之間依賴關系的束縛，學生只能用初中函數定義中“每一個[x]對應唯一的一個[y]”的表面意思去判定函數，缺少從突破變量依賴關系的角度去經歷“對應”的生成過程，所以學生很難真正理解函數的本質，自然也無法接受沒有解析式的圖象和表格所對應的關系是函數.

2. 函數為什么是單值對應

3. 函數為什么建立在集合上

三、函數概念生成的教學思路

綜合以上分析，確定函數概念生成的主要教學思路是：解析式—變量對應—集合對應，具體過程如下.

問題1：（情境1）伽利略在研究靜止物體自由落體運動時，通過實驗獲得的時間[t]和對應下落距離[s]的數據如表1所示.

試問：時間[t]和對應下落距離[s]之間有什么數量關系嗎？它是函數嗎？

【設計意圖】探索兩組數據之間的數量關系是函數的根源，讓學生體會函數的主要價值，培養(yǎng)學生的數據分析和數學抽象素養(yǎng)，把學生的認知起點——解析式作為函數概念同化的固著點.

問題2：如圖1，在平面直角坐標系[xOy]中隨手畫的一條曲線，它存在表達式嗎？它是函數嗎？

【設計意圖】把任意曲線與學生熟悉的解析式之間建立實質性的聯(lián)系，通過講解數學史的方式打破變量之間數量規(guī)律的分類標準，轉變函數是解析式的錯誤觀念，同時突破函數是變量之間的依賴關系的束縛，讓學生體會函數的本質是對應，感受數學家的智慧和數學文化.

問題3：若函數是一種單值對應，那么是不是所有的單值對應都有解析式呢？

【設計意圖】讓學生意識到解析式不等價于單值對應，體會函數的本質是單值對應而不是解析式，感受數學文化和科學精神.

問題4：試判斷下列兩個情境中的對應關系是不是函數？

（1）（情境2）某市一天24小時內的氣溫變化圖如圖2所示.

（2）（情境3）我國1949—1999年人口數據如表2所示.

【設計意圖】從多個角度揭示函數概念的內涵，讓學生體會函數的本質是單值對應.

可以讓學生畫出函數的圖象，通過圖象看出這兩個函數是不同的，盡管兩個函數的表達式相同，即對應方式相同，但是[x]的取值范圍不同，導致這兩個函數不同，所以有必要說明[x]的取值范圍. 用什么來表示范圍呢？顯然，集合是最合適的，所以我們要把函數定義在集合上.

【設計意圖】讓學生體會函數建立在集合上的必要性和數學的嚴謹.

問題6：把情境1 ～ 情境3中兩個變量的范圍用集合表示出來，它們的對應方式分別是什么？

問題7：你能用集合與對應的語言來刻畫函數的概念嗎？

【設計意圖】培養(yǎng)學生的概括能力和數學語言表達能力.

四、結束語

函數概念的教學應該關注學生已有的認知結構和概念發(fā)展過程中的邏輯關系，應該體現(xiàn)函數的內涵和外延在實際需要和數學發(fā)展中不斷變化的過程. 本文的目的不是對函數概念數學史的完整再現(xiàn)和羅列，而是從教學的角度去理解數學史，再從數學史的角度去分析教學，重點做到數學史與學生認知的完美結合，讓學生經歷概念產生和發(fā)展的過程，有助于學生更好地掌握概念的內涵和外延，體會其中的數學思想和科學精神.

參考文獻：

[1]莫里斯·克萊因. 古今數學思想[M]. 張理京，張錦炎，江澤涵，等譯. 上海：上海科學技術出版社，2002.

[2]歐拉. 無窮小分析引論（上）[M]. 張廷倫，譯. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2013.

[3]林仁炳. HPM視角下微積分思想方法溯源[M]. 上海：上海交通大學出版社，2015.

[4]傅里葉. 熱的解析理論[M]. 桂質亮，譯，北京：北京大學出版社，2008.

[5]曹才翰，章建躍. 數學教育心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社，2006.

[6]賈隨軍. 傅里葉級數理論的起源[D]. 西安：西北大學，2010.

3314501908274