夏子晶

[摘? 要] 幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)問(wèn)題之一，從解析過(guò)程來(lái)看，需要處理動(dòng)點(diǎn)條件，構(gòu)建面積模型，利用代數(shù)知識(shí)求解，因此對(duì)學(xué)生解析思維和解題方法有較高的要求. 文章將剖析該類問(wèn)題的解析策略，并結(jié)合類型問(wèn)題進(jìn)行探究分析.

[關(guān)鍵詞] 幾何;面積;動(dòng)點(diǎn);圖像;坐標(biāo)系;曲線

與面積相關(guān)的幾何探究題在中考試題中十分常見，問(wèn)題往往融合動(dòng)點(diǎn)，引入圖像來(lái)探究幾何圖形的面積變化，構(gòu)建了“動(dòng)點(diǎn)+面積+圖像”的問(wèn)題形式，形成了動(dòng)點(diǎn)位置、面積函數(shù)等多樣的幾何問(wèn)題. 幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常見的有兩種類型：一是單純的幾何模型，側(cè)重幾何面積及函數(shù)的分析;二是以平面直角坐標(biāo)系為背景，引入動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo). 下面深入剖析該問(wèn)題的處理思路，提煉該問(wèn)題的解法.

剖析策略，提煉方法

剖析幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的處理思路需要把握以下兩點(diǎn)：一是圖形的特性，二是動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律. 因此在剖析該問(wèn)題時(shí)需要串聯(lián)圖形的特性與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，可按照如下思路處理問(wèn)題.

第一步，探究背景圖形，提煉圖形的特性;

第二步，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)“四要素”，即分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，繪制運(yùn)動(dòng)線段圖，運(yùn)動(dòng)線段分段，設(shè)定動(dòng)點(diǎn)范圍;

第三步，結(jié)合“速度×?xí)r間=路程”公式，將運(yùn)動(dòng)條件轉(zhuǎn)化為線段條件，并結(jié)合幾何特性推導(dǎo)有關(guān)聯(lián)的線段.

第四步，根據(jù)條件構(gòu)建幾何面積的動(dòng)態(tài)模型，實(shí)現(xiàn)模型的參數(shù)化，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律分類繪制圖像，結(jié)合圖像進(jìn)行解析.

關(guān)于幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解析的基本方法是數(shù)形結(jié)合，原則上需要確保圖像內(nèi)容全面，圖形表述精確. 解析時(shí)要重點(diǎn)關(guān)注動(dòng)點(diǎn)的“起點(diǎn)”“拐點(diǎn)”和“終點(diǎn)”的位置，并將位置的對(duì)應(yīng)時(shí)間作為臨界值或分類討論的標(biāo)準(zhǔn). 因此具體解析時(shí)可根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律繪制具體圖像，然后構(gòu)建對(duì)應(yīng)模型，逐步完成數(shù)形轉(zhuǎn)化.

剖析類題，構(gòu)建思路

幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常見的兩種命題形式：一是單純的幾何探究，以幾何圖形與動(dòng)點(diǎn)為主;二是以平面直角坐標(biāo)系為背景，融合曲線與動(dòng)點(diǎn).

命題形式1：幾何圖形探究類

例1 如圖1所示，在正方形ABCD和△EFG中，已知AB=EF=EG=5 cm，F(xiàn)G=8 cm，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G位于同一直線l上，點(diǎn)C和點(diǎn)F重合. 若△EFG沿著直線l以1 cm/s的速度開始向左運(yùn)動(dòng)，t s后正方形ABCD與△EFG的重合部分的面積為S cm2，請(qǐng)回答下列問(wèn)題.

（1）當(dāng)t=3時(shí)，求S的值;

（2）當(dāng)t=5時(shí)，求S的值;

（3）當(dāng)5≤t≤8時(shí)，試求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值.

思路分析 本題屬于幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題，雖然是三角形運(yùn)動(dòng)，但關(guān)注的重點(diǎn)還是動(dòng)點(diǎn).

第（1）問(wèn)的重合部分是三角形，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求高，進(jìn)而求面積.

第（2）問(wèn)的重合部分是不規(guī)則的四邊形，可以采用割補(bǔ)法求面積.

第（3）問(wèn)設(shè)定了時(shí)間范圍，可確定重合部分的圖形為五邊形，同樣采用割補(bǔ)法構(gòu)建面積模型，將面積模型轉(zhuǎn)化為關(guān)于時(shí)間t的面積函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)討論極值即可.

評(píng)析 上述問(wèn)題是幾何面積動(dòng)點(diǎn)探究題，問(wèn)題分成三問(wèn)，三問(wèn)所設(shè)的時(shí)間實(shí)則是動(dòng)點(diǎn)的位置范圍，探究圖形的面積實(shí)則就是構(gòu)建面積模型，故可以參照幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解析思路：把握動(dòng)點(diǎn)的位置，分析圖形的形狀，構(gòu)建面積模型. 對(duì)于其中的面積最值問(wèn)題，利用函數(shù)的性質(zhì)由“數(shù)”解“形”即可.

命題形式2：坐標(biāo)系與曲線融合類

例2 如圖5所示，已知拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng). 當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng). 試分析△PBQ的面積是否存在最大值. 若存在，請(qǐng)求出最大面積;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路分析 本題以平面直角坐標(biāo)系為背景，融合曲線、動(dòng)點(diǎn)構(gòu)建三角形，探究三角形的面積需要把握坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo).

第（1）問(wèn)：利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

第（2）問(wèn)：由題意可知，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒即可到達(dá)終點(diǎn)，所用時(shí)間最短，因此時(shí)間t的取值范圍為[0，2]. △PBQ的一邊PB始終在x軸上，可將其視為以點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的三角形，故可構(gòu)建三角形的面積模型，結(jié)合運(yùn)動(dòng)條件可求出BP和BQ的長(zhǎng)，結(jié)合三角函數(shù)可求三角形的高，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于時(shí)間t的面積函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)可確定面積的最值.

評(píng)析 上述問(wèn)題以平面直角坐標(biāo)系為背景，結(jié)合拋物線和動(dòng)點(diǎn)構(gòu)建面積問(wèn)題. 第（2）問(wèn)是常規(guī)的求解面積最值的問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)的條件將面積模型轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型;第（3）問(wèn)則是面積比值問(wèn)題，充分結(jié)合面積公式及模型特征將面積比值轉(zhuǎn)換為線段比值，然后確定點(diǎn)的坐標(biāo).

解后反思，方法總結(jié)

幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題屬于動(dòng)態(tài)問(wèn)題，突破過(guò)程需要注重兩點(diǎn)：一是準(zhǔn)確構(gòu)圖，利用直觀模型輔助分析;二是轉(zhuǎn)化分析，包括條件轉(zhuǎn)化和模型轉(zhuǎn)化. 解析過(guò)程要充分把握時(shí)間節(jié)點(diǎn)，利用時(shí)間細(xì)化模型，下面筆者對(duì)此提出兩點(diǎn)建議.

（1）培養(yǎng)構(gòu)圖意識(shí)，利用圖形輔助分析. 幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最為典型的特點(diǎn)是其結(jié)合幾何圖形或曲線命題，數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)造是解析問(wèn)題的素養(yǎng)要求. 尤其是對(duì)于多解的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，分類討論需要借助于圖形，確保數(shù)形對(duì)照準(zhǔn)確. 因此在解析中需要精準(zhǔn)作圖，利用圖形特征來(lái)挖掘等量關(guān)系，打開解題突破口. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成作圖習(xí)慣，使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合這個(gè)解題方法.

（2）提升轉(zhuǎn)化思維的意識(shí)，培養(yǎng)邏輯分析和推理. 由上述可知，幾何面積動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解析過(guò)程實(shí)則是構(gòu)建模型、轉(zhuǎn)化條件的過(guò)程，因此轉(zhuǎn)化思維、簡(jiǎn)化處理的意識(shí)在解題中十分重要. 解析時(shí)要善于處理動(dòng)點(diǎn)條件，把握復(fù)雜圖形的結(jié)論，巧妙構(gòu)建模型. 常見的有以下幾點(diǎn)轉(zhuǎn)化內(nèi)容：將動(dòng)點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化為線段條件，將幾何面積轉(zhuǎn)化為面積模型，將面積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，將面積比值轉(zhuǎn)化為線段比值. 解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用確定性思路來(lái)分析問(wèn)題，化動(dòng)為靜，變時(shí)間為常數(shù)，充分提升學(xué)生的推理轉(zhuǎn)化能力.

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