張青云 趙新華,2 劉 涼 戴騰達(dá)

(1.天津理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 天津 300384；2.天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300384；3.天津理工大學(xué)機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心， 天津 300384)

0 引言

柔性機(jī)器人具有輕質(zhì)、高精度、快速響應(yīng)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航天、設(shè)備制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域[1-4]。相對(duì)柔性串聯(lián)機(jī)器人而言，柔性閉鏈機(jī)器人能增加有效載荷、減少累積誤差、提高工作效率[5-8]。因此，柔性閉鏈機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析及控制策略研究已成為熱點(diǎn)問題。剛?cè)狁詈蠙C(jī)器人具有強(qiáng)耦合、高度非線性特性，大部分學(xué)者先采用奇異攝動(dòng)法將剛?cè)狁詈蠙C(jī)器人進(jìn)行降階，分解為快變和慢變子系統(tǒng)后再進(jìn)行控制策略研究[9-11]。文獻(xiàn)[12]針對(duì)慢變子系統(tǒng)采用自適應(yīng)魯棒終端滑模控制，而對(duì)快變系統(tǒng)則通過自適應(yīng)狀態(tài)觀測(cè)器的最優(yōu)控制來抑制振動(dòng)。文獻(xiàn)[13]根據(jù)Schur分解法，提出基于時(shí)間尺度設(shè)計(jì)的狀態(tài)變量特征值控制器。文獻(xiàn)[14]通過加速度反饋控制算法有效抑制了平面3-RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人的自激振動(dòng)。文獻(xiàn)[15]通過設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)滑?？刂破鱽硌芯恳活悤r(shí)滯空間機(jī)械臂的控制問題。文獻(xiàn)[16]根據(jù)非奇異快速終端滑模面和多冪次趨近律，提出了一種帶擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)目刂坡伞?duì)于多變量、高緯度的剛?cè)狁詈蠙C(jī)器人，奇異攝動(dòng)法雖然能對(duì)模型進(jìn)行降階，但同時(shí)也增加了子系統(tǒng)的復(fù)雜程度，使控制方案的實(shí)時(shí)性降低、軌跡跟蹤精度不能得到有效提高。因此，文獻(xiàn)[17]基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了逼近控制算法，對(duì)并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行跟蹤。文獻(xiàn)[18]基于反饋線性化控制策略對(duì)機(jī)械臂的末端軌跡進(jìn)行跟蹤。

目前，對(duì)含柔性關(guān)節(jié)或柔性連桿的控制分析主要以空間機(jī)械臂、串聯(lián)機(jī)器人及平面并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象[19-24]，鮮有對(duì)高維度、多變量的空間剛?cè)狁詈喜⒙?lián)機(jī)器人的軌跡跟蹤和振動(dòng)抑制問題進(jìn)行研究。本文以含空間柔性構(gòu)件的剛?cè)狁詈祥]鏈機(jī)器人為研究對(duì)象，采用有限元法對(duì)空間柔性構(gòu)件進(jìn)行離散，基于浮動(dòng)坐標(biāo)系描述柔性構(gòu)件的位移場(chǎng)矢量，最后通過Lagrange方程建立考慮末端執(zhí)行器微小位移的動(dòng)力學(xué)方程。利用基于前饋補(bǔ)償?shù)腜D控制算法對(duì)末端執(zhí)行器軌跡進(jìn)行跟蹤，以消除柔性構(gòu)件變形產(chǎn)生的振動(dòng)。

1 剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)分析模型

考慮系統(tǒng)中含有空間柔性構(gòu)件的閉鏈機(jī)器人作研究對(duì)象，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

由圖1可知，從動(dòng)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線垂直于驅(qū)動(dòng)桿和中間連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，在全局坐標(biāo)系下需看作空間構(gòu)件。且其長(zhǎng)徑比(即連桿長(zhǎng)度與直徑的比值)大于20，當(dāng)系統(tǒng)高速運(yùn)行時(shí)，其產(chǎn)生的彈性變形不可忽略。因此，本文將從動(dòng)桿作為空間柔性構(gòu)件來建立其動(dòng)力學(xué)模型和分析其軌跡跟蹤性能會(huì)更符合實(shí)際工況。

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人中的3條運(yùn)動(dòng)支鏈呈三角對(duì)稱分布，因此，通過建立任意一條運(yùn)動(dòng)支鏈的分析模型即可獲得其他運(yùn)動(dòng)支鏈的動(dòng)力學(xué)特性，其分析模型如圖2所示。

根據(jù)圖2可得，全局坐標(biāo)系OXYZ和局部坐標(biāo)系Pxyz分別設(shè)在靜平臺(tái)和剛性末端執(zhí)行器的幾何中心，各構(gòu)件坐標(biāo)系分別設(shè)在上關(guān)節(jié)處，并且在柔性空間變形的影響下，剛性末端執(zhí)行器將產(chǎn)生微小位移，其變化后的坐標(biāo)系為P′x′y′z′。為了簡(jiǎn)化空間柔性連桿在全局坐標(biāo)系下的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)描述，將浮動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在構(gòu)件端點(diǎn)Ci(i=1、2、3)處，則空間柔性構(gòu)件相當(dāng)于一個(gè)懸臂梁，從而消除了相對(duì)運(yùn)動(dòng)中剛體的運(yùn)動(dòng)模式。端點(diǎn)Ai、Bi、Ci為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)(R副)連接處，Pi為虎克鉸(U副)連接處，li和mi分別為構(gòu)件長(zhǎng)度和質(zhì)量，θi1、θi2、θi3為構(gòu)件與轉(zhuǎn)軸之間的剛性轉(zhuǎn)角，其中i=1，2，3。剛性末端執(zhí)行器端點(diǎn)Pi在微小位移作用下將變到P′i的位置，其將坐標(biāo)系P′x′y′z′變換到Pxyz的變換關(guān)系可表示為

(1)

式中ε——末端執(zhí)行器微小轉(zhuǎn)角

ΔxP、ΔyP、ΔzP——末端執(zhí)行器微小位移

而由局部坐標(biāo)系Pxyz變換到全局坐標(biāo)系OXYZ的變換矩陣為

(2)

式中φi——驅(qū)動(dòng)構(gòu)件坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系之間的夾角

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

空間柔性構(gòu)件上任意點(diǎn)w在全局坐標(biāo)系下的位移場(chǎng)矢量可通過浮動(dòng)坐標(biāo)系表示為

(3)

其中

式中r0——浮動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位移矢量

rw——空間柔性構(gòu)件上任意點(diǎn)w在全局坐標(biāo)系下的位移場(chǎng)矢量

T——浮動(dòng)坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的變換矩陣

u0、uf——空間柔性構(gòu)件在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的未變形矢量和變形矢量

qf——單元節(jié)點(diǎn)位移矢量

N——單元形函數(shù)

NA、NB、NC——插值向量

同時(shí)，空間柔性連桿在全局坐標(biāo)系下的絕對(duì)角速度為

(4)

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)支鏈幾何約束關(guān)系為

lAiBi+lBiCi+lCiPi=lAiO+lOPi

(5)

其中

式中P——?jiǎng)傂阅┒藞?zhí)行器在全局坐標(biāo)系下的理想軌跡

r、R——末端執(zhí)行器和靜平臺(tái)半徑

l1、l2——驅(qū)動(dòng)桿和中間連桿長(zhǎng)度

對(duì)式(6)用高斯消元法進(jìn)行求解即可得系統(tǒng)理想軌跡與驅(qū)動(dòng)構(gòu)件之間的函數(shù)關(guān)系。

1.3 動(dòng)力學(xué)方程

由動(dòng)能公式可得系統(tǒng)各構(gòu)件動(dòng)能為

(6)

式中vi1、vi2——驅(qū)動(dòng)桿和中間連桿的速度矢量

ωi2——中間連桿角速度矢量

J2——中間連桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

ρ——空間柔性構(gòu)件密度

l3——空間柔性構(gòu)件桿長(zhǎng)

V——空間柔性構(gòu)件體積

Jc——空間柔性構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

同理，系統(tǒng)中各構(gòu)件勢(shì)能為

(7)

式中A——柔性構(gòu)件橫截面面積

E——柔性單元彈性模量

G——剪切模量

Iyy、Izz——空間柔性構(gòu)件橫截面對(duì)y軸和z軸的慣性矩

Ip——柔性構(gòu)件橫截面對(duì)x軸的極慣性矩

ψx——繞x軸的彈性轉(zhuǎn)角函數(shù)

考慮剛性末端執(zhí)行器在空間柔性連桿彈性變形下引起的微小位移，則其動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式為

(8)

其中

P′=P+JPΔP

式中mP——末端執(zhí)行器質(zhì)量

J——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

ωP——絕對(duì)角速度

zP′——全局坐標(biāo)系Z軸方向位移

JP——系統(tǒng)的協(xié)調(diào)矩陣[25]

ΔP——微小位移

將式(8)中的動(dòng)能和勢(shì)能進(jìn)行裝配即可得系統(tǒng)總動(dòng)能T和總勢(shì)能V，再將其代入Lagrange方程可得

(9)

其中

式中qj——系統(tǒng)廣義坐標(biāo)

τj——系統(tǒng)廣義力

j——廣義坐標(biāo)數(shù)

將式(9)簡(jiǎn)化可得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

式中M——系統(tǒng)慣性質(zhì)量矩陣，M∈R45×45

K——?jiǎng)偠染仃?，K∈R45×45

C——包含科氏力、離心力的矩陣，C∈R45×45

τ——控制系統(tǒng)及驅(qū)動(dòng)力矩組成的列向量，τ∈R45×1

2 基于前饋補(bǔ)償?shù)闹鲃?dòng)振動(dòng)控制方法

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、時(shí)變的高維度非線性系統(tǒng)，為了避免通過系統(tǒng)分解進(jìn)行模型降階導(dǎo)致的控制器疊加、控制參數(shù)復(fù)雜等不足，直接基于考慮空間柔性構(gòu)件變形及剛性末端執(zhí)行器產(chǎn)生微小位移的精確動(dòng)力學(xué)模型，將預(yù)先求出的控制力矩對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度和跟蹤性能。再與反饋PD控制器相結(jié)合，消除關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角偏差、抑制空間柔性構(gòu)件振動(dòng)，從而改善系統(tǒng)性能，其軌跡跟蹤控制框圖如圖3所示。

2.1 控制律設(shè)計(jì)

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人的軌跡誤差為

(11)

通過建立的約束關(guān)系式(5)即可獲得系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角位移、角速度及角加速度。

反饋PD控制器為

(12)

式中，kp∈R3×1、kd∈R3×1。

2.2 前饋控制

(13)

將式(12)和式(13)進(jìn)行組合即可得到系統(tǒng)基于前饋補(bǔ)償?shù)目刂扑惴?/p>

τ=τf+τd

(14)

3 數(shù)值分析

基于圖1的剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人進(jìn)行數(shù)值分析，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 System parameters

由于控制模型是基于動(dòng)力學(xué)模型建立的，為了驗(yàn)證控制模型的有效性，需先保證推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)模型的正確性。首先，采用Matlab對(duì)上述推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行編程求解，再與ADAMS和Simulink聯(lián)合仿真的動(dòng)力學(xué)模型的解進(jìn)行對(duì)比，聯(lián)合仿真框圖如圖4所示。

設(shè)末端執(zhí)行器理想軌跡為

(15)

式中，末端執(zhí)行器角速度ω=2 rad/s，t=5 s，時(shí)間間隔為0.005 s，則理論模型和仿真模型對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，仿真模型驅(qū)動(dòng)力矩大于理論模型，是由于仿真模型存在建模誤差、曲線擬合誤差及關(guān)節(jié)間隙等，但理論模型和仿真模型各支鏈驅(qū)動(dòng)力矩運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)一致，驗(yàn)證了推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)模型的正確性。由于理論模型在求解過程中沒有對(duì)多解進(jìn)行篩選，導(dǎo)致力矩圖中存在突變現(xiàn)象，也將為控制算法的修改提供指導(dǎo)。因此，基于推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)將簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過程，且結(jié)果更精確。

為了驗(yàn)證控制器的有效性，通過對(duì)比末端在不同載荷作用下的軌跡跟蹤精度、空間柔性構(gòu)件的振動(dòng)抑制情況及相對(duì)位置PID控制算法的控制效果來進(jìn)行說明。

通過參數(shù)整定得到系統(tǒng)控制參數(shù)為

(16)

將式(16)、(14)代入式(10)，即可得到控制算法作用下的剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人剛性末端執(zhí)行器的實(shí)際軌跡。圖6分別為末端載荷為自由狀態(tài)、1倍臂桿質(zhì)量及5倍臂桿質(zhì)量的剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人末端執(zhí)行器在X方向、Y方向及Z方向的軌跡跟蹤曲線。

由圖6可知，系統(tǒng)先到達(dá)無控實(shí)際軌跡，即系統(tǒng)基于建立的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程(11)直接計(jì)算出含柔性變形的實(shí)際振動(dòng)軌跡，然后在控制算法作用下振動(dòng)逐漸減小，最后趨于一個(gè)穩(wěn)定值。對(duì)于不同末端載荷作用下的跟蹤軌跡，只要對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行合理調(diào)整即可讓末端軌跡在短時(shí)間達(dá)到平衡，保證了大范圍剛性運(yùn)動(dòng)精確性。

由于柔性構(gòu)件產(chǎn)生的彈性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)末端軌跡精度具有重要影響，因此，所提控制器是否有效還需對(duì)柔性臂桿在控制器作用下的彈性振動(dòng)進(jìn)行分析。圖7為有無控制器作用下柔性構(gòu)件軌跡對(duì)比曲線。

圖7a、7b為空間柔性連桿在X和Y方向的軌跡跟蹤曲線。其中，系統(tǒng)無控制器作用的軌跡振動(dòng)均大于有控制器作用的軌跡曲線，驗(yàn)證了控制器能有效抑制系統(tǒng)柔性變形產(chǎn)生的振動(dòng)。由于系統(tǒng)剛性末端執(zhí)行器的理想軌跡為Z平面的圓形軌跡，其無控作用下的軌跡也趨于一條直線，但當(dāng)空間柔性構(gòu)件質(zhì)心與靜平臺(tái)質(zhì)心之間的相對(duì)距離最大時(shí)，構(gòu)件將產(chǎn)生較大波動(dòng)，而在控制器作用下其能快速到達(dá)平衡位置，消弱了柔性振動(dòng)。

為更加直觀地分析所提控制器的有效性，將本文控制方法與位置PID 控制方法進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，本文控制方法作用下的軌跡精度高于位置PID控制方法，是因?yàn)楸疚目刂品椒ㄊ腔诰_動(dòng)力學(xué)模型而進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且考慮了系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的動(dòng)態(tài)特性，所以既保證了軌跡精度，又抑制了彈性振動(dòng)。

為了更直觀觀察不同控制器的控制效果，對(duì)比了不同控制方法下的跟蹤軌跡最大誤差，其結(jié)果如表2所示。

表2 誤差分析Tab.2 Analysis of errors mm

由表2可知，末端執(zhí)行器跟蹤軌跡在本文控制器作用下X方向上位置誤差相對(duì)位置PID方法降低了89.7%，在Y方向位置誤差降低了4.3%，而在Z方向位置誤差降低了12.9%，保證了末端執(zhí)行器軌跡跟蹤精度。

因此，基于前饋補(bǔ)償?shù)姆答丳D控制算法既能更好地跟蹤軌跡又能抑制柔性變形產(chǎn)生的振動(dòng)。

4 結(jié)論

(1)基于浮動(dòng)坐標(biāo)系對(duì)經(jīng)有限元法離散后的空間柔性構(gòu)件位移場(chǎng)矢量進(jìn)行描述，再通過矢量閉環(huán)法建立運(yùn)動(dòng)支鏈約束關(guān)系，由此得到剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人各關(guān)節(jié)與末端執(zhí)行器的函數(shù)關(guān)系，為前饋補(bǔ)償提供含有耦合項(xiàng)的理想關(guān)節(jié)角位移、角速度及角加速度曲線。

(2)根據(jù)末端執(zhí)行器在空間柔性構(gòu)件變形下引起的微小位移，建立了考慮剛性末端執(zhí)行器微小位移的動(dòng)力學(xué)模型，提高建模精確性，減少控制器干擾因素。

(3)通過前饋補(bǔ)償對(duì)軌跡進(jìn)行跟蹤與反饋PD控制律改善模型跟蹤性能的復(fù)合控制方式對(duì)剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機(jī)器人進(jìn)行控制，并通過仿真驗(yàn)證了控制算法的有效性。

(4)由數(shù)值分析可知，選擇合適的控制參數(shù)即可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤?？臻g柔性構(gòu)件的彈性變形對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及軌跡精度具有重要影響，可通過主動(dòng)抑制振動(dòng)來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。