劉 濤，王 碧，唐國安，周 鑫，張 亮

(1.復旦大學 航空航天系，上海 200433； 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109；3.重慶大學 航空航天學院，重慶 400044)

1 引 言

空間可展開索網天線的設計中，需要面臨眾多的問題與挑戰(zhàn)。其中，為適用高頻率和寬頻帶的工作要求，需要索網天線在大口徑的設計前提下同時具備較高的形面精度，因而索網天線的形面設計是天線設計中的一項重要工作[1-3]。

國內外學者對索網天線的找形設計開展了大量的研究工作。力密度法[4]是應用最為廣泛的線性找形方法，在力密度法基礎上，Morterolle等[5]發(fā)展了等張力結構的迭代算法，Yang等[6]提出了基于力密度法的找形與找力相結合的優(yōu)化迭代方法，Liu等[7]對力密度法進行了改進，提高了計算效率。一些學者還發(fā)展了其他線性找形方法，范葉森等[8]提出了索網天線等張力找形設計的坐標迭代算法，該方法可使索網張力具有較好的均勻性；楊東武[9]研究了以形找力的極小范數法；李剛等[10]基于平衡矩陣奇異值分解法和線性規(guī)劃方法，求解了索網拋物面最優(yōu)預拉力配置。

在線性找形過程中，通常假設索網與桁架連接節(jié)點為不動點，不考慮索網與桁架的變形耦合效應。事實上，桁架在索網預張力作用下會產生變形，桁架結構的變形又導致索網節(jié)點位置偏離理想位置，降低了索網天線的形面精度。有限元法可實現索網與桁架結構的一體化建模分析，狄杰建等[11]提出了將遺傳算法與有限元法相結合的索段預張力優(yōu)化設計與形面調整方法。譚述君等[12]針對索網天線中張拉索拉壓非線性的特點，將參變量變分原理應用于周邊桁架式索網天線[13]的有限元分析，提高了繩索數值計算的穩(wěn)定性。上述有限元法在描述柔性索網結構的幾何非線性時采用TL列式和NR迭代法進行求解，但TL法在大撓度下存在計算精度和收斂速度均不高的問題[14,15]，而NR法具有收斂的性質，當給定的索網天線初始構型和預張力不夠理想，迭代過程中的收斂性將難以保證。

本文基于參變量變分和共旋列式描述索網天線張拉索的拉壓非線性和幾何非線性，建立含預應力索網結構的非線性有限元控制方程，克服了TL列式在計算效率和精度上的不足，并保留了參變量變分計算張拉索穩(wěn)定的特點。為提高索網天線計算的收斂性，采用改進牛頓法對控制方程進行求解。進一步，將力密度迭代原理與有限元法相結合，對索網天線進行找形分析。結果表明，所采用的方法具有較好的收斂性和找形精度，可應用于索網天線的形面設計。

2 有限元控制方程及求解理論

2.1 索網本構關系的參變量描述

索網天線的張拉索只能抗拉不能抗壓，在存在初始預張力下，其本構關系可表示為

(1)

式中E+為張拉索抗拉模量，ε為軸向應變，σ為軸向應力。

針對式(1)引入參變量λ,可將式(1)統(tǒng)一表述為

σ=E+(ε+σ0/E++λ)

(2)

式中λ滿足

(3)

引入非負的松弛變量ν,可得繩索的拉壓狀態(tài)控制方程為

(4)

式中λν=0是互補條件，當λ=0,ν=0時，繩索處于未變形狀態(tài)；當λ>0,ν=0時，繩索處于受壓狀態(tài)；當λ=0,ν>0時，繩索處于拉伸狀態(tài)。

2.2 參變量與共旋列式的統(tǒng)一描述

采用共旋列式描述索單元的幾何非線性，共旋列式在大撓度、大轉角、小應變分析時具有更簡潔的列式和更高的計算效率。結合參變量與共旋列式的索單元切線剛度矩陣可表述為

(5，6)

symmetric

(7)

symmetric

(8)

式中ε為當前構型下的應變，ε0為繩索初始預張力下的應變。A0和l0是索單元的截面積和初始長度，定義α,β和γ為當前構型下單元與總體坐標系x,y和z軸的夾角，a1和a2是α的余弦和正弦，b1和b2是β的余弦和正弦，c1和c2是γ的余弦和正弦。

將各個索單元的剛度矩陣KT、參變量λ和互補變量ν等進行組裝，可得索網非線性有限元的控制方程為

[ΔP]=[KT]{Δδ}

(9)

(10)

2.3 非線性有限元方程的改進牛頓法

NR法是求解式(9)最常用的迭代方法，通過線性逼近和反復迭代直至收斂于實際的平衡路徑，其迭代格式為

[KT]i{Δδ}i +1={ΔP}i
{δ}i +1={δ}i+{Δδ}i +1

(11)

式中[KT]i為第i次迭代時的切線剛度矩陣，{Δδ}i +1為第i次迭代時由節(jié)點不平衡力引起的位移增量，{ΔP}i為第i次迭代時的節(jié)點不平衡力，{δ}i為第i次迭代時的節(jié)點位移。

由于NR法是局部收斂的，當給定的初始預張力不在索網平衡狀態(tài)附近時，迭代計算往往存在收斂困難。為了放寬對初始值的選擇要求，將NR法與線性搜索方法結合使用，迭代公式為

(k=0,1,2,…) (12)

式中k為松弛因子，k值的選取需滿足

|{ΔPi +1}|<|{ΔPi}|

(13)

3 索網預應力平衡的有限元計算

根據上述理論在Matlab平臺編制非線性有限元程序，應用該程序對圖1所示模塊化天線單個模塊的拋物面索網進行預應力平衡計算，單個模塊的初始邊長約為2600 mm。模型共有181個節(jié)點，408個單元。索網采用抗拉模量為20 GPa的凱夫拉繩，直徑為1 mm；計算中約束背索網主徑向的節(jié)點；為驗證參變量變分與改進牛頓法相結合的有限元法在求解索網大變形下的計算穩(wěn)定性，給定索網天線前后索網及縱向索網20 N張緊力；要求索網的收斂精度滿足‖ΔP‖<0.1,分別采用NR法和改進牛頓法進行求解，為兼顧計算效率，改進牛頓法中k值上限取5。

經計算，NR法在迭代過程中無法收斂，而改進牛頓法經過215個迭代步計算后，達到‖ΔP‖<0.01的收斂要求。圖2為兩種方法在前215個迭代下的‖ΔP‖值，說明NR法的節(jié)點不平衡力在120 N附近振蕩，始終無法收斂。而改進牛頓法雖然無法保證每個迭代步都是收斂的，但計算總趨勢是收斂的。此外，改進牛頓法計算用時12.37 s，仍具備較高的計算效率。

圖1 天線索網及整體結構

圖2 每個迭代步下的不平衡力

圖3為索網的內力云圖，索單元的最大內力為40.9134 N，最小內力為0 N，說明在索網達到新的平衡態(tài)后部分索單元出現了松弛。

4 索網天線的找形分析

基于參變量原理的有限元法較強的收斂能力為應用于索網天線非線性找形設計提供了必要條件。索網找形設計還要求滿足所有前索網節(jié)點均在理想拋物面上；索網單元不出現松弛，內部索段張力相等；索網的形面精度、垂跨比滿足設計要求等。在等張力迭代力密度法中，對于給定成形張拉力T0和本次迭代所得的索段長度li情況下，可設定迭代力密度值為qi +1=t0/li。本文將該力密度法迭代思想與參變量變分有限元法相結合，實現給定張力下的找形設計。具體實施步驟如下。

(1) 設計初始索網拉力T0。

(2) 基于參變量變分有限元法計算索網節(jié)點坐標及索單元拉力。

(3) 修正索網節(jié)點坐標至拋物面上，并計算前索網節(jié)點坐標更新前后誤差tol、垂跨比ρ和形面精度δ。

(4) 判斷ρ，tol和δ等指標是否滿足要求。是，輸出節(jié)點位置和索網拉力，結束分析；否，更新索網坐標，并更新拉力至T0,返回至步驟(2)重新進行迭代。

圖3 索網內力云圖

圖4 找形后的索網構型

圖5 前索網各索段內力分布

5 結 論

針對大柔性索網天線拉壓非線性和幾何非線性的特點，為提高算法的穩(wěn)定性和收斂效率，建立基于參變量變分和共旋列式結合的非線性有限元控制方程，采用Lemke算法和改進牛頓法進行求解。將該有限元法應用于索網的預張力平衡計算和索網的找形設計。通過分析，可得到如下結論。

(1) 本文所采用的改進牛頓法比NR法具有更好的收斂性，同時兼顧了計算效率，適用于大變形下的索網預張力平衡計算。

(2) 將有限元法與力密度法迭代原理相結合，應用于索網找形分析，獲得了理想的索網構型，與力密度法計算結果進行對比，證明該找形方法是可行的。

(3) 本文的索網找形方法可進一步推廣至柔性邊界下的索網找形設計和預張力優(yōu)化。