劉 超， 王 宸，2， 鐘毓寧

(1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院，湖北 十堰 442002；2.上海市智能制造與機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200072)

1 引 言

隨著精密制造技術(shù)的不斷發(fā)展，有效、準(zhǔn)確地評定平面度誤差具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。在相關(guān)的國際標(biāo)準(zhǔn)和國家標(biāo)準(zhǔn)中，評定平面度誤差的方法主要有：最小區(qū)域法(minimum zone method，MZM)、最小二乘法(least square method，LSM)及智能優(yōu)化算法等。MZM評定平面度誤差可以得到理想誤差值，但是尋找最小區(qū)域相對耗時(shí)，不能滿足現(xiàn)代工業(yè)測量的高效需求[1]，因而目前采用最小二乘原理的三坐標(biāo)測量機(jī)(CMM)測量平面度時(shí)，不能滿足最小區(qū)域條件，這使得測量的評定結(jié)果難以滿足實(shí)際情況[2]，由于CMM成本的限制，CMM獲取的測量樣本數(shù)量有限，費(fèi)蘭等[3]采用空間插值方法，獲取更準(zhǔn)確的平面度誤差估計(jì)?？祹r輝等[4]介紹了一種基于多角度旋轉(zhuǎn)的全面形測量方法，該方法使用波前分離技術(shù)，得到相對較低的平面度的絕對誤差值。隨著群體智能優(yōu)化算法的發(fā)展，各種新型算法不斷涌現(xiàn)，改變以往算法復(fù)雜度較高且計(jì)算耗時(shí)等問題。

Chakraborti N等[5]提出了一種基于遺傳算法(genetic algorithm，GA)的平面度誤差求解算法，建立了完全滿足最小區(qū)域條件的平面度評價(jià)數(shù)學(xué)模型，通過仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該算法的有效性，表明該算法具有全局優(yōu)化和快速收斂的特點(diǎn)。溫秀蘭等[6]提出了基于實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法平面度誤差求解算法，通過三坐標(biāo)測量機(jī)測量的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，取得了更優(yōu)效果。羅鈞等[7]提出將改進(jìn)人工蜂群算法(modified artificial bee colony, MABC)用于平面度誤差最小區(qū)域的評定，該算法在基本人工蜂群算法(artificial bee colony, ABC)模型的基礎(chǔ)上引入兩個(gè)牽引蜂和禁忌搜索策略。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法在優(yōu)化效率、求解質(zhì)量和穩(wěn)定性上均優(yōu)于ABC算法，但是該算法的后期的收斂速度慢。劉浩然[8]等針對粒子群算法易陷入局部最優(yōu)的問題，提出了基于雁群啟示的擴(kuò)展粒子群算法( an improved extended PSO algorithm based on geese flight，GeEPSO)，該算法融合了所有粒子的個(gè)體極值信息，同時(shí)提高了種群多樣性。畢立恒等[9]基于分群粒子群算法(grouped particle swarm optimization algorithm, GPSO)對平面度誤差進(jìn)行了研究。在不增加粒子的數(shù)量和維度的情況下，使用兩個(gè)粒子群分別進(jìn)行全局搜索和局部搜索，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證該算法具有較強(qiáng)的優(yōu)化能力，評定精度較高，但是粒子群算法(particle swarm optimization algorithm, PSO)的局部搜索能力相比于天牛須搜索算法(beetle antennae search algorithm, BAS)較弱，會使得GPSO算法的整體尋優(yōu)效率降低。

針對上述問題，本文設(shè)計(jì)基于天牛須改進(jìn)粒子群算法(particle swarm optimization algorithm based on beetle antennae search algorithm, BAS-PSO)，按最小包容區(qū)域法來建立平面度誤差評定數(shù)學(xué)模型，PSO算法用于全局搜索，BAS算法用來局部尋優(yōu),提高了搜索效率，實(shí)例驗(yàn)證結(jié)果表明:本文算法具有較強(qiáng)的優(yōu)化能力，評定精度較高。

2 空間平面度誤差的數(shù)學(xué)建模

根據(jù)最小區(qū)域法對平面度誤差的評定，本質(zhì)上是找到兩個(gè)理想的平行平面，這兩個(gè)平面包含要測量的實(shí)際平面并且具有最短的距離，這是非線性最優(yōu)化問題。

設(shè)平面上的測量點(diǎn)為Pjk(x,y,z),j=1,2,…,m;k=1,2,…,n，其中m、n分別為x和y方向的分段數(shù)，由最小包容區(qū)域確定的公式(1)和各測點(diǎn)相對于最小包容平面的偏離量公式(2)[10]，得到平面度誤差公式(3)。

z=ax+by+c

(1)

(2)

f=Dmax-Dmin=

(3)

因?yàn)閍,b=1[10]，所以

(4)

故求解平面誤差就轉(zhuǎn)變?yōu)閷で骯,b的值，使目標(biāo)函數(shù)f為最小。所以適應(yīng)度函數(shù)為

fitness(i)=1/[0.001+f(i)]

(5)

其中，

(6)

根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，滿足最小條件的平面度誤差的適應(yīng)度函數(shù)fitness是二維空間上的凸函數(shù)，并且具有唯一的全局極小值[11]。本文根據(jù)平面度誤差評定最小原則，設(shè)計(jì)BAS-PSO來求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

3 求解算法

3.1 BAS-PSO算法

BAS是根據(jù)天牛覓食原理開發(fā)的算法。當(dāng)天牛根據(jù)食物氣味來尋找食物時(shí)，天牛有2只長觸角，如果右邊觸角收到的氣味強(qiáng)度高于左邊，則往右搜索食物，反之亦然[12～14]。該算法具有全局搜索速度快、求解精度高等特點(diǎn)。

PSO是一種模擬鳥群的捕食行為的優(yōu)化算法，其特點(diǎn)是程序簡單、易實(shí)現(xiàn)。通過記錄每個(gè)位置的適應(yīng)度來確定個(gè)體極值pbest和粒子群體的極值gbest，較快地找到全局最優(yōu)解，并由此來調(diào)整自己的位置與速度[15～17]。雖然PSO算法在局部搜索速度上更有優(yōu)勢，但是由于缺乏粒子速度的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，算法運(yùn)行到后期收斂速度較慢，求解精度不能達(dá)到要求，容易陷入局部最優(yōu)。

本文BAS-PSO算法使用局部搜索能力較強(qiáng)的BAS算法，在算法前期快速逼近目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值，為粒子的速度和位置調(diào)節(jié)提供自主尋優(yōu)的能力，從而快速得到全局最優(yōu)解。目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值計(jì)算如下：

Fleft=f(xL)

(7)

Fright=f(xR)

(8)

式中：f(xL)和f(xR)分別為天牛左須、 右須目標(biāo)函數(shù)值。

適應(yīng)度函數(shù)值越低則表明：實(shí)驗(yàn)所測平面度誤差越低，故通過設(shè)計(jì)比較函數(shù)獲取個(gè)體極值pbest和群體極值gbest：

pbest=min(Fleft，F(xiàn)right)

(9)

gbest=min[pbest(1)，pbest(2)，…，pbest(i)]

(10)

在每次循環(huán)后都進(jìn)行個(gè)體極值和群體極值的及時(shí)更新。當(dāng)個(gè)體極值或者群體極值確定時(shí)，PSO的速度和位置也做相應(yīng)的調(diào)整。

更新速度公式為

vi(t+1)=vi(t)+c1r1(pbest(i)-xi(t))+

c2r2(gbest-xi(t))

(11)

更新位置公式為

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

(12)

式中：vi(t)和xi(t)分別為第i個(gè)粒子t時(shí)刻的速度和位置;c1和c2是學(xué)習(xí)因子；r1和r2是介于(0，1)之間的隨機(jī)數(shù)。

這樣利用BAS算法與PSO算法進(jìn)行結(jié)合，可以充分發(fā)揮PSO的全局搜索能力，同時(shí)也能夠發(fā)揮BAS算法的局部搜索能力，使得兩種尋優(yōu)算法在優(yōu)勢上進(jìn)行互補(bǔ)，可以大大提升算法的搜索性能。

3.2 算法步驟與流程

具體步驟如下：

Step1：初始化各項(xiàng)參數(shù)，包括：種群大小np，初始步長step，學(xué)習(xí)因子c1、c2，最大和最小慣性權(quán)重ωmax、ωmin，最大和最小速度Vmax、Vmin，最優(yōu)值條件dmax、dmin，迭代次數(shù)n，在(0,1)之間來保證粒子群的隨機(jī)性所設(shè)置的隨機(jī)數(shù)r1、r2，隨機(jī)初始解x。

Step2：計(jì)算天牛左須坐標(biāo)為

xL=X+d0·dir/2

(13)

計(jì)算天牛右須坐標(biāo)為

xR=x-d0·dir/2

(14)

其中dir=rand(0,1)為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)。

Step3:通過式(7)和式(8)計(jì)算須的氣味強(qiáng)度(即函數(shù)適應(yīng)度值)。

Step4:通過式(9)和式(10)獲取個(gè)體極值和群體極值gbest。

Step5:判斷是否達(dá)到迭代最優(yōu)值條件，若是則終止，否則進(jìn)入Step6。

Step6:通過式(11)和式(12)更新群體的速度和位置，主導(dǎo)粒子向全局最優(yōu)靠近。

Step7:判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若不滿足，則轉(zhuǎn)向Step2，否則跳出循環(huán)，輸出最優(yōu)解。

函數(shù)流程圖如下：

圖1 算法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 性能測試

為了驗(yàn)證BAS-PSO算法的有效性，本文中選用二維Rosenbrock和二維Schaffer作為測試函數(shù)。

二維Rosenbrock函數(shù)性質(zhì)如下：

(15)

最優(yōu)解為f1(1，1)=0。

二維Schaffer函數(shù)性質(zhì)如下：

-100≤xi≤100

(16)

最優(yōu)解為f2(0，0)=0。

f1(x)是一個(gè)用來測試最優(yōu)化算法性能的非凸函數(shù)，它有一個(gè)全局極小點(diǎn)，但它卻是病態(tài)的，由于函數(shù)極小值點(diǎn)附近有一條彎曲而狹長的山谷，使得全局極小值點(diǎn)附近函數(shù)值更新極為緩慢，很難找到全局極小值，因此一般用它來評價(jià)算法的搜索性能；f2(x)是二維的復(fù)雜函數(shù)，具有無數(shù)個(gè)極小值點(diǎn)，由于該函數(shù)具有強(qiáng)烈震蕩的性態(tài)，優(yōu)化過程中極易停滯在這些局部極值點(diǎn)處，故很難找到全局最優(yōu)值。

選擇這2個(gè)函數(shù)作為測試函數(shù)，一是因?yàn)樗鼈兒推矫娑日`差函數(shù)一樣都有2個(gè)待優(yōu)化的函數(shù)變量；二是它們都很難找到全局最優(yōu)值，而且一旦陷入局部最優(yōu)就很難跳出。故采用以上2個(gè)測試函數(shù)可以很好地衡量BAS-PSO算法的綜合性能。

圖2 Rosenbrock函數(shù)測試結(jié)果

圖3 Schaffer函數(shù)測試結(jié)果

BAS-PSO算法部分參數(shù)設(shè)置如表1所示，該算法使用matlab2019a進(jìn)行編程，運(yùn)行于內(nèi)存為8 G，CPU為3.20 GHz雙核，操作系統(tǒng)為Windows10的高性能計(jì)算機(jī)。對以上2個(gè)測試函數(shù)，分別使用BAS-PSO，BAS和PSO進(jìn)行25次實(shí)驗(yàn)，得到測試函數(shù)結(jié)果如圖2和圖3所示；迭代次數(shù)設(shè)置為50，得到各算法對測試函數(shù)的迭代圖形如圖4和圖5所示。

表1 算法參數(shù)設(shè)置表

圖4 Rosenbrock函數(shù)迭代結(jié)果

圖5 Schaffer函數(shù)迭代結(jié)果

從圖2和圖3的性能測試結(jié)果可以得出，BAS-PSO相對BAS和PSO算法精度更高、穩(wěn)定性更好。從圖4和圖5的函數(shù)迭代結(jié)果可以看出，BAS-PSO算法的迭代速度更快，迭代結(jié)果更逼近測試函數(shù)的最優(yōu)解值，并且數(shù)據(jù)波動(dòng)性比較小。綜上所述，BAS-PSO相比BAS和PSO算法性能更優(yōu)。

4.2 誤差評定實(shí)例

采用意大利COORD3公司的ARES7三坐標(biāo)測量儀對一塊規(guī)格為400 mm×400 mm的一級平板進(jìn)行測試，采集的受測點(diǎn)為50個(gè)，其采樣點(diǎn)坐標(biāo)X、Y、Z數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 測量數(shù)據(jù)

對表2采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，分別使用LSM、GA、BAS、PSO和BAS-PSO算法進(jìn)行平面度測量并對比分析如圖6，各算法的耗時(shí)如圖7所示。

根據(jù)國家計(jì)量檢定規(guī)程[10]，一級平板要求最大公差為0.009 mm,由圖6的測量結(jié)果可知，本文的各算法都滿足最大公差的要求，但是BAS-PSO算法的測量精度最高，為0.006 15 mm，相對LSM、GA、BAS、PSO算法測量的平面度公差值分別減少了0.002 3 mm，0.001 27 mm，0.000 58 mm，0.000 37 mm，可知BAS-PSO精度優(yōu)于其他算法。從圖7中各算法的耗時(shí)圖可以看出BAS-PSO算法的求解用時(shí)最少，因此其求解速度較高。

圖6 測量平面度誤差對比

圖7 各算法耗時(shí)比較

5 結(jié) 論

為了準(zhǔn)確快速評定平面度誤差，本文提出了BAS-PSO算法，對平面度誤差進(jìn)行了評定研究。利用Rosenbrock和Schaffer測試函數(shù)，驗(yàn)證了BAS-PSO算法的有效性，采用BAS-PSO算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，結(jié)果顯示該算法相對于BAS和PSO算法更具有較好的尋優(yōu)效果。最后，將BAS-PSO算法應(yīng)用到平面度誤差實(shí)例測量中，得出了平面度公差值為0.006 15 mm，與國家規(guī)定的一級平板最大公差值的差值為0.002 85 mm,相比LSM、GA、BAS和PSO，公差值分別減少了0.002 3 mm，0.001 27 mm，0.000 85 mm，0.000 37 mm,相對比其他算法，BAS-PSO算法計(jì)算的平面度誤差值與國家規(guī)定的一級平板最大公差值的差值最大并且耗時(shí)較少，驗(yàn)證了該算法的可行性及優(yōu)越性。為平面度誤差評定提供了一種新的參考方法。