丁 春，張 靜，匡華星，張玉濤

(1. 中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，南京 211153；2. 91033部隊(duì)，山東 青島 266000)

0 引 言

邏輯法及各種改進(jìn)的邏輯法在雷達(dá)目標(biāo)自動(dòng)起始中得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]，國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者對(duì)其性能進(jìn)行了分析[6-8]。文獻(xiàn)[6]將邏輯法中移動(dòng)滑窗的過(guò)程用馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方法進(jìn)行建模，使用Z變換推導(dǎo)出了窗口長(zhǎng)度不超過(guò)4的各周期起始概率和平均起始周期數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。文獻(xiàn)[7]中通過(guò)人工枚舉馬爾科夫狀態(tài)并利用計(jì)算機(jī)仿真馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過(guò)程，計(jì)算出了窗口長(zhǎng)度不超過(guò)4的各周期起始概率和平均起始周期數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。文獻(xiàn)[8]中在此基礎(chǔ)上根據(jù)信噪比與檢測(cè)概率的關(guān)系計(jì)算了航跡起始概率與信噪比的關(guān)系。

海面目標(biāo)由于運(yùn)動(dòng)速度較慢，為了降低虛假起始的概率，往往需要較長(zhǎng)時(shí)間的積累，如窗口長(zhǎng)度n需要設(shè)計(jì)為7、9、12等。此時(shí)，利用Z變換的方法進(jìn)行推導(dǎo)，或者人工枚舉2n個(gè)狀態(tài)是極其繁瑣并且容易出錯(cuò)的事情。

本文將邏輯法滑窗檢測(cè)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為二叉樹(shù)[9]模型生成馬爾科夫狀態(tài)，并利用計(jì)算機(jī)仿真馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過(guò)程，獲得了各周期起始概率和平均起始周期數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差，為分析邏輯法起始性能提供了一種新的方法。

1 邏輯法的二叉樹(shù)模型

序列(z(1),z(2),…,z(n))表示含有連續(xù)n次關(guān)聯(lián)事件的窗口，各關(guān)聯(lián)事件是相互獨(dú)立的。如果關(guān)聯(lián)到點(diǎn)跡，元素z(i)取值為1，反之為0。 當(dāng)窗口中1的個(gè)數(shù)不小于m時(shí)便可宣布發(fā)現(xiàn)新的航跡，否則窗口向右滑動(dòng)一次。

對(duì)于長(zhǎng)度為n的窗口，窗口中共有2n個(gè)事件組合。窗口向右滑動(dòng)的過(guò)程就是丟棄左側(cè)的事件z(1)、增加事件z(n+1)的過(guò)程。

在二叉樹(shù)中，每個(gè)結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)窗口中的n個(gè)事件。左子樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)定義為“z(n+1)=0”，右子樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)定義為“z(n+1)=1”，函數(shù)f()定義為“產(chǎn)生窗口中的n個(gè)事件”，根結(jié)點(diǎn)有效定義為“根結(jié)點(diǎn)窗口中的n個(gè)事件未產(chǎn)生過(guò)或者已產(chǎn)生窗口事件組合數(shù)小于2n”。

在邏輯法的二叉樹(shù)模型中，不存在二叉樹(shù)的實(shí)體，構(gòu)造二叉樹(shù)的過(guò)程即產(chǎn)生了所有的2n個(gè)事件組合窗口。以長(zhǎng)度為2的窗口為例說(shuō)明采用先根方法產(chǎn)生的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。圖1中結(jié)點(diǎn)上的序號(hào)(1)～(7)表示結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的順序，以淺黑色填充的結(jié)點(diǎn)表示該結(jié)點(diǎn)無(wú)效。

圖1 窗口長(zhǎng)度為3的邏輯法二叉樹(shù)

(1) 根結(jié)點(diǎn)設(shè)為(0，0)。

(2) 窗口向右移動(dòng)，丟棄左側(cè)的事件z(1)=0，增加事件z(n+1)取值為0。 根據(jù)前述定義，z(n+1)=0的窗口(0，0)已作為根結(jié)點(diǎn)，所以結(jié)點(diǎn)(0，0)的左子樹(shù)無(wú)效，即沒(méi)有左子樹(shù)，在圖2中以淺黑色填充的結(jié)點(diǎn)表示。

(3) 對(duì)于根結(jié)點(diǎn)(0,0)，再產(chǎn)生右子樹(shù)。窗口向右滑動(dòng)，丟棄左側(cè)的事件z(1)=0,增加事件z(n+1)取值為1。根據(jù)前述定義，z(n+1)=1的窗口(0，1)未產(chǎn)生過(guò)，作為右子樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)。

(4) 對(duì)于結(jié)點(diǎn)(0，1)，先產(chǎn)生左子樹(shù)。窗口向右滑動(dòng)，丟棄左側(cè)的事件z(1)=0，增加事件z(n+1)取值為0。根據(jù)前述定義，z(n+1)=0的窗口(1，0)未產(chǎn)生過(guò),作為左子樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)。

(5) 對(duì)于結(jié)點(diǎn)(1，0)，先產(chǎn)生左子樹(shù)。窗口向左滑動(dòng)，丟棄左側(cè)的事件z(1)=0，增加事件z(n+1)取值為0。根據(jù)前述定義，z(n+1)=0的窗口(0，0)已產(chǎn)生過(guò)，所以結(jié)點(diǎn)(1，0)的左子樹(shù)無(wú)效，即沒(méi)有左子樹(shù)。

(6) 對(duì)于結(jié)點(diǎn)(1，0)，再產(chǎn)生右子樹(shù)。窗口向右滑動(dòng)，丟棄左側(cè)的事件z(1)=0，增加事件z(n+1)取值為1。根據(jù)前述定義，z(n+1)=1的窗口(0，1)已產(chǎn)生過(guò)，所以結(jié)點(diǎn)(1，0)的右子樹(shù)無(wú)效，即沒(méi)有右子樹(shù)。

(7) 對(duì)于結(jié)點(diǎn)(0，1)，再產(chǎn)生右子樹(shù)。窗口向右滑動(dòng)，丟棄左側(cè)的事件z(1)=0，增加事件z(n+1)取值為1。根據(jù)前述定義，z(n+1)=1的窗口(1，1)未產(chǎn)生過(guò),作為右子樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)。至此，長(zhǎng)度為2的窗口共22=4個(gè)事件組合生成完畢。

2 性能分析方法

分析邏輯法性能的問(wèn)題可以抽象為[7]：對(duì)于n個(gè)相繼發(fā)生的事件，每個(gè)事件成功概率為p且相互獨(dú)立，則可以求出在第N次事件發(fā)生時(shí)獲得m次成功的概率。對(duì)于已經(jīng)產(chǎn)生的2n個(gè)事件組合窗口，可以看作具有有限的狀態(tài)數(shù)目和恒定的轉(zhuǎn)移概率的離散馬爾科夫過(guò)程。

假設(shè)初始狀態(tài)為S1，窗口向右滑動(dòng)的過(guò)程就是以概率p選擇z(n+1)=1，或者以概率q=1-p選擇z(n+1)=0,達(dá)到新的狀態(tài)的過(guò)程。

定義概率向量PN=(PN(1),PN(2),…,PN(Q))T，其中每個(gè)元素表示第N次事件發(fā)生時(shí)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的概率。特別地，PN(Q)表示事件成功數(shù)量大于或等于m的概率。初始概率向量P0=(1,0,…,0)T。

定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣T=(Tij)′Q×Q，其中Tij表示第i個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移為第j個(gè)狀態(tài)的概率。

3 性能比較與計(jì)算

表1 航跡起始的平均掃描周期數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將邏輯法滑窗的過(guò)程抽象為二叉樹(shù)模型。對(duì)于任意長(zhǎng)度窗口，按照遞歸的先根遍歷二叉樹(shù)的方法產(chǎn)生了所有的事件組合窗口。利用馬爾科夫過(guò)程轉(zhuǎn)換，計(jì)算了常用的3/7、4/7、5/9、6/9邏輯的各掃描周期航跡起始的概率、航跡起始所需的掃描周期數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)本文的模型，可以計(jì)算出更長(zhǎng)窗口邏輯法的各掃描周期航跡起始的概率、航跡起始所需的掃描周期數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。本方法可方便地拓展到對(duì)更長(zhǎng)窗口長(zhǎng)度的邏輯法起始性能進(jìn)行分析。