周 亮，匡華星，張玉濤，丁 春，王玲玲

(中國船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

海雜波是海面反射雷達(dá)波所形成的回波信號。海雜波功率較強(qiáng)時會淹沒目標(biāo)回波且會產(chǎn)生大量虛警，直接影響著對海探測時的目標(biāo)檢測性能。[1-3]一類重要的目標(biāo)檢測方法是恒虛警檢測算法，其根據(jù)海雜波幅度的概率密度分布模型及虛警率來控制檢測門限。因此，海雜波的概率密度分布模型無論在設(shè)計(jì)階段還是在信號處理階段都具有重要的參考價值。

海雜波幅度的隨機(jī)起伏性可以使用概率密度分布模型進(jìn)行描述。經(jīng)典的幅度概率密度分布模型主要研究的是海雜波的線性幅度。傳統(tǒng)的概率密度分布模型有瑞利分布、對數(shù)正態(tài)分布、韋布爾分布和K分布等[4-5]。研究發(fā)現(xiàn)，海雜波分布存在嚴(yán)重拖尾現(xiàn)象，導(dǎo)致這些模型與實(shí)際數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果存在較大的偏差。為了解決拖尾問題，相繼發(fā)展了多種概率密度分布模型，可以分為3類：(1)通過改變海雜波紋理分量的概率密度分布的方式，得到廣義K分布模型[6]；(2)混合一種或幾種概率密度分布，形成KA分布、KK分布[7]、WW分布等廣義復(fù)合概率分布模型[8]；(3)提出新的統(tǒng)計(jì)模型，如Pareto分布[9]、逆伽馬分布、逆高斯分布等模型。

國內(nèi)外研究雖然提出了很多海雜波概率密度分布模型，但這些模型主要存在2個問題，一是這些概率密度分布模型是非標(biāo)準(zhǔn)化的，在不同的距離單元上海雜波回波信號的統(tǒng)計(jì)特性存在差異性。數(shù)據(jù)擬合后所得到的幅度分布模型僅適用于當(dāng)前距離單元，而難以適用于其他距離段上的分辨單元；二是模型的可控參數(shù)較少，導(dǎo)致擬合誤差大，難以吻合實(shí)際的海雜波幅度分布。

針對上述問題，本文對標(biāo)準(zhǔn)化后(對數(shù)回波減均值后除方差得到無量綱的值)的海雜波幅度進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)，使得分析的海雜波幅度分布模型能夠很好地適用于不同的距離段，提高了模型的適用性；并提出了兩種修正對數(shù)正態(tài)分布模型，使其能夠更好地表示海雜波幅度分布的左右不對稱性。最后統(tǒng)計(jì)了海雜波在不同距離段、多周期上的幅度概率密度分布曲線。結(jié)果表明，修正概率密度分布模型能夠顯著減少幅度分布上的誤差，具有重要的工程應(yīng)用價值。

1 海雜波幅度的對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化概率密度分布

最早提出的海雜波幅度分布為瑞利分布模型，其假設(shè)天線波束照射區(qū)內(nèi)大量散射單元回波滿足獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)過程，則回波幅度符合瑞利分布。但是，隨著雷達(dá)分辨率的提高，在低入射角時海雜波幅度分布出現(xiàn)了更長的拖尾，其概率分布偏離了高斯分布，因此需要采用對數(shù)正態(tài)分布、威布爾(Weibull)分布和復(fù)合K分布等非高斯模型。具體分布函數(shù)如表1所示。

表1 經(jīng)典的海雜波線性幅度的概率密度分布模型

為了獲得對數(shù)幅度條件下的分布函數(shù)，可以通過累積概率密度函數(shù)(CDF)進(jìn)行計(jì)算。設(shè)線性幅度X具有概率密度分布fX(x)，其對數(shù)幅度為Y=20log10(X)，其反變換為X=10Y/20。對數(shù)幅度下的累積分布函數(shù)FY(y)滿足：

FY(y)=P{Y≤y}

=P{20log10(X)≤y}

=P{X≤10y/20}

=FX(10y/20)

求導(dǎo)后得到對數(shù)幅度條件下的分布函數(shù)：

為了獲得滿足不同量程的概率密度分布，提取和分析環(huán)境雜波的幅度特征，還需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，具體為

其中，μ和σ分別為隨機(jī)變量Y的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，需要通過實(shí)測數(shù)據(jù)求出：

求導(dǎo)后得到標(biāo)準(zhǔn)化后的分布函數(shù)：

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的海雜波概率密度分布函數(shù)可以得到全距離段上對數(shù)及線性的海雜波概率密度分布函數(shù)：

2 基于對數(shù)正態(tài)分布的海雜波修正概率密度分布

實(shí)驗(yàn)表明，X波段雷達(dá)的海雜波幅度概率密度分布曲線能夠很好地吻合對數(shù)正態(tài)分布模型。具體參數(shù)可以通過參數(shù)擬合方法獲得，將海雜波數(shù)據(jù)取對數(shù)并標(biāo)準(zhǔn)化后，通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來獲得不同距離段、不同掃描周期的海雜波幅度概率密度曲線，再通過參數(shù)擬合方法來得到最佳的參數(shù)。

選擇導(dǎo)航雷達(dá)和某雷達(dá)的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，擬合得到的概率密度分布曲線如圖1所示。

圖1 海雜波對數(shù)幅度在標(biāo)準(zhǔn)化后的概率密度分布，

從圖1中可以看出，海雜波對數(shù)幅度在經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后與對數(shù)正態(tài)分布的均方根誤差分別為0.7%、0.8%和0.71%，均方根誤差的定義為

實(shí)測結(jié)果由兩型雷達(dá)在不同距離段、不同周期、3個測量時間上獲得的，其概率密度分布具有一致性，說明海雜波對數(shù)幅度在標(biāo)準(zhǔn)化后的概率密度分布具有深刻的內(nèi)在規(guī)律。然而，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布不能很好地刻畫海雜波的特征，需要對其進(jìn)行修正。

2.1 3參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型

實(shí)測海雜波概率密度分布曲線表明，在均值左右應(yīng)滿足不同方差的正態(tài)分布，得到3參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型，即

即可以得到3參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型：

2.2 11參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型

為了更好地?cái)M合海雜波幅度分布模型，得到一般性更強(qiáng)、吻合度更好的概率密度分布模型，可以使用泰勒公式在均值處進(jìn)行展開，左右各取4階多項(xiàng)式進(jìn)行匹配擬合，寫為

其中，擬合所用多項(xiàng)式為

乘多項(xiàng)式后的函數(shù)其定積分不再為1，因此需要對其歸一化，得到11參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型：

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了對海雜波標(biāo)準(zhǔn)化后幅度的概率密度分布規(guī)律進(jìn)行分析和建模，對導(dǎo)航雷達(dá)和某雷達(dá)實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖2所示，圖中結(jié)果已經(jīng)對100個周期數(shù)據(jù)進(jìn)行了平均?？梢钥闯?，海雜波標(biāo)準(zhǔn)化后的對數(shù)幅度分布比線性幅度分布穩(wěn)定，對數(shù)幅度在不同距離段上較為相似，而線性幅度存在較大的區(qū)別，因此，采用對數(shù)幅度能夠更好地描述多量程段上的海雜波幅度分布規(guī)律。

圖2 不同距離時海雜波幅度概率密度分布曲線

分別采用韋布爾分布和復(fù)合K分布來描述海雜波線性幅度(同樣經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化，即海雜波線性幅度減均值后除標(biāo)準(zhǔn)差，得到的無量綱值)的概率密度分布曲線，曲線擬合后的結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，線性幅度條件下，使用韋布爾分布擬合的分布曲線存在2%～4.2%的誤差，使用復(fù)合K分布擬合的分布曲線存在1.5%～4%的誤差，擬合誤差較大。這和文獻(xiàn)[2]中X波段雷達(dá)數(shù)據(jù)的結(jié)論相似。

圖3 不同距離時海雜波幅度概率密度分布曲線

采用3參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布擬合得到的海雜波概率密度分布模型，其與實(shí)測數(shù)據(jù)的吻合程度更好。相較于對數(shù)正態(tài)分布而言，3組數(shù)據(jù)的擬合誤差分別降低了32.8%、22.5%和49.3%。與擬合的對數(shù)正態(tài)分布曲線相比，曲線均值正向移動到0.16～0.2之間，均值左邊的方差在1.03～1.05之間，右邊的方差在0.83～0.84之間，如圖4所示。3參數(shù)修正模型存在一定的偏斜，左右不再對稱。

圖4 3參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型擬合結(jié)果

采用11參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布擬合得到的海雜波概率密度分布模型，其與實(shí)測數(shù)據(jù)的吻合程度得到進(jìn)一步提高，參數(shù)如表2所示。相較于對數(shù)正態(tài)分布而言，3組數(shù)據(jù)的擬合誤差分別降低了87.1%、72.5%和94.4%，如圖5所示。值得注意的是，擬合誤差的減小會降低模型的泛化性，得到的新模型的均值在0.01～0.05之間，左右的標(biāo)準(zhǔn)差也有所增加。

表2 11參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型中的多項(xiàng)式系數(shù)

圖5 11參數(shù)修正對數(shù)正態(tài)分布模型擬合結(jié)果

4 結(jié)束語

本文提出了對數(shù)正態(tài)分布的兩種修改模型，能夠很好地分析海雜波對數(shù)幅度在標(biāo)準(zhǔn)化后的概率密度分布規(guī)律。通過X波段雷達(dá)實(shí)測數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的對比，驗(yàn)證了算法的正確性和有效性。該算法能夠應(yīng)用在雷達(dá)恒虛警檢測和自適應(yīng)檢測算法中，具有一定的工程應(yīng)用價值。